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文档简介
2024-2025学年山东省青岛市平度第三中学高三一诊模拟考试(一)数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若函数恰有3个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.2.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是()A. B. C. D.3.若复数满足,则()A. B. C. D.4.函数的图象与轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列,要得到函数的图象,只需将的图象()A.向左平移个单位 B.向右平移个单位C.向左平移个单位 D.向右平移个单位5.集合,,则()A. B. C. D.6.设函数在定义城内可导,的图象如图所示,则导函数的图象可能为()A. B.C. D.7.如图,双曲线的左,右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为()A. B.C. D.8.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是()A. B. C. D.9.过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A,与准线在第三象限交于点B,过点作准线的垂线,垂足为.若,则()A. B. C. D.10.己知函数若函数的图象上关于原点对称的点有2对,则实数的取值范围是()A. B. C. D.11.已知直线:与椭圆交于、两点,与圆:交于、两点.若存在,使得,则椭圆的离心率的取值范围为()A. B. C. D.12.已知,,若,则实数的值是()A.-1 B.7 C.1 D.1或7二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,,且,则的最小值是______.14.在三棱锥中,已知,且平面平面,则三棱锥外接球的表面积为______.15.在平面直角坐标系中,若双曲线(,)的离心率为,则该双曲线的渐近线方程为________.16.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,,,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知直线与抛物线交于两点.(1)当点的横坐标之和为4时,求直线的斜率;(2)已知点,直线过点,记直线的斜率分别为,当取最大值时,求直线的方程.18.(12分)试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式,其中M,N.19.(12分)如图,已知椭圆C:x24+y2=1,F为其右焦点,直线l:y=kx+m(km<0)与椭圆交于P(x1(I)试用x1表示|PF|(II)证明:原点O到直线l的距离为定值.20.(12分)如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形,为棱上的动点,且.(I)求证:为直角三角形;(II)试确定的值,使得二面角的平面角余弦值为.21.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线的参数方程为(为参数),圆的方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求和的极坐标方程;(2)过且倾斜角为的直线与交于点,与交于另一点,若,求的取值范围.22.(10分)如图,在四棱锥中,平面,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
求导函数,求出函数的极值,利用函数恰有三个零点,即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为,令,则或,上单调递减,上单调递增,所以0或是函数y的极值点,函数的极值为:,函数恰有三个零点,则实数的取值范围是:.故选B.该题考查的是有关结合函数零点个数,来确定参数的取值范围的问题,在解题的过程中,注意应用导数研究函数图象的走向,利用数形结合思想,转化为函数图象间交点个数的问题,难度不大.2.D【解析】
根据三视图判断出几何体为正四棱锥,由此计算出几何体的表面积.【详解】根据三视图可知,该几何体为正四棱锥.底面积为.侧面的高为,所以侧面积为.所以该几何体的表面积是.故选:D本小题主要考查由三视图判断原图,考查锥体表面积的计算,属于基础题.3.C【解析】
化简得到,,再计算复数模得到答案.【详解】,故,故,.故选:.本题考查了复数的化简,共轭复数,复数模,意在考查学生的计算能力.4.A【解析】依题意有的周期为.而,故应左移.5.A【解析】
计算,再计算交集得到答案.【详解】,,故.故选:.本题考查了交集运算,属于简单题.6.D【解析】
根据的图象可得的单调性,从而得到在相应范围上的符号和极值点,据此可判断的图象.【详解】由的图象可知,在上为增函数,且在上存在正数,使得在上为增函数,在为减函数,故在有两个不同的零点,且在这两个零点的附近,有变化,故排除A,B.由在上为增函数可得在上恒成立,故排除C.故选:D.本题考查导函数图象的识别,此类问题应根据原函数的单调性来考虑导函数的符号与零点情况,本题属于基础题.7.A【解析】
易得,过B作x轴的垂线,垂足为T,在中,利用即可得到的方程.【详解】由已知,得,过B作x轴的垂线,垂足为T,故,又所以,即,所以双曲线的离心率.故选:A.本题考查双曲线的离心率问题,在作双曲线离心率问题时,最关键的是找到的方程或不等式,本题属于容易题.8.A【解析】
根据几何概率计算公式,求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.【详解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率为.故选A.本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题.9.C【解析】
需结合抛物线第一定义和图形,得为等腰三角形,设准线与轴的交点为,过点作,再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出,,结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图,设准线与轴的交点为,过点作.由抛物线定义知,所以,,,,所以.故选:C本题考查抛物线的几何性质,三角函数的性质,数形结合思想,转化与化归思想,属于中档题10.B【解析】
