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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.两圆和相外切,且,则的最大值为()A. B.9 C. D.12.在平面直角坐标系中,若不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,则实数的取值范围为()A. B. C. D.3.设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且,则直线的斜率的最大值为()A.1 B. C. D.4.函数在的图象大致为()A. B.C. D.5.,则与位置关系是()A.平行 B.异面C.相交 D.平行或异面或相交6.在平面直角坐标系中,经过点,渐近线方程为的双曲线的标准方程为()A. B. C. D.7.a为正实数,i为虚数单位,,则a=()A.2 B. C. D.18.设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=AB,则集合中的元素共有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个9.已知非零向量满足,,且与的夹角为,则()A.6 B. C. D.310.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一,其内容是:一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和,也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的,我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,加数全部为质数的概率为()A. B. C. D.11.设、,数列满足,,,则()A.对于任意,都存在实数,使得恒成立B.对于任意,都存在实数,使得恒成立C.对于任意,都存在实数,使得恒成立D.对于任意,都存在实数,使得恒成立12.某几何体的三视图如图所示,若图中小正方形的边长均为1,则该几何体的体积是A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是_____.(写出所有正确命题的序号)因为所以不是函数的周期;对于定义在上的函数若则函数不是偶函数;“”是“”成立的充分必要条件;若实数满足则.14.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且,则________.15.如图,机器人亮亮沿着单位网格,从地移动到地,每次只移动一个单位长度,则亮亮从移动到最近的走法共有____种.16.数据的标准差为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)己知函数.(1)当时,求证:;(2)若函数,求证:函数存在极小值.18.(12分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,且过点.求椭圆的方程;已知是椭圆的内接三角形,①若点为椭圆的上顶点,原点为的垂心,求线段的长;②若原点为的重心,求原点到直线距离的最小值.19.(12分)已知曲线的参数方程为为参数,曲线的参数方程为为参数).(1)求与的普通方程;(2)若与相交于,两点,且,求的值.20.(12分)在平面直角坐标系中,为直线上动点,过点作抛物线:的两条切线,,切点分别为,,为的中点.(1)证明:轴;(2)直线是否恒过定点?若是,求出这个定点的坐标;若不是,请说明理由.21.(12分)某超市在节日期间进行有奖促销,规定凡在该超市购物满400元的顾客,均可获得一次摸奖机会.摸奖规则如下:奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球(红、黄、黑、白).顾客不放回的每次摸出1个球,若摸到黑球则摸奖停止,否则就继续摸球.按规定摸到红球奖励20元,摸到白球或黄球奖励10元,摸到黑球不奖励.(1)求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率;(2)记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量X的分布列和数学期望.22.(10分)已知.(1)当时,求不等式的解集;(2)若,,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由两圆相外切,得出,结合二次函数的性质,即可得出答案.【详解】因为两圆和相外切所以,即当时,取最大值故选:A【点睛】本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数,属于中档题.2.B【解析】
依据线性约束条件画出可行域,目标函数恒过,再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系,即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域,如图所示:其中,直线过定点,当时,不等式表示直线及其左边的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线下方的区域,不满足题意;当时,直线的斜率,不等式表示直线上方的区域,要使不等式组所表示的平面区域内存在点,使不等式成立,只需直线的斜率,解得.综上可得实数的取值范围为,故选:B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题,分类讨论与数形结合思想,属于中档题3.A【解析】
设,因为,得到,利用直线的斜率公式,得到,结合基本不等式,即可求解.【详解】由题意,抛物线的焦点坐标为,设,因为,即线段的中点,所以,所以直线的斜率,当且仅当,即时等号成立,所以直线的斜率的最大值为1.故选:A.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及其应用,直线的斜率公式,以及利用基本不等式求最值的应用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.4.C【解析】
先根据函数奇偶性排除B,再根据函数极值排除A;结合特殊值即可排除D,即可得解.【详解】函数,则,所以为奇函数,排除B选项;当时,,所以排除A选项;当时,,排除D选项;综上可知,C为正确选项,故选:C.【点睛】本题考查根据函数解析式判断函数图像,注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用,属于基础题.5.D【解析】结合图(1),(2),(3)所示的情况,可得a与b的关系分别是平行、异面或相交.选D.6.B【解析】
