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文档简介
2024-2025学年鄂西南三校合作体高三下学期期初考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,在四边形中,,,,,,则的长度为()A. B.C. D.2.抛物线方程为,一直线与抛物线交于两点,其弦的中点坐标为,则直线的方程为()A. B. C. D.3.在中,为中点,且,若,则()A. B. C. D.4.已知,则的大小关系为A. B. C. D.5.2019年末,武汉出现新型冠状病毒肺炎()疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快.因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大.武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人.在排查期间,一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”.设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为()且相互独立,该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为,当时,最大,则()A. B. C. D.6.已知双曲线C:()的左、右焦点分别为,过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若,则双曲线C的渐近线方程为()A. B. C. D.7.空气质量指数是反映空气状况的指数,指数值趋小,表明空气质量越好,下图是某市10月1日-20日指数变化趋势,下列叙述错误的是()A.这20天中指数值的中位数略高于100B.这20天中的中度污染及以上(指数)的天数占C.该市10月的前半个月的空气质量越来越好D.总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好8.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为11,则图中的判断条件可以为()A. B. C. D.9.已知i是虚数单位,则1+iiA.-12+32i10.设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分不必要条件11.函数的部分图像如图所示,若,点的坐标为,若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,则的最小值为()A. B. C. D.12.已知函数的图象在点处的切线方程是,则()A.2 B.3 C.-2 D.-3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,己知半圆的直径,点是弦(包含端点,)上的动点,点在弧上.若是等边三角形,且满足,则的最小值为___________.14.已知函数在处的切线与直线平行,则为________.15.某次足球比赛中,,,,四支球队进入了半决赛.半决赛中,对阵,对阵,获胜的两队进入决赛争夺冠军,失利的两队争夺季军.已知他们之间相互获胜的概率如下表所示.获胜概率—0.40.30.8获胜概率0.6—0.70.5获胜概率0.70.3—0.3获胜概率0.20.50.7—则队获得冠军的概率为______.16.正项等比数列|满足,且成等差数列,则取得最小值时的值为_____三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知圆,定点,为平面内一动点,以线段为直径的圆内切于圆,设动点的轨迹为曲线(1)求曲线的方程(2)过点的直线与交于两点,已知点,直线分别与直线交于两点,线段的中点是否在定直线上,若存在,求出该直线方程;若不是,说明理由.18.(12分)在直角坐标系中,长为3的线段的两端点分别在轴、轴上滑动,点为线段上的点,且满足.记点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若点为曲线上的两个动点,记,判断是否存在常数使得点到直线的距离为定值?若存在,求出常数的值和这个定值;若不存在,请说明理由.19.(12分)已知函数(是自然对数的底数,).(1)求函数的图象在处的切线方程;(2)若函数在区间上单调递增,求实数的取值范围;(3)若函数在区间上有两个极值点,且恒成立,求满足条件的的最小值(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值).20.(12分)设,(1)求的单调区间;(2)设恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)已知函数.(1)当时,求函数的图象在处的切线方程;(2)讨论函数的单调性;(3)当时,若方程有两个不相等的实数根,求证:.22.(10分)已知数列的前项和为,且满足().(1)求数列的通项公式;(2)设(),数列的前项和.若对恒成立,求实数,的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
