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文档简介
2025届北京第十二中学高三质量监测(一)数学试题试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.为虚数单位,则的虚部为()A. B. C. D.2.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.13.函数(),当时,的值域为,则的范围为()A. B. C. D.4.已知数列是公差为的等差数列,且成等比数列,则()A.4 B.3 C.2 D.15.已知,,若,则实数的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或76.观察下列各式:,,,,,,,,根据以上规律,则()A. B. C. D.7.已知函数,下列结论不正确的是()A.的图像关于点中心对称 B.既是奇函数,又是周期函数C.的图像关于直线对称 D.的最大值是8.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,则|a+bi|=().A. B. C. D.59.已知曲线的一条对称轴方程为,曲线向左平移个单位长度,得到曲线的一个对称中心的坐标为,则的最小值是()A. B. C. D.10.若双曲线:()的一个焦点为,过点的直线与双曲线交于、两点,且的中点为,则的方程为()A. B. C. D.11.函数在的图象大致为()A. B.C. D.12.若不等式对于一切恒成立,则的最小值是()A.0 B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中常数项是___________.14.某市公租房源位于、、三个小区,每位申请人只能申请其中一个小区的房子,申请其中任意一个小区的房子是等可能的,则该市的任意位申请人中,恰好有人申请小区房源的概率是______.(用数字作答)15.展开式中的系数为_________.(用数字做答)16.将函数的图象向左平移个单位长度,得到一个偶函数图象,则________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)当时,求曲线在点的切线方程;(2)讨论函数的单调性.18.(12分)如图1,四边形是边长为2的菱形,,为的中点,以为折痕将折起到的位置,使得平面平面,如图2.(1)证明:平面平面;(2)求点到平面的距离.19.(12分)如图,四棱锥的底面中,为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,平面平面,为中点.(1)求证:平面;(2)若,求二面角的余弦值大小.20.(12分)如图,已知椭圆的右焦点为,,为椭圆上的两个动点,周长的最大值为8.(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)直线经过,交椭圆于点,,直线与直线的倾斜角互补,且交椭圆于点,,,求证:直线与直线的交点在定直线上.21.(12分)一种游戏的规则为抛掷一枚硬币,每次正面向上得2分,反面向上得1分.(1)设抛掷4次的得分为,求变量的分布列和数学期望.(2)当游戏得分为时,游戏停止,记得分的概率和为.①求;②当时,记,证明:数列为常数列,数列为等比数列.22.(10分)已知函数(),不等式的解集为.(1)求的值;(2)若,,,且,求的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
利用复数的运算法则计算即可.【详解】,故虚部为.故选:C.本题考查复数的运算以及复数的概念,注意复数的虚部为,不是,本题为基础题,也是易错题.2.A【解析】
由题意得到关于的等式,结合对数的运算法则可得亮度的比值.【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,.故选A.本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算.3.B【解析】
首先由,可得的范围,结合函数的值域和正弦函数的图像,可求的关于实数的不等式,解不等式即可求得范围.【详解】因为,所以,若值域为,所以只需,∴.故选:B本题主要考查三角函数的值域,熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.4.A【解析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由成等比数列得,即,已知,解得.故选:.本题考查了等差数列,等比数列的基本量的计算,意在考查学生的计算能力.5.C【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算,化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算,代入化简可得.∴解得.故选:C.本题考查了平面向量数量积的坐标运算,属于基础题.6.B【解析】
每个式子的值依次构成一个数列,然后归纳出数列的递推关系后再计算.【详解】以及数列的应用根据题设条件,设数字,,,,,,,构成一个数列,可得数列满足,则,,.故选:B.本题主要考查归纳推理,解题关键是通过数列的项归纳出递推关系,从而可确定数列的一些项.7.D【解析】
通过三角函数的对称性以及周期性,函数的最值判断选项的正误即可得到结果.【详解】解:,正确;,为奇函数,周期函数,正确;,正确;D:,令,则,,,,则时,或时,即在上单调递增,在和上单调递减;且,,,故D错误.故选:.本题考查三角函数周期性和对称性的判断,利用导数判断函数最值,属于中档题.8.C【解析】试题分析:由已知,-2a+i=1-bi,根据复数相等的充要条件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,选C考点:复数的代数运算,复数相等的充要条件,复数的模9.C【解析】
在对称轴处取得最值有,结合,可得,易得曲线的解析式为,结合其对称中心为可得即可得到的最小值.【详解】∵直线是曲线的一条对称轴.,又..∴平移后曲线为.曲线的一个对称中心为..,注意到故的最小值为.故选:C.本题考查余弦型函数性质的应用,涉及到函数的平移、函数的对称性,考查学生数形结合、数学运算的能力,是一道中档题.10.D【解析】
求出直线的斜率和方程,代入双曲线的方程,运用韦达定理和中点坐标公式,结合焦点的坐标,可得的方程组,求得的值,即可得到答案.【详解】由题意,直线的斜率为,可得直线的方程为,把直线的方程代入双曲线,可得,设,则,由的中点为,可得,解答,又由,即,解得,所以双曲线的标准方程为.故选:D.本题主要考查了双曲线的标准方程的求解,其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组,合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.11.B【解析】
先考虑奇偶性,再考虑特殊值,用排除法即可得到正确答案.【详解】是奇函数,排除C,D;,排除A.故选:B.本题考查函数图象的判断,属于常考题.12.C【解析】