根据所求双曲线的渐近线方程为,可设所求双曲线的标准方程为k.再把点代入,求得k的值,可得要求的双曲线的方程.【详解】∵双曲线的渐近线方程为设所求双曲线的标准方程为k.又在双曲线上,则k=16-2=14,即双曲线的方程为∴双曲线的标准方程为故选:B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程,双曲线的定义和标准方程,以及双曲线的简单性质的应用,属于基础题.7.B【解析】
,选B.8.A【解析】试题分析:,,所以,即集合中共有3个元素,故选A.考点:集合的运算.9.D【解析】
利用向量的加法的平行四边形法则,判断四边形的形状,推出结果即可.【详解】解:非零向量,满足,可知两个向量垂直,,且与的夹角为,说明以向量,为邻边,为对角线的平行四边形是正方形,所以则.故选:.【点睛】本题考查向量的几何意义,向量加法的平行四边形法则的应用,考查分析问题解决问题的能力,属于基础题.10.A【解析】
列出所有可以表示成和为6的正整数式子,找到加数全部为质数的只有,利用古典概型求解即可.【详解】6拆成两个正整数的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),而加数全为质数的有(3,3),根据古典概型知,所求概率为.故选:A.【点睛】本题主要考查了古典概型,基本事件,属于容易题.11.D【解析】
取,可排除AB;由蛛网图可得数列的单调情况,进而得到要使,只需,由此可得到答案.【详解】取,,数列恒单调递增,且不存在最大值,故排除AB选项;由蛛网图可知,存在两个不动点,且,,因为当时,数列单调递增,则;当时,数列单调递减,则;所以要使,只需要,故,化简得且.故选:D.【点睛】本题考查递推数列的综合运用,考查逻辑推理能力,属于难题.12.B【解析】该几何体是直三棱柱和半圆锥的组合体,其中三棱柱的高为2,底面是高和底边均为4的等腰三角形,圆锥的高为4,底面半径为2,则其体积为,.故选B点睛:由三视图画出直观图的步骤和思考方法:1、首先看俯视图,根据俯视图画出几何体地面的直观图;2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度;3、画出整体,然后再根据三视图进行调整.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
对①,根据周期的定义判定即可.对②,根据偶函数满足的性质判定即可.对③,举出反例判定即可.对④,求解不等式再判定即可.【详解】解:因为当时,所以由周期函数的定义知不是函数的周期,故正确;对于定义在上的函数,若,由偶函数的定义知函数不是偶函数,故正确;当时不满足则“”不是“”成立的充分不必要条件,故错误;若实数满足则所以成立,故正确.正确命题的序号是.故答案为:.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定,属于基础题.14.【解析】
利用正弦定理将边化角,即可容易求得结果.【详解】由正弦定理可知,,即.故答案为:.【点睛】本题考查利用正弦定理实现边角互化,属基础题.15.【解析】
分三步来考查,先从到,再从到,最后从到,分别计算出三个步骤中对应的走法种数,然后利用分步乘法计数原理可得出结果.【详解】分三步来考查:①从到,则亮亮要移动两步,一步是向右移动一个单位,一步是向上移动一个单位,此时有种走法;②从到,则亮亮要移动六步,其中三步是向右移动一个单位,三步是向上移动一个单位,此时有种走法;③从到,由①可知有种走法.由分步乘法计数原理可知,共有种不同的走法.故答案为:.【点睛】本题考查格点问题的处理,考查分步乘法计数原理和组合计数原理的应用,属于中等题.16.【解析】
先计算平均数再求解方差与标准差即可.【详解】解:样本的平均数,这组数据的方差是标准差,故答案为:【点睛】本题主要考查了标准差的计算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】
(1)求导得,由,且,得到,再利用函数在上单调递减论证.(2)根据题意,求导,令,易知;,易知当时,,;当时,函数单调递增,而,又,由零点存在定理得,使得,,使得,有从而得证.【详解】(1)依题意,,因为,且,故,故函数在上单调递减,故.(2)依题意,,令,则;而,可知当时,,故函数在上单调递增,故当时,;当时,函数单调递增,而,又,故,使得,故,使得,即函数单调递增,即单调递增;故当时,,故函数在上单调递减,在上单调递增,故当时,函数有极小值.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质,还考查推理论证能力以及函数与方程思想,属于难题.18.;①;②.【解析】
根据题意列出方程组求解即可;①由原点为的垂心可得,轴,设,则,,根据求出线段的长;②设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,设:,,,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1,,由,则,,,得出,根据求解即可.【详解】解:设焦距为,由题意知:,因此,椭圆的方程为:;①由题意知:,故轴,设,则,,,解得:或,,不重合,故,,故;②设中点为,直线与椭圆交于,两点,为的重心,则,当斜率不存在时,则到直线的距离为1;设:,,,则,,则,则:,,代入式子得:,设到直线的距离为,则时,;综上,原点到直线距离的最小值为.【点睛】本题考查椭圆的方程的知识点,结合运用向量,韦达定理和点到直线的距离的知识,属于难题.19.(1),(2)0【解析】
(1)分别把两曲线参数方程中的参数消去,即可得到普通方程;(2)把直线的参数方程代入的普通方程,化为关于的一元二次方程,再由根与系数的关系及此时的几何意义求解.【详解】(1)由曲线的参数方程为为参数),消去参数,可得;由曲线的参数方程为为参数),消去参数,可得,即.(2)把为参数)代入,得.,..解得:,即,满足△..【点睛】本题考查参数方程化普通方程,特别是直线参数方程中参数的几何意义的应用,是中档题.20.(1)见解析(2)直线过定点.【解析】
(1)设出两点的坐标,利用导数求得切线的方程,设出点坐标并代入切线的方程,同理将点坐标代入切线的方程,利用韦达定理求得线段中点的横坐标,由此判断出轴.(2)求得点的纵坐标,由此求得点坐标,求得直线的斜率,由此求得直线的方程,化简后可得直线过定点.【详解】(1)设切点,,,∴切线的斜率为,切线:,设,则有,化简得,同理可的.∴,是方程的两根,∴,,,∴轴.(2)∵,∴.∵,∴直线:,即,∴直线过定点.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查直线过定点问题,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.21.(1);(2)20.【解析】
(1)1名顾客摸球2次摸奖停止,说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球,即求概率;(2)的可能取值为:0,10,20,30,1.分别求出取各个值时的概率,即可求出分布列和数学期望.【详解】(1)1名顾客摸球2次摸奖停止,说明第一次是从红球、黄球、白球中摸一球,第二次摸的是黑球
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