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文档简介
2024-2025学年上海师大附中高三下-第三次阶段测试数学试题试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.关于函数,有下述三个结论:①函数的一个周期为;②函数在上单调递增;③函数的值域为.其中所有正确结论的编号是()A.①② B.② C.②③ D.③2.已知函数,,且,则()A.3 B.3或7 C.5 D.5或83.已知直线:()与抛物线:交于(坐标原点),两点,直线:与抛物线交于,两点.若,则实数的值为()A. B. C. D.4.设a=log73,,c=30.7,则a,b,c的大小关系是()A. B. C. D.5.函数的图象可能为()A. B.C. D.6.已知全集U=x|x2≤4,x∈Z,A.-1 B.-1,0 C.-2,-1,0 D.-2,-1,0,1,27.已知平面向量,满足,且,则与的夹角为()A. B. C. D.8.函数()的图象的大致形状是()A. B. C. D.9.已知复数,其中为虚数单位,则()A. B. C.2 D.10.设向量,满足,,,则的取值范围是A. B.C. D.11.设,是双曲线的左,右焦点,是坐标原点,过点作的一条渐近线的垂线,垂足为.若,则的离心率为()A. B. C. D.12.已知函数,关于x的方程f(x)=a存在四个不同实数根,则实数a的取值范围是()A.(0,1)∪(1,e) B.C. D.(0,1)二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则该二项展开式中的常数项等于_____.14.的展开式中含的系数为__________.(用数字填写答案)15.已知向量,,若满足,且方向相同,则__________.16.设实数,若函数的最大值为,则实数的最大值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,.(1)解不等式;(2)若方程有三个解,求实数的取值范围.18.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)设直线与曲线交于,两点,求;(Ⅱ)若点为曲线上任意一点,求的取值范围.19.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数)和曲线(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线和曲线的极坐标方程;(2)在极坐标系中,已知点是射线与直线的公共点,点是与曲线的公共点,求的最大值.20.(12分)某保险公司给年龄在岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险,现从名参保人员中随机抽取名作为样本进行分析,按年龄段分成了五组,其频率分布直方图如下图所示;参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.据统计,该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.年龄(单位:岁)保费(单位:元)(1)用样本的频率分布估计总体分布,为使公司不亏本,求精确到整数时的最小值;(2)经调查,年龄在之间的老人每人中有人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为元,如果参保,保险公司补贴治疗费元.某老人年龄岁,若购买该项保险(取中的).针对此疾病所支付的费用为元;若没有购买该项保险,针对此疾病所支付的费用为元.试比较和的期望值大小,并判断该老人购买此项保险是否划算?21.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,已知.(1)若,,成等差数列,求的值;(2)是否存在满足为直角?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.22.(10分)已知三棱柱中,,是的中点,,.(1)求证:;(2)若侧面为正方形,求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
①用周期函数的定义验证.②当时,,,再利用单调性判断.③根据平移变换,函数的值域等价于函数的值域,而,当时,再求值域.【详解】因为,故①错误;当时,,所以,所以在上单调递增,故②正确;函数的值域等价于函数的值域,易知,故当时,,故③正确.故选:C.本题考查三角函数的性质,还考查推理论证能力以及分类讨论思想,属于中档题.2.B【解析】
根据函数的对称轴以及函数值,可得结果.【详解】函数,若,则的图象关于对称,又,所以或,所以的值是7或3.故选:B.本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题,属基础题3.D【解析】
设,,联立直线与抛物线方程,消去、列出韦达定理,再由直线与抛物线的交点求出点坐标,最后根据,得到方程,即可求出参数的值;【详解】解:设,,由,得,∵,解得或,∴,.又由,得,∴或,∴,∵,∴,又∵,∴代入解得.故选:D本题考查直线与抛物线的综合应用,弦长公式的应用,属于中档题.4.D【解析】
,,得解.【详解】,,,所以,故选D比较不同数的大小,找中间量作比较是一种常见的方法.5.C【解析】
先根据是奇函数,排除A,B,再取特殊值验证求解.【详解】因为,所以是奇函数,故排除A,B,又,故选:C本题主要考查函数的图象,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.6.C【解析】
先求出集合U,再根据补集的定义求出结果即可.【详解】由题意得U=x|∵A=1,2∴CU故选C.本题考查集合补集的运算,求解的关键是正确求出集合U和熟悉补集的定义,属于简单题.7.C【解析】
根据,两边平方,化简得,再利用数量积定义得到求解.【详解】因为平面向量,满足,且,所以,所以,所以,所以,所以与的夹角为.故选:C本题主要考查平面向量的模,向量的夹角和数量积运算,属于基础题.8.C【解析】
