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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图所示,直三棱柱的高为4,底面边长分别是5,12,13,当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8,则球的体积为()A.1605π3 B.6422.直三棱柱中,,,则直线与所成的角的余弦值为()A. B. C. D.3.已知集合,,若,则()A. B. C. D.4.下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算“正整数除以正整数所得的余数是”记为“”,例如.执行该程序框图,则输出的等于()A.16 B.17 C.18 D.195.执行下面的程序框图,若输出的的值为63,则判断框中可以填入的关于的判断条件是()A. B. C. D.6.某高中高三(1)班为了冲刺高考,营造良好的学习氛围,向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上,小王,小董,小李各写了一幅书法作品,分别是:“入班即静”,“天道酬勤”,“细节决定成败”,为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的,班主任对三人进行了问话,得到回复如下:小王说:“入班即静”是我写的;小董说:“天道酬勤”不是小王写的,就是我写的;小李说:“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的,则“入班即静”的书写者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李7.已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是()A.若,则 B.若,则C.若,则 D.若,则8.已知四棱锥中,平面,底面是边长为2的正方形,,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.9.已知函数,则在上不单调的一个充分不必要条件可以是()A. B. C.或 D.10.已知为定义在上的偶函数,当时,,则()A. B. C. D.11.存在点在椭圆上,且点M在第一象限,使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点,则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.12.如图,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知等边三角形的边长为1.,点、分别为线段、上的动点,则取值的集合为__________.14.一个房间的地面是由12个正方形所组成,如图所示.今想用长方形瓷砖铺满地面,已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形,即或,则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_______种.15.曲线在点处的切线方程为__.16.在中,,点是边的中点,则__________,________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)己知,函数.(1)若,解不等式;(2)若函数,且存在使得成立,求实数的取值范围.18.(12分)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,且在两种坐标系中取相同的长度单位,建立极坐标系,判断直线为参数)与圆的位置关系.19.(12分)已知函数,曲线在点处的切线方程为求a,b的值;证明:.20.(12分)已知椭圆经过点,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过点的直线交椭圆于、两点,若,在线段上取点,使,求证:点在定直线上.21.(12分)已知函数,.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的单调区间;(3)判断函数的零点个数.22.(10分)已知,且满足,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
设球心为O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的内切圆的圆心为O1,该圆与边B【详解】如图,设三棱柱为ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1为斜边是A1C1则圆O1的半径为O设球心为O,则由球的几何知识得ΔOO1M所以OM=2即球O的半径为25所以球O的体积为43故选A.【点睛】本题考查与球有关的组合体的问题,解答本题的关键有两个:(1)构造以球半径R、球心到小圆圆心的距离d和小圆半径r为三边的直角三角形,并在此三角形内求出球的半径,这是解决与球有关的问题时常用的方法.(2)若直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则该直角三角形内切圆的半径r=a+b-c2.A【解析】
设,延长至,使得,连,可证,得到(或补角)为所求的角,分别求出,解即可.【详解】设,延长至,使得,连,在直三棱柱中,,,四边形为平行四边形,,(或补角)为直线与所成的角,在中,,在中,,在中,,在中,,在中,.
故选:A.【点睛】本题考查异面直线所成的角,要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可,属于中档题.3.A【解析】
由,得,代入集合B即可得.【详解】,,,即:,故选:A【点睛】本题考查了集合交集的含义,也考查了元素与集合的关系,属于基础题.4.B【解析】
由已知中的程序框图可知,该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,模拟程序的运行过程,代入四个选项进行验证即可.【详解】解:由程序框图可知,输出的数应为被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整数.若输出,则不符合题意,排除;若输出,则,符合题意.故选:B.【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多,或有规律时,常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答.5.B【解析】
根据程序框图,逐步执行,直到的值为63,结束循环,即可得出判断条件.【详解】执行框图如下:初始值:,第一步:,此时不能输出,继续循环;第二步:,此时不能输出,继续循环;第三步:,此时不能输出,继续循环;第四步:,此时不能输出,继续循环;第五步:,此时不能输出,继续循环;第六步:,此时要输出,结束循环;故,判断条件为.故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图,只需逐步执行框图,结合输出结果,即可确定判断条件,属于常考题型.6.D【解析】
