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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在很多地铁的车厢里,顶部的扶手是一根漂亮的弯管,如下图所示.将弯管形状近似地看成是圆弧,已知弯管向外的最大突出(图中)有,跨接了6个坐位的宽度(),每个座位宽度为,估计弯管的长度,下面的结果中最接近真实值的是()A. B. C. D.2.如图,在中,,且,则()A.1 B. C. D.3.不等式组表示的平面区域为,则()A., B.,C., D.,4.已知定义在R上的偶函数满足,当时,,函数(),则函数与函数的图象的所有交点的横坐标之和为()A.2 B.4 C.5 D.65.如图,将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形,将平行四边形沿对角线折起,使平面平面,则直线与所成角余弦值为()A. B. C. D.6.如果直线与圆相交,则点与圆C的位置关系是()A.点M在圆C上 B.点M在圆C外C.点M在圆C内 D.上述三种情况都有可能7.若函数f(x)=a|2x-4|(a>0,a≠1)满足f(1)=,则f(x)的单调递减区间是()A.(-∞,2] B.[2,+∞)C.[-2,+∞) D.(-∞,-2]8.已知函数的导函数为,记,,…,N.若,则()A. B. C. D.9.若数列满足且,则使的的值为()A. B. C. D.10.已知等差数列的公差不为零,且,,构成新的等差数列,为的前项和,若存在使得,则()A.10 B.11 C.12 D.1311.圆锥底面半径为,高为,是一条母线,点是底面圆周上一点,则点到所在直线的距离的最大值是()A. B. C. D.12.在直角坐标平面上,点的坐标满足方程,点的坐标满足方程则的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数x,y满足(2x-y)2+4y14.函数满足,当时,,若函数在上有1515个零点,则实数的范围为___________.15.在中,,点是边的中点,则__________,________.16.一个袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从中任意摸取3个小球,每个小球被取出的可能性相等,则取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)2019年入冬时节,长春市民为了迎接2022年北京冬奥会,增强身体素质,积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者,并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分(满分为100分)并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动,得到如图所示的频率分布直方图:(1)求的值;(2)将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计,请将下列列联表补充完整,并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系?擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(,其中)18.(12分)(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)证明:();(Ⅲ)证明:.19.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)记函数的最大值为,若,证明:.20.(12分)选修4—5;不等式选讲.已知函数.(1)若的解集非空,求实数的取值范围;(2)若正数满足,为(1)中m可取到的最大值,求证:.21.(12分)等差数列中,.(1)求的通项公式;(2)设,记为数列前项的和,若,求.22.(10分)如图,在四棱锥中,是边长为的正方形的中心,平面,为的中点.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
为弯管,为6个座位的宽度,利用勾股定理求出弧所在圆的半径为,从而可得弧所对的圆心角,再利用弧长公式即可求解.【详解】如图所示,为弯管,为6个座位的宽度,则设弧所在圆的半径为,则解得可以近似地认为,即于是,长所以是最接近的,其中选项A的长度比还小,不可能,因此只能选B,260或者由,所以弧长.故选:B【点睛】本题考查了弧长公式,需熟记公式,考查了学生的分析问题的能力,属于基础题.2.C【解析】
由题可,所以将已知式子中的向量用表示,可得到的关系,再由三点共线,又得到一个关于的关系,从而可求得答案【详解】由,则,即,所以,又共线,则.故选:C【点睛】此题考查的是平面向量基本定理的有关知识,结合图形寻找各向量间的关系,属于中档题.3.D【解析】
根据题意,分析不等式组的几何意义,可得其表示的平面区域,设,分析的几何意义,可得的最小值,据此分析选项即可得答案.【详解】解:根据题意,不等式组其表示的平面区域如图所示,其中,,
设,则,的几何意义为直线在轴上的截距的2倍,
由图可得:当过点时,直线在轴上的截距最大,即,当过点原点时,直线在轴上的截距最小,即,故AB错误;
设,则的几何意义为点与点连线的斜率,由图可得最大可到无穷大,最小可到无穷小,故C错误,D正确;故选:D.【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用,关键是对目标函数几何意义的认识,属于基础题.4.B【解析】
由函数的性质可得:的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,由函数图像的作法可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4得解.【详解】由偶函数满足,可得的图像关于直线对称且关于轴对称,函数()的图像也关于对称,函数的图像与函数()的图像的位置关系如图所示,可知两个图像有四个交点,且两两关于直线对称,则与的图像所有交点的横坐标之和为4.故选:B【点睛】本题主要考查了函数的性质,考查了数形结合的思想,掌握函数的性质是解题的关键,属于中档题.5.C【解析】
利用建系,假设长度,表示向量与,利用向量的夹角公式,可得结果.【详解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作轴//,建立空间直角坐标系如图设,所以则所以所以故选:C【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值,一般采用这两种方法:(1)将两条异面直线作辅助线放到同一个平面,然后利用解三角形知识求解;(2)建系,利用空间向量,属基础题.6.B【解析】
根据圆心到直线的距离小于半径可得满足的条件,利用与圆心的距离判断即可.【详解】直线与圆相交,圆心到直线的距离,即.也就是点到圆的圆心的距离大于半径.即点与圆的位置关系是点在圆外.故选:【点睛】本题主要考查直线与圆相交的性质,考查点到直线距离公式的应用,属于中档题.7.B【解析】由f(1)=得a2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x-4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.8.D【解析】
