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文档简介
2024-2025学年上海市上师大附中高三考前热身数学试题试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知正四面体的内切球体积为v,外接球的体积为V,则()A.4 B.8 C.9 D.272.已知x,,则“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.如图,在平面四边形中,满足,且,沿着把折起,使点到达点的位置,且使,则三棱锥体积的最大值为()A.12 B. C. D.4.将函数的图像向左平移个单位得到函数的图像,则的最小值为()A. B. C. D.5.已知函数,存在实数,使得,则的最大值为()A. B. C. D.6.已知数列,,,…,是首项为8,公比为得等比数列,则等于()A.64 B.32 C.2 D.47.△ABC的内角A,B,C的对边分别为,已知,则为()A. B. C.或 D.或8.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线D.α,β垂直于同一平面9.已知,则的大小关系是()A. B. C. D.10.以下三个命题:①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,判断“与有关系”的把握越大;其中真命题的个数为()A.3 B.2 C.1 D.011.从装有除颜色外完全相同的3个白球和个黑球的布袋中随机摸取一球,有放回的摸取5次,设摸得白球数为,已知,则A. B. C. D.12.已知向量,,设函数,则下列关于函数的性质的描述正确的是A.关于直线对称 B.关于点对称C.周期为 D.在上是增函数二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数为偶函数,则_____.14.在长方体中,,,,为的中点,则点到平面的距离是______.15.已知函数的图象在点处的切线方程是,则的值等于__________.16.实数,满足约束条件,则的最大值为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知凸边形的面积为1,边长,,其内部一点到边的距离分别为.求证:.18.(12分)设函数.(1)若,求函数的值域;(2)设为的三个内角,若,求的值;19.(12分)已知直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(2)设点,直线与曲线交于两点,求的值.20.(12分)已知函数.(1)证明:当时,;(2)若函数只有一个零点,求正实数的值.21.(12分)已知函数,其中,为自然对数的底数.(1)当时,求函数的极值;(2)设函数的导函数为,求证:函数有且仅有一个零点.22.(10分)在中,内角所对的边分别为,已知,且.(I)求角的大小;(Ⅱ)若,求面积的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
设正四面体的棱长为,取的中点为,连接,作正四面体的高为,首先求出正四面体的体积,再利用等体法求出内切球的半径,在中,根据勾股定理求出外接球的半径,利用球的体积公式即可求解.【详解】设正四面体的棱长为,取的中点为,连接,作正四面体的高为,则,,,设内切球的半径为,内切球的球心为,则,解得:;设外接球的半径为,外接球的球心为,则或,,在中,由勾股定理得:,,解得,,故选:D本题主要考查了多面体的内切球、外接球问题,考查了椎体的体积公式以及球的体积公式,需熟记几何体的体积公式,属于基础题.2.D【解析】
,不能得到,成立也不能推出,即可得到答案.【详解】因为x,,当时,不妨取,,故时,不成立,当时,不妨取,则不成立,综上可知,“”是“”的既不充分也不必要条件,故选:D本题主要考查了充分条件,必要条件的判定,属于容易题.3.C【解析】
过作于,连接,易知,,从而可证平面,进而可知,当最大时,取得最大值,取的中点,可得,再由,求出的最大值即可.【详解】在和中,,所以,则,过作于,连接,显然,则,且,又因为,所以平面,所以,当最大时,取得最大值,取的中点,则,所以,因为,所以点在以为焦点的椭圆上(不在左右顶点),其中长轴长为10,焦距长为8,所以的最大值为椭圆的短轴长的一半,故最大值为,所以最大值为,故的最大值为.故选:C.本题考查三棱锥体积的最大值,考查学生的空间想象能力与计算求解能力,属于中档题.4.B【解析】
根据三角函数的平移求出函数的解析式,结合三角函数的性质进行求解即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位,得到,此时与函数的图象重合,则,即,,当时,取得最小值为,故选:.本题主要考查三角函数的图象和性质,利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键.5.A【解析】
画出分段函数图像,可得,由于,构造函数,利用导数研究单调性,分析最值,即得解.【详解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故选:A本题考查了导数在函数性质探究中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.6.A【解析】
根据题意依次计算得到答案.【详解】根据题意知:,,故,,.故选:.本题考查了数列值的计算,意在考查学生的计算能力.7.D【解析】
由正弦定理可求得,再由角A的范围可求得角A.【详解】由正弦定理可知,所以,解得,又,且,所以或。故选:D.本题主要考查正弦定理,注意角的范围,是否有两解的情况,属于基础题.8.B【解析】
