2022年黑龙江省齐齐哈尔市“四校联盟”高三六校第一次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若，且，则面积的最大值是()A． B． C． D．3．设，，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则的最小值为（）A． B． C． D．6．（）A． B． C． D．7．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（）A． B． C． D．8．已知双曲线的焦距为，若的渐近线上存在点，使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直，则双曲线的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．9．下列判断错误的是()A．若随机变量服从正态分布，则B．已知直线平面，直线平面，则“”是“”的充分不必要条件C．若随机变量服从二项分布：，则D．是的充分不必要条件10．已知函数，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（）A． B． C． D．12．设复数满足，在复平面内对应的点的坐标为则（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某学习小组有名男生和名女生.若从中随机选出名同学代表该小组参加知识竞赛，则选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为___________．14．将底面直径为4，高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱，则该圆柱的侧面积的最大值为__________.15．设平面向量与的夹角为，且，，则的取值范围为______.16．在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若射线与和分别交于点，求．18．（12分）已知数列的前项和和通项满足.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列中，，，求数列的前项和.19．（12分）如图为某大江的一段支流，岸线与近似满足∥，宽度为．圆为江中的一个半径为的小岛，小镇位于岸线上，且满足岸线，．现计划建造一条自小镇经小岛至对岸的水上通道（图中粗线部分折线段，在右侧），为保护小岛，段设计成与圆相切．设．（1）试将通道的长表示成的函数，并指出定义域；（2）若建造通道的费用是每公里100万元，则建造此通道最少需要多少万元？20．（12分）设点，动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过点的直线与曲线交于、两点，且直线与轴交于点，设，，求证：为定值.21．（12分）已知都是大于零的实数．（1）证明；（2）若，证明．22．（10分）设等差数列的首项为0，公差为a，；等差数列的首项为0，公差为b，.由数列和构造数表M，与数表；记数表M中位于第i行第j列的元素为，其中，（i，j=1，2，3，…）.记数表中位于第i行第j列的元素为，其中（，，）.如：，.（1）设，，请计算，，；（2）设，，试求，的表达式（用i，j表示），并证明：对于整数t，若t不属于数表M，则t属于数表；（3）设，，对于整数t，t不属于数表M，求t的最大值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解【详解】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中，直线过定点，当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线下方的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，只需直线的斜率，解得.综上可得实数的取值范围为，故选：B.【点睛】本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题2．A【解析】

根据正弦定理可得，求出，根据平方关系求出.由两端平方，求的最大值，根据三角形面积公式，求出面积的最大值.【详解】中，，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中点，且，，即，即，，当且仅当时，等号成立.的面积，所以面积的最大值为.故选：.【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.3．A【解析】

根据对数的运算分别从充分性和必要性去证明即可.【详解】若，，则，可得；若，可得，无法得到，所以“”是“”的充分而不必要条件.所以本题答案为A.【点睛】本题考查充要条件的定义，判断充要条件的方法是：①若为真命题且为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若为假命题且为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若为真命题且为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若为假命题且为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系.4．A【解析】

将整理成的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.【详解】解：，所以所对应的点为在第一象限.故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把当成进行计算.5．A【解析】

首先求得平移后的函数，再根据求的最小值.【详解】根据题意，的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数，所以，所以．又，所以的最小值为．故选：A【点睛】本题考查三角函数的图象变换，诱导公式，意在考查平移变换，属于基础题型.6．B【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】．故选B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．7．C【解析】

判断圆心与直线的关系，确定直线，关于直线对称的充要条件是与直线垂直，从而等于到直线的距离，由切线性质求出，得，从而得．【详解】如图，设圆的圆心为，半径为，点不在直线上，要满足直线，关于直线对称，则必垂直于直线，∴，设，则，，∴,．故选：C．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线对称，得出与直线垂直，从而得就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角．8．B【解析】

由可得；由过点所作的圆的两条切线互相垂直可得,又焦点到双曲线渐近线的距离为,则,进而求解.【详解】,所以离心率,又圆是以为圆心,半径的圆,要使得经过点所作的圆的两条切线互相垂直,必有,而焦点到双曲线渐近线的距离为,所以,即,所以,所以双曲线的离心率的取值范围是.故选:B【点睛】本题考查双曲线的离心率的范围,考查双曲线的性质的应用.9．D【解析】