考虑当时,有两个不同的实数解,令,则有两个不同的零点,利用导数和零点存在定理可得实数的取值范围.【详解】因为的图象上关于原点对称的点有2对,所以时,有两个不同的实数解.令,则在有两个不同的零点.又,当时,,故在上为增函数,在上至多一个零点,舍.当时,若,则,在上为增函数;若,则,在上为减函数;故,因为有两个不同的零点,所以,解得.又当时,且,故在上存在一个零点.又,其中.令,则,当时,,故为减函数,所以即.因为,所以在上也存在一个零点.综上,当时,有两个不同的零点.故选:B.本题考查函数的零点,一般地,较为复杂的函数的零点,必须先利用导数研究函数的单调性,再结合零点存在定理说明零点的存在性,本题属于难题.11.A【解析】
由题意可知直线过定点即为圆心,由此得到坐标的关系,再根据点差法得到直线的斜率与坐标的关系,由此化简并求解出离心率的取值范围.【详解】设,且线过定点即为的圆心,因为,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以.故选:A.本题考查椭圆与圆的综合应用,着重考查了椭圆离心率求解以及点差法的运用,难度一般.通过运用点差法达到“设而不求”的目的,大大简化运算.12.C【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算,化简即可求得的值.【详解】由平面向量数量积的坐标运算,代入化简可得.∴解得.故选:C.本题考查了平面向量数量积的坐标运算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】
先将前两项利用基本不等式去掉,,再处理只含的算式即可.【详解】解:,因为,所以,所以,当且仅当,,时等号成立,故答案为:1.本题主要考查基本不等式的应用,但是由于有3个变量,导致该题不易找到思路,属于中档题.14.【解析】
取的中点,设等边三角形的中心为,连接.根据等边三角形的性质可求得,,由等腰直角三角形的性质,得,根据面面垂直的性质得平面,,由勾股定理求得,可得为三棱锥外接球的球心,根据球体的表面积公式可求得此外接球的表面积.【详解】在等边三角形中,取的中点,设等边三角形的中心为,连接.由,得,,由已知可得是以为斜边的等腰直角三角形,,又由已知可得平面平面,平面,,,所以,为三棱锥外接球的球心,外接球半径,三棱锥外接球的表面积为.故答案为:本题考查三棱锥的外接球的表面积,关键在于根据三棱锥的面的关系、棱的关系和长度求得外接球的球心的位置,球的半径,属于中档题.15.【解析】
利用,解出,即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】,且,,,该双曲线的渐近线方程为:.故答案为:.本题考查了双曲线离心率与渐近线方程,考查了双曲线基本量的关系,考查了运算能力,属于基础题.16.0.35【解析】
根据对立事件的概率和为1,结合题意,即可求出结果来.【详解】解:由题意知本题是一个对立事件的概率,抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品,,抽到不是一等品的概率是,故答案为:.本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】
(1)设,根据直线的斜率公式即可求解;(2)设直线的方程为,联立直线与抛物线方程,由韦达定理得,,结合直线的斜率公式得到,换元后讨论的符号,求最值可求解.【详解】(1)设,因为,即直线的斜率为1.(2)显然直线的斜率存在,设直线的方程为.联立方程组,可得则,令,则则当时,;当且仅当,即时,解得时,取“=”号,当时,;当时,综上所述,当时,取得最大值,此时直线的方程是.本题主要考查了直线的斜率公式,直线与抛物线的位置关系,换元法,均值不等式,考查了运算能力,属于难题.18.y=2sin2x.【解析】
计算MN,计算得到函数表达式.【详解】∵M,N,∴MN,∴在矩阵MN变换下,→∴曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2sin2x.本题考查了矩阵变换,意在考查学生的计算能力.19.(I)|FP|=2-32x【解析】
(I)直接利用两点间距离公式化简得到答案.(II)设Ax3,y3,Bx4【详解】(I)椭圆C:x24|FP|=x(II)设Ax3,y3,B4k2+1x2OA=OB,故y3PA=PF,故1+k由已知得:x3<x故1+k即1+k2⋅故原点O到直线l的距离为d=m本题考查了椭圆内的线段长度,定值问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.20.(1)见解析;(II).【解析】
试题分析:(1)取中点,连结,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明为直角三角形;(2)设,由,得,求出平面的法向量和平面的法向量,,根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.试题解析:(I)取中点,连结,依题意可知均为正三角形,所以,又平面平面,所以平面,又平面,所以,因为,所以,即,从而为直角三角形.(II)法一:由(I)可知,又平面平面,平面平面,平面,所以平面.以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,由可得点的坐标所以,设平面的法向量为,则,即解得,令,得,显然平面的一个法向量为,依题意,解得或(舍去),所以,当时,二面角的余弦值为.法二:由(I)可知平面,所以,所以为二面角的平面角,即,在中,,所以,由正弦定理可得,即解得,又,所以,所以,当时,二面角的余弦值为.21.(1);(2)【解析】
(1)直接利用转换公式,把参数方程,直角坐标方程与极坐标方程进行转化;(2)利用极坐标方程将转化为三角函数求解即可.【详解】(1)因为,所以的普通方程为,又,,,的极坐标方程为,的方程即为,对应极坐标方程为.(2)由己知设,,则,,所以,又,,当,即时,取得最小值;当,即时,取得最大值.所以,的取值范围为.本题主要考查了直角坐标方程,参数方程与极坐标方程的互化,三角函数的值域求解等知识,考查了学生的运算求解能力.22.(1)见解析;(2)【解析】
(1)取的中点,连接,根据中位线的方法证明四边形是平行四边形.再证明与从而证明平面,从而得到平面即可.(2)以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,再求得平面的法向量与平面的法向量进而求得二面角的余弦值即
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