通过计算,可得,最后计算可得结果.【详解】由题可知:所以所以猜想可知:由所以所以故选:D【点睛】本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用,选择题、填空题可以使用取特殊值,归纳猜想等方法的使用,属中档题.9.C【解析】因为,所以是等差数列,且公差,则,所以由题设可得,则,应选答案C.10.D【解析】
利用等差数列的通项公式可得,再利用等差数列的前项和公式即可求解.【详解】由,,构成等差数列可得即又解得:又所以时,.故选:D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式,需熟记公式,属于基础题.11.C【解析】分析:作出图形,判断轴截面的三角形的形状,然后转化求解的位置,推出结果即可.详解:圆锥底面半径为,高为2,是一条母线,点是底面圆周上一点,在底面的射影为;,,过的轴截面如图:,过作于,则,在底面圆周,选择,使得,则到的距离的最大值为3,故选:C点睛:本题考查空间点线面距离的求法,考查空间想象能力以及计算能力,解题的关键是作出轴截面图形,属中档题.12.B【解析】
由点的坐标满足方程,可得在圆上,由坐标满足方程,可得在圆上,则求出两圆内公切线的斜率,利用数形结合可得结果.【详解】点的坐标满足方程,在圆上,在坐标满足方程,在圆上,则作出两圆的图象如图,设两圆内公切线为与,由图可知,设两圆内公切线方程为,则,圆心在内公切线两侧,,可得,,化为,,即,,的取值范围,故选B.【点睛】本题主要考查直线的斜率、直线与圆的位置关系以及数形结合思想的应用,属于综合题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出曲线图象,充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】
直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式:2x-y2+4y当2x-y=2y,即x=328故答案为:2.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值,也可以利用均值不等式,三角换元求得答案.14.【解析】
由已知,在上有3个根,分,,,四种情况讨论的单调性、最值即可得到答案.【详解】由已知,的周期为4,且至多在上有4个根,而含505个周期,所以在上有3个根,设,,易知在上单调递减,在,上单调递增,又,.若时,在上无根,在必有3个根,则,即,此时;若时,在上有1个根,注意到,此时在不可能有2个根,故不满足;若时,要使在有2个根,只需,解得;若时,在上单调递增,最多只有1个零点,不满足题意;综上,实数的范围为.故答案为:【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点个数问题,涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点,是一道中档题.15.2【解析】
根据正弦定理直接求出,利用三角形的边表示向量,然后利用向量的数量积求解即可.【详解】中,,,可得因为点是边的中点,所以故答案为:;.【点睛】本题主要考查了三角形的解法,向量的数量积的应用,考查计算能力,属于中档题.16.【解析】
由题,得满足题目要求的情况有,①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选和②有两个数字4,另外一个数字从1,2,3里面选,由此即可得到本题答案.【详解】满足题目要求的情况可以分成2大类:①有一个数字4,另外两个数字从1,2,3里面选,一共有种情况;②有两个数字4,另外一个数字从1,2,3里面选,一共有种情况,又从中任意摸取3个小球,有种情况,所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率.故答案为:【点睛】本题主要考查古典概型与组合的综合问题,考查学生分析问题和解决问题的能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)填表见解析;不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解析】
(1)利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程,解方程求得的值.(2)根据表格数据填写列联表,计算出的值,由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【详解】(1)由题意,解得.(2)由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.完善列联表如下:擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100,对照表格可知,,不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高,考查列联表独立性检验,属于基础题.18.(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)见解析【解析】
运用数学归纳法证明即可得到结果化简,运用累加法得出结果运用放缩法和累加法进行求证【详解】(Ⅰ)数学归纳法证明时,①当时,成立;②当时,假设成立,则时所以时,成立综上①②可知,时,(Ⅱ)由得所以;;故,又所以(Ⅲ)由累加法得:所以故【点睛】本题考查了数列的综合,运用数学归纳法证明不等式的成立,结合已知条件进行化简求出化简后的结果,利用放缩法求出不等式,然后两边同时取对数再进行证明,本题较为困难。19.(1);(2)证明见解析【解析】
(1)将函数整理为分段函数形式可得,进而分类讨论求解不等式即可;(2)先利用绝对值不等式的性质得到的最大值为3,再利用均值定理证明即可.【详解】(1)①当时,恒成立,;②当时,,即,;③当时,显然不成立,不合题意;综上所述,不等式的解集为.(2)由(1)知,于是由基本不等式可得(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号)(当且仅当时取等号)上述三式相加可得(当且仅当时取等号),,故得证.【点睛】本题考查解绝对值不等式和利用均值定理证明不等式,考查绝对值不等式的最值的应用,解题关键是掌握分类讨论解决带绝对值不等式的方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.20.(1);(2)见解析.【解析】试题分析:(1)讨论三种情况去绝对值符号,可得所以,由此得,解得;(2)利用分析法,由(1)知,,所以,因为,要证,只需证,即证,只需证即可得结果.试题解析:(1)去绝对值符号,可得所以,所以,解得,所以实数的取值范围为.(2)由(1)知,,所以.因为,所以要证,只需证,即证,即
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