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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.函数的图象可能为()A. B.C. D.2.△ABC中,AB=3,,AC=4,则△ABC的面积是()A. B. C.3 D.3.已知集合,,则为()A. B. C. D.4.若表示不超过的最大整数(如,,),已知,,,则()A.2 B.5 C.7 D.85.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中,甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎,个位数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则()A.170 B.10 C.172 D.126.等比数列中,,则与的等比中项是()A.±4 B.4 C. D.7.某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为()A. B.1 C. D.8.设双曲线的左右焦点分别为,点.已知动点在双曲线的右支上,且点不共线.若的周长的最小值为,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B. C. D.9.若与互为共轭复数,则()A.0 B.3 C.-1 D.410.过抛物线的焦点的直线与抛物线交于、两点,且,抛物线的准线与轴交于,的面积为,则()A. B. C. D.11.如图,在平面四边形ABCD中,若点E为边CD上的动点,则的最小值为()A. B. C. D.12.已知函数,,若对任意,总存在,使得成立,则实数的取值范围为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在△ABC中,∠BAC=,AD为∠BAC的角平分线,且,若AB=2,则BC=_______.14.已知关于空间两条不同直线m、n,两个不同平面、,有下列四个命题:①若且,则;②若且,则;③若且,则;④若,且,则.其中正确命题的序号为______.15.如图,养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理,在线段之间有一观察站点,到直线,的距离分别为8百米、1百米,则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米.16.已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,M(﹣4,3),则△PMF周长的最小值是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)使得,求实数的取值范围.18.(12分)已知矩阵,,若矩阵,求矩阵的逆矩阵.19.(12分)贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战,建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署,即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困,实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召,某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导,经调查知,在一个销售季度内,每售出一吨该产品获利5万元,未售出的商品,每吨亏损2万元.经统计,两市场以往100个销售周期该产品的市场需求量的频数分布如下表:市场:需求量(吨)90100110频数205030市场:需求量(吨)90100110频数106030把市场需求量的频率视为需求量的概率,设该厂在下个销售周期内生产吨该产品,在、两市场同时销售,以(单位:吨)表示下一个销售周期两市场的需求量,(单位:万元)表示下一个销售周期两市场的销售总利润.(1)求的概率;(2)以销售利润的期望为决策依据,确定下个销售周期内生产量吨还是吨?并说明理由.20.(12分)在中,,,.求边上的高.①,②,③,这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.21.(12分)(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)证明:();(Ⅲ)证明:.22.(10分)若函数为奇函数,且时有极小值.(1)求实数的值与实数的取值范围;(2)若恒成立,求实数的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
先根据是奇函数,排除A,B,再取特殊值验证求解.【详解】因为,所以是奇函数,故排除A,B,又,故选:C【点睛】本题主要考查函数的图象,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.2.A【解析】
由余弦定理求出角,再由三角形面积公式计算即可.【详解】由余弦定理得:,又,所以得,故△ABC的面积.故选:A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用,三角形的面积公式,考查了学生的运算求解能力.3.C【解析】
分别求解出集合的具体范围,由集合的交集运算即可求得答案.【详解】因为集合,,所以故选:C【点睛】本题考查对数函数的定义域求法、一元二次不等式的解法及集合的交集运算,考查基本运算能力.4.B【解析】
求出,,,,,,判断出是一个以周期为6的周期数列,求出即可.【详解】解:.,∴,,,同理可得:;;.;,,…….∴.故是一个以周期为6的周期数列,则.故选:B.【点睛】本题考查周期数列的判断和取整函数的应用.5.D【解析】
中位数指一串数据按从小(大)到大(小)排列后,处在最中间的那个数,平均数指一串数据的算术平均数.【详解】由茎叶图知,甲的中位数为,故;乙的平均数为,解得,所以.故选:D.【点睛】本题考查茎叶图的应用,涉及到中位数、平均数的知识,是一道容易题.6.A【解析】
利用等比数列的性质可得,即可得出.【详解】设与的等比中项是.
由等比数列的性质可得,.
