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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若执行如图所示的程序框图,则输出的值是()A. B. C. D.42.已知复数满足,则的最大值为()A. B. C. D.63.若,,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.4.函数的大致图象为()A. B.C. D.5.如图,在平面四边形ABCD中,若点E为边CD上的动点,则的最小值为()A. B. C. D.6.相传黄帝时代,在制定乐律时,用“三分损益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损益”结合的计算过程,若输入的的值为1,输出的的值为()A. B. C. D.7.马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士,也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物,梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作,人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献,将形如2P﹣1(其中p是素数)的素数,称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是()A.3 B.4 C.5 D.68.执行如图的程序框图,若输出的结果,则输入的值为()A. B.C.3或 D.或9.如图1,《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),现被风折断,尖端落在地上,竹尖与竹根的距离三尺,问折断处离地面的高为()尺.A. B. C. D.10.在边长为的菱形中,,沿对角线折成二面角为的四面体(如图),则此四面体的外接球表面积为()A. B.C. D.11.如图是二次函数的部分图象,则函数的零点所在的区间是()A. B. C. D.12.抛物线的焦点为,则经过点与点且与抛物线的准线相切的圆的个数有()A.1个 B.2个 C.0个 D.无数个二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知是偶函数,则的最小值为___________.14.已知函数的定义域为R,导函数为,若,且,则满足的x的取值范围为______.15.已知是抛物线的焦点,是上一点,的延长线交轴于点.若为的中点,则_________.16.设为等比数列的前项和,若,且,,成等差数列,则.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(1)解不等式;(2)若均为正实数,且满足,为的最小值,求证:.18.(12分)在中,角的对边分别为.已知,且.(1)求的值;(2)若的面积是,求的周长.19.(12分)设函数其中(Ⅰ)若曲线在点处切线的倾斜角为,求的值;(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.20.(12分)已知数列满足(),数列的前项和,(),且,.(1)求数列的通项公式:(2)求数列的通项公式.(3)设,记是数列的前项和,求正整数,使得对于任意的均有.21.(12分)已知函数.(1)若,证明:当时,;(2)若在只有一个零点,求的值.22.(10分)在中,,,.求边上的高.①,②,③,这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
模拟程序运行,观察变量值的变化,得出的变化以4为周期出现,由此可得结论.【详解】;如此循环下去,当时,,此时不满足,循环结束,输出的值是4.故选:D.【点睛】本题考查程序框图,考查循环结构.解题时模拟程序运行,观察变量值的变化,确定程序功能,可得结论.2.B【解析】
设,,利用复数几何意义计算.【详解】设,由已知,,所以点在单位圆上,而,表示点到的距离,故.故选:B.【点睛】本题考查求复数模的最大值,其实本题可以利用不等式来解决.3.D【解析】
根据指数函数的性质,取得的取值范围,即可求解,得到答案.【详解】由指数函数的性质,可得,即,又由,所以.故选:D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小,其中解答中熟记指数函数的性质,求得的取值范围是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.4.A【解析】
利用特殊点的坐标代入,排除掉C,D;再由判断A选项正确.【详解】,排除掉C,D;,,,.故选:A.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数的大致图象问题,代入特殊点,采用排除法求解是解决这类问题的一种常用方法,属于中档题.5.A【解析】
分析:由题意可得为等腰三角形,为等边三角形,把数量积分拆,设,数量积转化为关于t的函数,用函数可求得最小值。详解:连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形,而,所以为等边三角形,。设=所以当时,上式取最小值,选A.点睛:本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分,需要选择合适的基底,再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。6.B【解析】
根据循环语句,输入,执行循环语句即可计算出结果.【详解】输入,由题意执行循环结构程序框图,可得:第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,不满足判断条件;第次循环:,,满足判断条件;输出结果.故选:【点睛】本题考查了循环语句的程序框图,求输出的结果,解答此类题目时结合循环的条件进行计算,需要注意跳出循环的判定语句,本题较为基础.7.C【解析】
模拟程序的运行即可求出答案.【详解】解:模拟程序的运行,可得:p=1,S=1,输出S的值为1,满足条件p≤7,执行循环体,p=3,S=7,输出S的值为7,满足条件p≤7,执行循环体,p=5,S=31,输出S的值为31,满足条件p≤7,执行循环体,p=7,S=127,输出S的值为127,满足条件p≤7,执行循环体,p=9,S=511,输出S的值为511,此时,不满足条件p≤7,退出循环,结束,故若执行如图所示的程序框图,则输出的梅森素数的个数是5,故选:C.【点睛】本题主要考查程序框图,属于基础题.8.D【解析】
根据逆运算,倒推回求x的值,根据x的范围取舍即可得选项.【详解】因为,所以当,解得
,所以3是输入的x的值;当时,解得,所以是输入的x的值,所以输入的x的值为