设,在中,由余弦定理得,从而求得,再由由正弦定理得,求得,然后在中,用余弦定理求解.【详解】设,在中,由余弦定理得,则,从而,由正弦定理得,即,从而,在中,由余弦定理得:,则.故选:D本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.2.A【解析】
设,,利用点差法得到,所以直线的斜率为2,又过点,再利用点斜式即可得到直线的方程.【详解】解:设,∴,又,两式相减得:,∴,∴,∴直线的斜率为2,又∴过点,∴直线的方程为:,即,故选:A.本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题,解题方法是“点差法”,即设出弦的两端点坐标,代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系.3.B【解析】
选取向量,为基底,由向量线性运算,求出,即可求得结果.【详解】,,,,,.故选:B.本题考查了平面向量的线性运算,平面向量基本定理,属于基础题.4.D【解析】
分析:由题意结合对数的性质,对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.详解:由题意可知:,即,,即,,即,综上可得:.本题选择D选项.点睛:对于指数幂的大小的比较,我们通常都是运用指数函数的单调性,但很多时候,因幂的底数或指数不相同,不能直接利用函数的单调性进行比较.这就必须掌握一些特殊方法.在进行指数幂的大小比较时,若底数不同,则首先考虑将其转化成同底数,然后再根据指数函数的单调性进行判断.对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较,利用图象法求解,既快捷,又准确.5.A【解析】
根据题意分别求出事件A:检测5个人确定为“感染高危户”发生的概率和事件B:检测6个人确定为“感染高危户”发生的概率,即可得出的表达式,再根据基本不等式即可求出.【详解】设事件A:检测5个人确定为“感染高危户”,事件B:检测6个人确定为“感染高危户”,∴,.即设,则∴当且仅当即时取等号,即.故选:A.本题主要考查概率的计算,涉及相互独立事件同时发生的概率公式的应用,互斥事件概率加法公式的应用,以及基本不等式的应用,解题关键是对题意的理解和事件的分解,意在考查学生的数学运算能力和数学建模能力,属于较难题.6.D【解析】
设,利用余弦定理,结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设,由双曲线的定义可知:因此再由双曲线的定义可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此双曲线的渐近线方程为:.故选:D本题考查了双曲线的定义的应用,考查了余弦定理的应用,考查了双曲线的渐近线方程,考查了数学运算能力.7.C【解析】
结合题意,根据题目中的天的指数值,判断选项中的命题是否正确.【详解】对于,由图可知天的指数值中有个低于,个高于,其中第个接近,第个高于,所以中位数略高于,故正确.对于,由图可知天的指数值中高于的天数为,即占总天数的,故正确.对于,由图可知该市月的前天的空气质量越来越好,从第天到第天空气质量越来越差,故错误.对于,由图可知该市月上旬大部分指数在以下,中旬大部分指数在以上,所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好,故正确.故选:本题考查了对折线图数据的分析,读懂题意是解题关键,并能运用所学知识对命题进行判断,本题较为基础.8.B【解析】
根据程序框图知当时,循环终止,此时,即可得答案.【详解】,.运行第一次,,不成立,运行第二次,,不成立,运行第三次,,不成立,运行第四次,,不成立,运行第五次,,成立,输出i的值为11,结束.故选:B.本题考查补充程序框图判断框的条件,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.9.D【解析】
利用复数的运算法则即可化简得出结果【详解】1+i故选D本题考查了复数代数形式的乘除运算,属于基础题。10.A【解析】
试题分析:α⊥β,b⊥m又直线a在平面α内,所以a⊥b,但直线不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件,故选A.考点:充分条件、必要条件.11.B【解析】
根据图象以及题中所给的条件,求出和,即可求得的解析式,再通过平移变换函数图象关于轴对称,求得的最小值.【详解】由于,函数最高点与最低点的高度差为,所以函数的半个周期,所以,又,,则有,可得,所以,将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称,即平移后为偶函数,所以的最小值为1,故选:B.该题主要考查三角函数的图象和性质,根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键,要求熟练掌握函数图象之间的变换关系,属于简单题目.12.B【解析】