根据题意,分别假设一个正确,推理出与假设不矛盾,即可得出结论.【详解】解:由题意知,若只有小王的说法正确,则小王对应“入班即静”,而否定小董说法后得出:小王对应“天道酬勤”,则矛盾;若只有小董的说法正确,则小董对应“天道酬勤”,否定小李的说法后得出:小李对应“细节决定成败”,所以剩下小王对应“入班即静”,但与小王的错误的说法矛盾;若小李的说法正确,则“细节决定成败”不是小李的,则否定小董的说法得出:小王对应“天道酬勤”,所以得出“细节决定成败”是小董的,剩下“入班即静”是小李的,符合题意.所以“入班即静”的书写者是:小李.故选:D.【点睛】本题考查推理证明的实际应用.7.D【解析】A.若,则或,故A错误;B.若,则或故B错误;C.若,则或,或与相交;D.若,则,正确.故选D.8.B【解析】
由题意建立空间直角坐标系,表示出各点坐标后,利用即可得解.【详解】平面,底面是边长为2的正方形,如图建立空间直角坐标系,由题意:,,,,,为的中点,.,,,异面直线与所成角的余弦值为即为.故选:B.【点睛】本题考查了空间向量的应用,考查了空间想象能力,属于基础题.9.D【解析】
先求函数在上不单调的充要条件,即在上有解,即可得出结论.【详解】,若在上不单调,令,则函数对称轴方程为在区间上有零点(可以用二分法求得).当时,显然不成立;当时,只需或,解得或.故选:D.【点睛】本题考查含参数的函数的单调性及充分不必要条件,要注意二次函数零点的求法,属于中档题.10.D【解析】
判断,利用函数的奇偶性代入计算得到答案.【详解】∵,∴.故选:【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值,意在考查学生对于函数性质的灵活运用.11.D【解析】
根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【详解】因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,由,解得,即,所以,所以.故选:D【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.12.D【解析】
先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离,再加上侧面三角形的高,即可求解.【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为,球心为,由题意,球的体积为,即可得球的半径为1,又由边长为的正方形硬纸,可得圆的半径为,利用球的性质可得,又由到底面的距离即为侧面三角形的高,其中高为,所以球心到底面的距离为.故选:D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征,以及球的性质的综合应用,着重考查了数形结合思想,以及推理与计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标,依题意求出,,,的表达式,再进行数量积的运算,最后求和即可得出结果.【详解】解:以的中点为坐标原点,所在直线为轴,线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,则,,,,则,,,设,,,即点的坐标为,则,,,所以故答案为:【点睛】本题考查平面向量的坐标表示和线性运算,以及平面向量基本定理和数量积的运算,是中档题.14.11【解析】
将图形中左侧的两列瓷砖的形状先确定,再由此进行分类,在每一类里面又分按两种形状的瓷砖的数量进行分类,在其中会有相同元素的排列问题,需用到“缩倍法”.采用分类计数原理,求得总的方法数.【详解】(1)先贴如图这块瓷砖,然后再贴剩下的部分,按如下分类:5个:,3个,2个:,1个,4个:,(2)左侧两列如图贴砖,然后贴剩下的部分:3个:,1个,2个:,综上,一共有(种).故答案为:11.【点睛】本题考查了分类计数原理,排列问题,其中涉及到相同元素的排列,用到了“缩倍法”的思想.属于中档题.15.【解析】
对函数求导后,代入切点的横坐标得到切线斜率,然后根据直线方程的点斜式,即可写出切线方程.【详解】因为,所以,从而切线的斜率,所以切线方程为,即.故答案为:【点睛】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法,属基础题.16.2【解析】
根据正弦定理直接求出,利用三角形的边表示向量,然后利用向量的数量积求解即可.【详解】中,,,可得因为点是边的中点,所以故答案为:;.【点睛】本题主要考查了三角形的解法,向量的数量积的应用,考查计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)【解析】
(1)零点分段解不等式即可(2)等价于,由,得不等式即可求解【详解】(1)当时,,当时,由,解得;当时,由,解得;当时,由,解得.综上可知,原不等式的解集为.(2).存在使得成立,等价于.又因为,所以,即.解得,结合,所以实数的取值范围为.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,考查不等式恒成立及最值,考查转化思想,是中档题18.直线与圆C相切.【解析】
首先把直线和圆转换为直角坐标方程,进一步利用点到直线的距离的应用求出直线和圆的位置关系.【详解】直线为参数),转换为直角坐标方程为.圆转换为直角坐标方程为,转换为标准形式为,所以圆心到直线,的距离.直线与圆C相切.【点睛】本题考查的知识要点:参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换,直线与圆的位置关系式的应用,点到直线的距离公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.19.(1);(2)见解析【解析】分析:第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上,从而建立关于的等量关系式,从而求得结果;第二问可以有两种方法,一是将不等式转化,构造新函数,利用导数研究函数的最值,从而求得结果,二是利用中间量来完成,这样利用不等式的传递性来完成,再者这种方法可以简化运算.详解:(1)解:,由题意有,解得(2)证明:(方法一)由(1)知,.设则只需证明,设则,在上单调递增,,使得且当时,,当时,当时,,单调递减当时,,单调递增,由,得,,设,,当时,,在单调递减,,因此(方法二)先证当时,,即证设,则,且,在单调递增,在单调递增,则当时,(也可直接分析显然成立)再证设,则,令,得且当时,,单调递减;当时,,单调递增.,即又,点睛:该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题,在求解的过程中,涉及到的知识点有导数的几何意义,有关切线的问题,还有就是应用导数证明不等式,可以构造新函数,转化为最值问题来解决,也可以借用不等式的传递性,借助中间量来完成.20.(1);(2)见解析.【解析】
(1)根据题意得出关于、、的方程组,解出、的值,进而可得出椭圆的标准方程;(2)设点、、,设直线的方程为,将该直线的方程与椭圆的方程联立,并列出韦达定理,由向量的坐标运算可求得点的坐标表达式,并代入韦达定理,消去,可得出点的横坐标,进而可
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