∴与的等比中项
故选A.【点睛】本题考查了等比中项的求法,属于基础题.7.C【解析】该几何体为三棱锥,其直观图如图所示,体积.故选.8.A【解析】
依题意可得即可得到,从而求出双曲线的离心率的取值范围;【详解】解:依题意可得如下图象,所以则所以所以所以,即故选:A【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,属于中档题.9.C【解析】
计算,由共轭复数的概念解得即可.【详解】,又由共轭复数概念得:,.故选:C【点睛】本题主要考查了复数的运算,共轭复数的概念.10.B【解析】
设点、,并设直线的方程为,由得,将直线的方程代入韦达定理,求得,结合的面积求得的值,结合焦点弦长公式可求得.【详解】设点、,并设直线的方程为,将直线的方程与抛物线方程联立,消去得,由韦达定理得,,,,,,,,可得,,抛物线的准线与轴交于,的面积为,解得,则抛物线的方程为,所以,.故选:B.【点睛】本题考查抛物线焦点弦长的计算,计算出抛物线的方程是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.11.A【解析】
分析:由题意可得为等腰三角形,为等边三角形,把数量积分拆,设,数量积转化为关于t的函数,用函数可求得最小值。详解:连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形,而,所以为等边三角形,。设=所以当时,上式取最小值,选A.点睛:本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分,需要选择合适的基底,再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。12.C【解析】
将函数解析式化简,并求得,根据当时可得的值域;由函数在上单调递减可得的值域,结合存在性成立问题满足的集合关系,即可求得的取值范围.【详解】依题意,则,当时,,故函数在上单调递增,当时,;而函数在上单调递减,故,则只需,故,解得,故实数的取值范围为.故选:C.【点睛】本题考查了导数在判断函数单调性中的应用,恒成立与存在性成立问题的综合应用,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由,求出长度关系,利用角平分线以及面积关系,求出边,再由余弦定理,即可求解.【详解】,,,,.故答案为:.【点睛】本题考查共线向量的应用、面积公式、余弦定理解三角形,考查计算求解能力,属于中档题.14.③④【解析】
由直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断.【详解】①若且,的位置关系是平行、相交或异面,①错;②若且,则或者,②错;③若,设过的平面与交于直线,则,又,则,∴,③正确;④若,且,由线面垂直的定义知,④正确.故答案为:③④.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义,考查空间线面间的位置关系,掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础.15.【解析】
建系,将直线用方程表示出来,再用参数表示出线段的长度,最后利用导数来求函数最小值.【详解】以为原点,所在直线分别作为轴,建立平面直角坐标系,则.设直线,即,则,所以,所以,,则,则,当时,,则单调递减,当时,,则单调递增,所以当时,最短,此时.故答案为:【点睛】本题考查导数的实际应用,属于中档题.16.5【解析】
△PMF的周长最小,即求最小,过做抛物线准线的垂线,垂足为,转化为求最小,数形结合即可求解.【详解】如图,F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,M(﹣4,3),抛物线C:x2=8y的焦点为F(0,2),准线方程为y=﹣2.过作准线的垂线,垂足为,则有,当且仅当三点共线时,等号成立,所以△PMF的周长最小值为55.故答案为:5.【点睛】本题考查抛物线定义的应用,考查数形结合与数学转化思想方法,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)或.【解析】
(1)分段讨论得出函数的解析式,再分范围解不等式,可得解集;(2)先求出函数的最小值,再建立关于的不等式,可求得实数的取值范围.【详解】(1)因为,所以当时,;当时,无解;当时,;综上,不等式的解集为;(2),又,或.【点睛】本题考查分段函数,绝对值不等式的解法,以及关于函数的存在和任意的问题,属于中档题.18..【解析】试题分析:,所以.试题解析:B.因为,所以.19.(1);(2)吨,理由见解析【解析】
(1)设“市场需求量为90,100,110吨”分别记为事件,,,“市场需求量为90,100,110吨”分别记为事件,,,由题可得,,,,,,代入,计算可得答案;(2)可取180,190,200,210,220,求出吨和吨时的期望,比较大小即可.【详解】(1)设“市场需求量为90,100,110吨”分别记为事件,,,“市场需求量为90,100,110吨”分别记为事件,,,则,,,,,,;(2)可取180,190,200,210,220,当时,当时,.,时,平均利润大,所以下个销售周期内生产量吨.【点睛】本题考查离散型随机变量的期望,是中档题.20.详见解析【解析】
选择①,利用正弦定理求得,利用余弦定理求得,再计算边上的高.选择②,利用正弦定理得出,由余弦定理求出,再求边上的高.选择③,利用余弦定理列方程求出,再计算边上的高.【详解】选择①,在中,由正弦定理得,即,解得;由余弦定理得,即,化简得,解得或(舍去);所以边上的高为.选择②,在中,由正弦定理得,又因为,所以,即;由余弦定理得,即,化简得,解得或(舍去);所以边上的高为.选择③,在中,由,得;由余弦定理得,即,化简得,解得或(舍去);所以边上的高为.【点睛】本小题主要考查真闲的了、余弦定理解三角形,属于中档题.21.(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)见解析【解析】
运用数学归纳法证明即可得到结果化简,运用累加法得出结果运用放缩法和累加法进行求证【详解】(Ⅰ)数学归纳法证明时,①当时,成立;②当时,假设成立,则时所以时,成立综上①②可知,时,(Ⅱ)由得所以;;故,又所以(Ⅲ)由累加法得:所以故【点睛】本题考查了数列的综合,运用数学归纳法证明不等式的成立,结合已知条件进行化简求出化简后的结果,利用放缩法求出不等式,然后两边同时取对数再进行证明,本题较为困难。22.(1),;(2)【解析】
(1)由奇函数可知在定义域上恒成立,由此建立方程,即可求出实数的值;对函数进行求导,,通过导数求出,若,则恒成立不符合题意,当,可证明,此时时有极小值.(2)可知,进而得到,令,通过导数可知在上为单调减函数,由可得,从而可求实数的取值范围.【详解】(1)由函数为奇函数,得在定义域上恒成立,所以,化简可得,所以.则,令,则.故当时,;当时,,
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