本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件,渗透直观想象、逻辑推理素养,利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断.【详解】由面面平行的判定定理知:内两条相交直线都与平行是的充分条件,由面面平行性质定理知,若,则内任意一条直线都与平行,所以内两条相交直线都与平行是的必要条件,故选B.面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理,最容易犯的错误为定理记不住,凭主观臆断,如:“若,则”此类的错误.9.B【解析】
利用函数与函数互为反函数,可得,再利用对数运算性质比较a,c进而可得结论.【详解】依题意,函数与函数关于直线对称,则,即,又,所以,.故选:B.本题主要考查对数、指数的大小比较,属于基础题.10.C【解析】
根据抽样方式的特征,可判断①;根据相关系数的性质,可判断②;根据独立性检验的方法和步骤,可判断③.【详解】①根据抽样是间隔相同,且样本间无明显差异,故①应是系统抽样,即①为假命题;②两个随机变量相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于1;两个随机变量相关性越弱,则相关系数的绝对值越接近于0;故②为真命题;③对分类变量与的随机变量的观测值来说,越小,“与有关系”的把握程度越小,故③为假命题.故选:.本题以命题的真假判断为载体考查了抽样方法、相关系数、独立性检验等知识点,属于基础题.11.B【解析】
由题意知,,由,知,由此能求出.【详解】由题意知,,,解得,,.故选:B.本题考查离散型随机变量的方差的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意二项分布的灵活运用.12.D【解析】
当时,,∴f(x)不关于直线对称;当时,,∴f(x)关于点对称;f(x)得周期,当时,,∴f(x)在上是增函数.本题选择D选项.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据偶函数的定义列方程,化简求得的值.【详解】由于为偶函数,所以,即,即,即,即,即,即,即,所以.故答案为:本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数,考查运算求解能力,属于中档题.14.【解析】
利用等体积法求解点到平面的距离【详解】由题在长方体中,,,所以,所以,设点到平面的距离为,解得故答案为:此题考查求点到平面的距离,通过在三棱锥中利用等体积法求解,关键在于合理变换三棱锥的顶点.15.【解析】
利用导数的几何意义即可解决.【详解】由已知,,,故.故答案为:.本题考查导数的几何意义,要注意在某点的切线与过某点的切线的区别,本题属于基础题.16.10【解析】
画出可行域,根据目标函数截距可求.【详解】解:作出可行域如下:由得,平移直线,当经过点时,截距最小,最大解得的最大值为10故答案为:10考查可行域的画法及目标函数最大值的求法,基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.证明见解析【解析】
由已知,易得,所以利用柯西不等式和基本不等式即可证明.【详解】因为凸边形的面积为1,所以,所以(由柯西不等式得)(由均值不等式得)本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题,考查学生对不等式灵活运用的能力,是一道容易题.18.(1)(2)【解析】
(1)将,利用三角恒等变换转化为:,,再根据正弦函数的性质求解,(2)根据,得,又为的内角,得到,再根据,利用两角和与差的余弦公式求解,【详解】(1),,,,即的值域为;(2)由,得,又为的内角,所以,又因为在中,,所以,所以.本题主要考查三角恒等变换和三角函数的性质,还考查了运算求解的能力,属于中档题,19.(1);(2)【解析】
(1)直接利用转换关系的应用,把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.(2)利用(1)的结论,进一步利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果.【详解】解:(1)直线的参数方程为(为参数),转换为直角坐标方程为.曲线的极坐标方程为.转换为,转换为直角坐标方程为.(2)直线的参数方程为(为参数),转换为标准式为(为参数),代入圆的直角坐标方程整理得,所以,..本题属于基础本题考查的知识要点:主要考查极坐标,参数方程与普通方程互化,及求三角形面积.需要熟记极坐标系与参数方程的公式,及与解析几何相关的直线与曲线位置关系的一些解题思路.20.(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)把转化成,令,由题意得,即证明恒成立,通过导数求证即可(2)直接求导可得,,令,得或,故根据0与的大小关系来进行分类讨论即可【详解】证明:(1)令,则.分析知,函数的增区间为,减区间为.所以当时,.所以,即,所以.所以当时,.解:(2)因为,所以.讨论:①当时,,此时函数在区间上单调递减.又,故此时函数仅有一个零点为0;②当时,令,得,故函数的增区间为,减区间为,.又极大值,所以极小值.当时,有.又,此时,故当时,函数还有一个零点,不符合题意;③当时,令得,故函数的增区间为,减区间为,.又极小值,所以极大值.若,则,得,所以,所以当且时,,故此时函数还有一个零点,不符合题意.综上,所求实数的值为.本题考查不等式的恒成立问题和函数的零点问题,本题的难点在于把导数化成因式分解的形式,如,进而分类讨论,本题属于难题21.见解析【解析】
(1)当时,函数,其定义域为,则,设,,易知函数在上单调递增,且,所以当时,,即;当时,,即,所以函数在上单调递减,在上单调递增,所以函数在处取得极小值,为,无极大值.(2)由题可得函数的定义域为,,设,,显然函数在上单调递增,当时,,,所以函数在内有一个零点,所以函数有且仅有一个零点;当时,,,所以函数有且仅有一个零点,
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