对x分类讨论,去掉绝对值,即可作出图象.【详解】故选C.识图常用的方法(1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图象的上升(或下降)的趋势,利用这一特征分析解决问题;(2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题;(3)函数模型法:由所提供的图象特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解决问题.9.D【解析】
把已知等式变形,然后利用数代数形式的乘除运算化简,再由复数模的公式计算得答案.【详解】解:,则.故选:D.本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题.10.B【解析】
由模长公式求解即可.【详解】,当时取等号,所以本题答案为B.本题考查向量的数量积,考查模长公式,准确计算是关键,是基础题.11.B【解析】
设过点作的垂线,其方程为,联立方程,求得,,即,由,列出相应方程,求出离心率.【详解】解:不妨设过点作的垂线,其方程为,由解得,,即,由,所以有,化简得,所以离心率.故选:B.本题主要考查双曲线的概念、直线与直线的位置关系等基础知识,考查运算求解、推理论证能力,属于中档题.12.D【解析】
原问题转化为有四个不同的实根,换元处理令t,对g(t)进行零点个数讨论.【详解】由题意,a>2,令t,则f(x)=a⇔⇔⇔⇔.记g(t).当t<2时,g(t)=2ln(﹣t)(t)单调递减,且g(﹣2)=2,又g(2)=2,∴只需g(t)=2在(2,+∞)上有两个不等于2的不等根.则⇔,记h(t)(t>2且t≠2),则h′(t).令φ(t),则φ′(t)2.∵φ(2)=2,∴φ(t)在(2,2)大于2,在(2,+∞)上小于2.∴h′(t)在(2,2)上大于2,在(2,+∞)上小于2,则h(t)在(2,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减.由,可得,即a<2.∴实数a的取值范围是(2,2).故选:D.此题考查方程的根与函数零点问题,关键在于等价转化,将问题转化为通过导函数讨论函数单调性解决问题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】
由题意可得,再利用二项展开式的通项公式,求得二项展开式常数项的值.【详解】的二项展开式的中,只有第5项的二项式系数最大,,通项公式为,令,求得,可得二项展开式常数项等于,故答案为1.本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.14.【解析】由题意得,二项式展开式的通项为,令,则,所以得系数为.15.【解析】
由向量平行坐标表示计算.注意验证两向量方向是否相同.【详解】∵,∴,解得或,时,满足题意,时,,方向相反,不合题意,舍去.∴.故答案为:1.本题考查向量平行的坐标运算,解题时要注意验证方向相同这个条件,否则会出错.16.【解析】
根据,则当时,,即.当时,显然成立;当时,由,转化为,令,用导数法求其最大值即可.【详解】因为,又当时,,即.当时,显然成立;当时,由等价于,令,,当时,,单调递增,当时,,单调递减,,则,又,得,因此的最大值为.故答案为:本题主要考查导数在函数中的应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【解析】
(1)对分三种情况讨论,分别去掉绝对值符号,然后求解不等式组,再求并集即可得结果;(2).作出函数的图象,当直线与函数的图象有三个公共点时,方程有三个解,由图可得结果.【详解】(1)不等式,即为.当时,即化为,得,此时不等式的解集为,当时,即化为,解得,此时不等式的解集为.综上,不等式的解集为.(2)即.作出函数的图象如图所示,当直线与函数的图象有三个公共点时,方程有三个解,所以.所以实数的取值范围是.绝对值不等式的解法:法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.18.(Ⅰ)6(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)化简得到直线的普通方程化为,,是以点为圆心,为半径的圆,利用垂径定理计算得到答案.(Ⅱ)设,则,得到范围.【详解】(Ⅰ)由题意可知,直线的普通方程化为,曲线的极坐标方程变形为,所以的普通方程分别为,是以点为圆心,为半径的圆,设点到直线的距离为,则,所以.(Ⅱ)的标准方程为,所以参数方程为(为参数),设,,因为,所以,所以.本题考查了参数方程,极坐标方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.19.(1),;(2)【解析】
(1)先将直线l和圆C的参数方程化成普通方程,再分别求出极坐标方程;(2)写出点M和点N的极坐标,根据极径的定义分别表示出和,利用三角函数的性质求出的最大值.【详解】解:(1),,即极坐标方程为,,极坐标方程.(2)由题可知,,当时,.本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题,极径的定义,以及三角函数的恒等变换,属于中档题.20.(1)30;(2),比较划算.【解析】
(1)由频率和为1求出,根据的值求出保费的平均值,然后解一元一次不等式即可求出结果,最后取近似值即可;(2)分别计算参保与不参保时的期望,,比较大小即可.【详解】解:(1)由,解得.保险公司每年收取的保费为:∴要使公司不亏本,则,即解得∴.(2)①若该老人购买了此项保险,则的取值为∴(元).②若该老人没有购买此项保险,则的取值为.∴(元).∴年龄为的该老人购买此项保险比较划算.本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力,掌握频率分布直方图的基本性质,知道数学期望是平均数的另一种数学语言,为容易题.21.见解析【解析】
(1)因为,,成等差数列,所以,由余弦定理可得,因为,所以,即,所以.(2)若B为直角,则,,由及正弦定理可得,所以,即,上式两边同时平方,可得,所以(*).又,所以,,所以,与(*)矛盾,所以不存在满足为直角.22.(1)证明见解析(2)【解析】
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