试题分析:将参数a与变量x分离,将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题,即可得到结论.解:不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]成立,等价于a≥-x-对于一切成立,∵y=-x-在区间上是增函数∴∴a≥-∴a的最小值为-故答案为C.考点:不等式的应用点评:本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于中档题二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.-160【解析】试题分析:常数项为.考点:二项展开式系数问题.14.【解析】
基本事件总数,恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数,由此能求出该市的任意5位申请人中,恰好有2人申请小区房源的概率.【详解】解:某市公租房源位于、、三个小区,每位申请人只能申请其中一个小区的房子,申请其中任意一个小区的房子是等可能的,该市的任意5位申请人中,基本事件总数,该市的任意5位申请人中,恰好有2人申请小区房源包含的基本事件个数:,该市的任意5位申请人中,恰好有2人申请小区房源的概率是.故答案为:.本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.15.210【解析】
转化,只有中含有,即得解.【详解】只有中含有,其中的系数为故答案为:210本题考查了二项式系数的求解,考查了学生概念理解,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.16.【解析】
根据平移后关于轴对称可知关于对称,进而利用特殊值构造方程,从而求得结果.【详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象,即关于轴对称关于对称即:本题正确结果:本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题,关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴,进而利用特殊值的方式来进行求解.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减.【解析】
(1)根据导数的几何意义求解即可.(2)易得函数定义域是,且.故分,和与四种情况,分别分析得极值点的关系进而求得原函数的单调性即可.【详解】(1)当时,,则切线的斜率为.又,则曲线在点的切线方程是,即.(2)的定义域是..①当时,,所以当时,;当时,,所以在上单调递增,在上单调递减;②当时,,所以当和时,;当时,,所以在和上单调递增,在上单调递减;③当时,,所以在上恒成立.所以在上单调递增;④当时,,所以和时,;时,.所以在和上单调递增,在上单调递减.综上所述,当时,在上单调递增,在上单调递减;当时,在和上单调递增,在上单调递减;当时,在上单调递增;当时,在和上单调递增,在上单调递减.本题主要考查了导数的几何意义以及含参数的函数单调性讨论,需要根据题意求函数的极值点,再根据极值点的大小关系分类讨论即可.属于常考题.18.(1)证明见解析(2)【解析】
(1)由题意可证得,,所以平面,则平面平面可证;(2)解法一:利用等体积法由可求出点到平面的距离;解法二:由条件知点到平面的距离等于点到平面的距离,过点作的垂线,垂足,证明平面,计算出即可.【详解】解法一:(1)依题意知,因为,所以.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又平面,所以.由已知,是等边三角形,且为的中点,所以.因为,所以.又,所以平面.又平面,所以平面平面.(2)在中,,,所以.由(1)知,平面,且,所以三棱锥的体积.在中,,,得,由(1)知,平面,所以,所以,设点到平面的距离,则三棱锥的体积,得.解法二:(1)同解法一;(2)因为,平面,平面,所以平面.所以点到平面的距离等于点到平面的距离.过点作的垂线,垂足,即.由(1)知,平面平面,平面平面,平面,所以平面,即为点到平面的距离.由(1)知,,在中,,,得.又,所以.所以点到平面的距离为.本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离,考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点到平面的距离一般可采用两种方法求解:①等体积法;②作(找)出点到平面的垂线段,进行计算即可.19.(1)见解析;(2)【解析】
(1)设中点为,连接、,首先通过条件得出,加,可得,进而可得平面,再加上平面,可得平面平面,则平面;(2)设中点为,连接、,可得平面,加上平面,则可如图建立直角坐标系,求出平面的法向量和平面的法向量,利用向量法可得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:设中点为,连接、,为等边三角形,,,,,,即,,,平面,平面,平面,为的中位线,,平面,平面,平面,、为平面内二相交直线,平面平面,平面DMN,平面;(2)设中点为,连接、为等边三角形,是等腰三角形,且顶角,,、、共线,,,,,平面平面.平面平面平面,交线为,平面平面.设,则在中,由余弦定理,得:又,,,,,为中点,,建立直角坐标系(如图),则,,,.,,设平面的法向量为,则,,取,则,,平面的法向量为,,二面角为锐角,二面角的余弦值大小为.本题考查面面平行证明线面平行,考查向量法求二面角的大小,考查学生计算能力和空间想象能力,是中档题.20.(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析.【解析】
(Ⅰ)由椭圆的定义可得,周长取最大值时,线段过点,可求出,从而求出椭圆的标准方程;(Ⅱ)设直线,直线,,,,.把直线与直线的方程分别代入椭圆的方程,利用韦达定理和弦长公式求出和,根据求出的值.最后直线与直线的方程联立,求两直线的交点即得结论.【详解】(Ⅰ)设的周长为,则,当且仅当线段过点时“”成立.,,又,,椭圆的标准方程为.(Ⅱ)若直线的斜率不存在,则直线的斜率也不存在,这与直线与直线相交于点矛盾,所以直线的斜率存在.设,,,,,.将直线的方程代入椭圆方程得:.,,.同理,.由得,此时.直线,联立直线与直线的方程得,即点在定直线.本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查学生的逻辑推理能力和运算能力,属于难题.21.(1)分布列见解析,数学期望为6;(2)①;②证明见解析【解析】
(1)变量的所有可能取值为4,5,6,7,8,分别求出对应的概率,进而可求出变量的分布列和数学期望;(2)①得2分只需要抛掷一次正面向上或两次反面向上,分别求出两种情况的概率,进而可求得;②得分分
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