根据求出再根据也在直线上,求出b的值,即得解.【详解】因为,所以所以,又也在直线上,所以,解得所以.故选:B本题主要考查导数的几何意义,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】
建系,设,表示出点坐标,则,根据的范围得出答案.【详解】解:以为原点建立平面坐标系如图所示:则,,,,设,则,,,,,,,显然当取得最大值4时,取得最小值1.故答案为:1.本题考查了平面向量的数量积运算,坐标运算,属于中档题.14.【解析】
根据题意得出,由此可得出实数的值.【详解】,,直线的斜率为,由于函数在处的切线与直线平行,则.故答案为:.本题考查利用函数的切线与直线平行求参数,解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系,考查计算能力,属于基础题.15.0.18【解析】
根据表中信息,可得胜C的概率;分类讨论B或D进入决赛,再计算A胜B或A胜C的概率即可求解.【详解】由表中信息可知,胜C的概率为;若B进入决赛,B胜D的概率为,则A胜B的概率为;若D进入决赛,D胜B的概率为,则A胜D的概率为;由相应的概率公式知,则A获得冠军的概率为.故答案为:0.18本题考查了独立事件的概率应用,互斥事件的概率求法,属于基础题.16.2【解析】
先由题意列出关于的方程,求得的通项公式,再表示出即可求解.【详解】解:设公比为,且,时,上式有最小值,故答案为:2.本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算,中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)存在,.【解析】
(1)设以为直径的圆心为,切点为,取关于轴的对称点,连接,计算得到,故轨迹为椭圆,计算得到答案.(2)设直线的方程为,设,联立方程得到,,计算,得到答案.【详解】(1)设以为直径的圆心为,切点为,则,取关于轴的对称点,连接,故,所以点的轨迹是以为焦点,长轴为4的椭圆,其中,曲线方程为.(2)设直线的方程为,设,直线的方程为,同理,所以,即,联立,所以,代入得,所以点都在定直线上.本题考查了轨迹方程,定直线问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.(1)(2)存在;常数,定值【解析】
(1)设出的坐标,利用以及,求得曲线的方程.(2)当直线的斜率存在时,设出直线的方程,求得到直线的距离.联立直线的方程和曲线的方程,写出根与系数关系,结合以及为定值,求得的值.当直线的斜率不存在时,验证.由此得到存在常数,且定值.【详解】(1)解析:(1)设,,由题可得,解得又,即,消去得:(2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为设,由可得:由点到的距离为定值可得(为常数)即得:即,又为定值时,,此时,且符合当直线的斜率不存在时,设直线方程为由题可得,时,,经检验,符合条件综上可知,存在常数,且定值本小题主要考查轨迹方程的求法,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算求解能力,考查椭圆中的定值问题,属于难题.19.(1);(2);(3).【解析】
(1)利用导数的几何意义计算即可;(2)在上恒成立,只需,注意到;(3)在上有两根,令,求导可得在上单调递减,在上单调递增,所以且,,,求出的范围即可.【详解】(1)因为,所以,当时,,所以切线方程为,即.(2),.因为函数在区间上单调递增,所以,且恒成立,即,所以,即,又,故,所以实数的取值范围是.(3).因为函数在区间上有两个极值点,所以方程在上有两不等实根,即.令,则,由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,解得且.又由,所以,且当和时,单调递增,当时,单调递减,是极值点,此时令,则,所以在上单调递减,所以.因为恒成立,所以.若,取,则,所以.令,则,.当时,;当时,.所以,所以在上单调递增,所以,即存在使得,不合题意.满足条件的的最小值为-4.本题考查导数的综合应用,涉及到导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值点,不等式恒成立等知识,是一道难题.20.(1)单调递增区间为,单调递减区间为;(2)【解析】
(1),令,解不等式即可;(2),令得,即,且的最小值为,令,结合即可解决.【详解】(1),当时,,递增,当时,,递减.故的单调递增区间为,单调递减区间为.(2),,,设的根为,即有可得,,当时,,递减,当时,,递增.,所以,①当;②当时,设,递增,,所以.综上,.本题考查了利用导数研究函数单调性以及函数恒成立问题,这里要强调一点,处理恒成立问题时,通常是构造函数,将问题转化为函数的极值或最值来处理.21.(1);(2)当时,在上是减函数;当时,在上是增函数;(3)证明见解析.【解析】
(1)当时
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