根据正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，依次对四个选项加以分析判断，进而可求解.【详解】对于选项，若随机变量服从正态分布，根据正态分布曲线的对称性，有，故选项正确，不符合题意；对于选项，已知直线平面，直线平面，则当时一定有，充分性成立，而当时，不一定有，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项正确，不符合题意；对于选项，若随机变量服从二项分布：，则，故选项正确，不符合题意；对于选项，，仅当时有，当时，不成立，故充分性不成立；若，仅当时有，当时，不成立，故必要性不成立.因而是的既不充分也不必要条件,故选项不正确，符合题意.故选：D【点睛】本题考查正态分布、空间中点线面的位置关系、充分条件与必要条件的判断、二项分布及不等式的性质等知识，考查理解辨析能力与运算求解能力，属于基础题.10．B【解析】

对分类讨论，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【详解】函数，由得或解得.故选:B.【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式，属于基础题.11．B【解析】

基本事件总数为个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个，由此求出概率.【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共个，所以，所求的概率.故选：B.【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．12．B【解析】

根据共轭复数定义及复数模的求法，代入化简即可求解.【详解】在复平面内对应的点的坐标为，则，，∵，代入可得，解得.故选：B.【点睛】本题考查复数对应点坐标的几何意义，复数模的求法及共轭复数的概念，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

从7人中选出2人则总数有，符合条件数有，后者除以前者即得结果【详解】从7人中随机选出2人的总数有，则记选出的名同学中恰好名男生名女生的概率为事件，∴故答案为：【点睛】组合数与概率的基本运用，熟悉组合数公式14．【解析】

由题意欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r，则，将侧面积表示成关于的函数，再利用一元二次函数的性质求最值.【详解】欲使圆柱侧面积最大，需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h，底面半径为r，则，所以.∴，当时，的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查圆柱的侧面积的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、，考查空间想象能力和运算求解能力，求解时注意将问题转化为函数的最值问题.15．【解析】

根据已知条件计算出，结合得出，利用基本不等式可得出的取值范围，利用平面向量的数量积公式可求得的取值范围，进而可得出的取值范围.【详解】，，，由得，，由基本不等式可得，，，，，因此，的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.16．②③【解析】

根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）：;:．(2)【解析】

（1）由可得，由，消去参数，可得直线的普通方程为．由可得，将，代入上式，可得，所以曲线的直角坐标方程为．（2）由（1）得，的普通方程为，将其化为极坐标方程可得，当时，，，所以．18．（1）；（2）【解析】

（1）当时，利用可得，故可利用等比数列的通项公式求出的通项.（2）利用分组求和法可求数列的前项和.【详解】（1）当时，，所以，当时，，①，②所以，即，又因为，故，所以，所以是首项，公比为的等比数列，故.（2）由得：数列为等差数列，公差，，，.【点睛】本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.19．（1），定义域是．（2）百万【解析】

（1）以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系，设，利用直线与圆相切得到，再代入这一关系中，即可得答案；（2）利用导数求函数的最小值，即可得答案；【详解】以为原点，直线为轴建立如图所示的直角坐标系．设，则，，．因为，所以直线的方程为，即，因为圆与相切，所以，即，从而得，在直线的方程中，令，得，所以，所以当时，，设锐角满足，则，所以关于的函数是，定义域是．（2）要使建造此通道费用最少，只要通道的长度即最小．令，得，设锐角，满足，得．列表：0减极小值增所以时，，所以建造此通道的最少费用至少为百万元．【点睛】本题考查三角函数模型的实际应用、利用导数求函数的最小值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.20．（1）；（2）见解析．【解析】

（1）已知点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，由此可得曲线的方程；（2）设直线方程为，，则，设，由直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得，，由，，用横坐标表示出，然后计算，并代入，可得结论．【详解】（1）设动圆圆心，由抛物线定义知：点轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，设其方程为，则，解得．∴曲线的方程为；（2）证明：设直线方程为，，则，设，由得，①，则，，②，由，，得，，整理得，，∴，代入②得：．【点睛】本题考查求曲线方程，考查抛物线的定义，考查直线与抛物线相交问题中的定值问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，直线方程代入抛物线（或圆锥曲线）方程得一元二次方程，应用韦达定理得，，代入题中其他条件所求式子中化简变形．21．（1）答案见解析．（2）答案见解析【解析】

（1）利用基本不等式可得，两式相加即可求解.（2）由（1）知，代入不等式，利用基本不等式即可求解.【详解】（1）