或3,故选:D.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,通过结果反求输入的值,属于基础题.9.B【解析】如图,已知,,
∴,解得
,∴,解得
.∴折断后的竹干高为4.55尺故选B.10.A【解析】
画图取的中点M,法一:四边形的外接圆直径为OM,即可求半径从而求外接球表面积;法二:根据,即可求半径从而求外接球表面积;法三:作出的外接圆直径,求出和,即可求半径从而求外接球表面积;【详解】如图,取的中点M,和的外接圆半径为,和的外心,到弦的距离(弦心距)为.法一:四边形的外接圆直径,,;法二:,,;法三:作出的外接圆直径,则,,,,,,,,,.故选:A【点睛】此题考查三棱锥的外接球表面积,关键点是通过几何关系求得球心位置和球半径,方法较多,属于较易题目.11.B【解析】
根据二次函数图象的对称轴得出范围,轴截距,求出的范围,判断在区间端点函数值正负,即可求出结论.【详解】∵,结合函数的图象可知,二次函数的对称轴为,,,∵,所以在上单调递增.又因为,所以函数的零点所在的区间是.故选:B.【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点,属于基础题.12.B【解析】
圆心在的中垂线上,经过点,且与相切的圆的圆心到准线的距离与到焦点的距离相等,圆心在抛物线上,直线与抛物线交于2个点,得到2个圆.【详解】因为点在抛物线上,又焦点,,由抛物线的定义知,过点、且与相切的圆的圆心即为线段的垂直平分线与抛物线的交点,这样的交点共有2个,故过点、且与相切的圆的不同情况种数是2种.故选:.【点睛】本题主要考查抛物线的简单性质,本题解题的关键是求出圆心的位置,看出圆心必须在抛物线上,且在垂直平分线上.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】
由偶函数性质可得,解得,再结合基本不等式即可求解【详解】令得,所以,当且仅当时取等号.故答案为:2【点睛】考查函数的奇偶性、基本不等式,属于基础题14.【解析】
构造函数,再根据条件确定为奇函数且在上单调递减,最后利用单调性以及奇偶性化简不等式,解得结果.【详解】依题意,,令,则,故函数为奇函数,故函数在上单调递减,则,即,故,则x的取值范围为.故答案为:【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性以及利用函数性质解不等式,考查综合分析求解能力,属中档题.15.【解析】
由题意可得,又由于为的中点,且点在轴上,所以可得点的横坐标,代入抛物线方程中可求点的纵坐标,从而可求出点的坐标,再利用两点间的距离公式可求得结果.【详解】解:因为是抛物线的焦点,所以,设点的坐标为,因为为的中点,而点的横坐标为0,所以,所以,解得,所以点的坐标为所以,故答案为:【点睛】此题考查抛物线的性质,中点坐标公式,属于基础题.16..【解析】试题分析:∵,,成等差数列,∴,又∵等比数列,∴.考点:等差数列与等比数列的性质.【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质,属于容易题,在解题过程中,需要建立关于等比数列基本量的方程即可求解,考查学生等价转化的思想与方程思想.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)或(2)证明见解析【解析】
(1)将写成分段函数的形式,由此求得不等式的解集.(2)由(1)求得最小值,由此利用基本不等式,证得不等式成立.【详解】(1)当时,恒成立,解得;当时,由,解得;当时,由解得所以的解集为或(2)由(1)可求得最小值为,即因为均为正实数,且(当且仅当时,取“”)所以,即.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的求法,考查利用基本不等式证明不等式,属于中档题.18.(1);(2)【解析】
(1)由正弦定理可得,,化简并结合,可求得三者间的关系,代入余弦定理可求得;(2)由(1)可求得,再结合三角形的面积公式,可求出,从而可求出答案.【详解】(1)因为,所以,整理得:.因为,所以,所以.由余弦定理可得.(2)由(1)知,则,因为的面积是,所以,即,解得,则.故的周长为:.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积公式的应用,属于基础题.19.(Ⅰ);(Ⅱ)证明见解析【解析】
(Ⅰ)求导得到,,解得答案.(Ⅱ),故,在上单调递减,在上单调递增,,设,证明函数单调递减,故,得到证明.【详解】(Ⅰ),故,,故.(Ⅱ),即,存在唯一零点,设零点为,故,即,在上单调递减,在上单调递增,故,设,则,设,则,单调递减,,故恒成立,故单调递减.,故当时,.【点睛】本题考查了函数的切线问题,利用导数证明不等式,转化为函数的最值是解题的关键.20.(1)().(2),.(3)【解析】
(1)依题意先求出,然后根据,求出的通项公式为,再检验的情况即可;(2)由递推公式,得,结合数列性质可得数列相邻项之间的关系,从而可求出结果;(3)通过(1)、(2)可得,所以,,,,.记,利用函数单调性可求的范围,从而列不等式可解.【详解】解:(1)因为数列满足()①;②当时,.检验当时,成立.所以,数列的通项公式为().(2)由,得,①所以,.②由①②,得,,即,,③所以,,.④由③④,得,,因为,所以,上式同除以,得,,即,所以,数列时首项为1,公差为1的等差数列,故,.(3)因为.所以,,,,.记,当时,.所以,当时,数列为单调递减,当时,.从而,当时,.因此,.所以,对任意的,.综上,.【点睛】本题考在数列通项公式的求法、等差数列的定义及通项公式、数列的单调性,考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力以及化归与转化思想、分类讨论思想.21.(1)见解析;(2)【解析】
分析:(1)先构造函数,再求导函数,根据导函数不大于零得函数单调递减,最后根据单调性证得不等式;(2)研究零点,等价研究的零点,先求导数:,这里产生两个讨论点,一个是a与零,一个是x与2,当时,,没有零点;当时,先减后增,从而确定只有一个零点的必要条件,再利用零点存在定理确定条件的充分性,即得a的值.详解:(1)当时,等价于.设函数,则.当时,,所以在单调递减.而,故当时,,即.(2)设函数.在只有一个零点当且仅当在只有一个零点.(i)当时,,没有零点;(ii)当时,.当时,;当时,.所以在单调递减,在单调递增.故是在的最小值.①若,即,在没有零点;②若,即,在只有一个零点;③若,即,由于,所以在有一个零点,由(1)知,当时,,所以.故在有一个零点,因此在有两个零点.综上,在只有一个零点时,.点睛:利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转
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