高考数学解答题五大答题策略（附例题详解）

［全］高考数学解答题五大答题策略

（附例题详解）

解答题的题量虽然比不上选择题，但是其占分的比重最大，足见它在试

卷中地位之重要。解答题也就是通常所说的主观性试题，这种题型内

涵丰富，包含的试题模式灵活多变，其基本构架是：先给出一定的题

设（即已知条件）,然后提出一定的要求（即要达到的目标）,再让考生解

答，而且"题设"和"要求”的模式多种多样。

解答题得分不难，但是想要得到高分的难度就很高。特别是最后的压轴

题，基本上就决定了你的数学分数是在120分这个档次还是140分+

的这个档次。

高考解答题有以下特点：

1）从近几年看，解答题的出处较稳定，一般为数列、三角函数（包括解

三角形）、概率、立体几何（与向量整合）、函数与导数及不等式、解析

几何等。

2）解法灵活多样，入口宽，得部分分易，得满分难，几乎每题都有坡

度，层层设关卡，能较好地区分考生的能力层次。

3）侧重新增内容与传统的中学数学内容及数学应用的融合，如函数与

导数、数列结合，向量与解析几何内容的结合等。

4）运算与推理互相渗透，推理证明与计算紧密结合，运算能力强弱对解

题的成败有很大影响.在考查逻辑推理能力时，常常与运算能力结合

考查，推导与证明问题的结论，往往要通过具体的运算；在计算题中，

也较多地掺进了逻辑推理的成分，边推理边计算。

5）注重探究能力和创新能力的考查.探索性试题是考查这种能力的好

素材，因此在试卷中占有重要的作用；同时加强了对应用性问题的考

查。

高考数学解答题的基本题型

总体上，高考五至七道解答题的模式基本不变，分别为三角函数、立

体几何型解答题、概率型解答题、函数与导数型解答题、解析几何型解

答题、数列型解答题。

高考数学解答题的答题策略

1）审题要慢，解答要快.审题是整个解题过程的"基础工程"题目本身

是"怎样解题”的信息源，必须充分搞清题意，综合所有条件，提炼

全部线索，形成整体认识.

2）确保运算准确，立足一次成功。

3）讲究书写规范，力争既对又全.这就要求考生在面对试题时不但会而

且要对，对而且全，全而规范。

4）面对难题，讲究策略，争取得分.会做的题目当然要力求做对、做全、

得满分，而对于不能全部完成的题目应：

①缺步解答；②跳步解答。

解题过程卡在其一中间环节上时，可以承接中间结论，往下推，或直

接利用前面的结论做下面的（2）、（3）问。

主要题型解析一、函数与导数

考查特点：纵观近三年的高考试题，函数与导数在选择、填空、解答三

种题型中每年都有考查。

主要考点：

①考查纯粹的函数知识（即解析式、定义域、值域、奇偶性、单调性、

周期性、反函数）；

②考查函数图像变换与识别及几种特殊函数（二次函数、三次函数、指

对函数、抽象函数、分段函等）；

③考查函数与方程、数列、不等式等的综合；

④导数的概念及几何意义、求导公式和求导法则；

⑤利用导数求函数的极(最)值、单调区间、证明函数的增减性等；

⑥导数与其他知识的交汇.

复习提示：

函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注函数，方程与不等式

之间的相互联系和转化.复习时应注意下几点：

(1)熟练理解和掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的

基础。

(2)密切注意三个"二次"的相关问题，三个"二次"即一元二次函

数、一元二次方程、一元二次不等式，这是中学数学的重要内容，具有

丰富的内涵和密切的联系.一定要把握好三个"二次"之间的相互转化。

(3)在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问

题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其

是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用。

a39

例已知函数/(%)="一/+1(R),其中a>0。

(1)若。=1,求曲9=/2在点(2瓜2))处的切线方程；

(2)若在区间［―g,口上，於)>0恒成立，求。的取值

范围.

思维启迪(1)知解析式和切点求切线方程，先求斜率,

用点斜式方程求切线方程.

(2)根据导数求函数的参数.求导一求导函数的零点一

确定导函数在区间中的正、负一确定函数中的参数范

围.

规范解答示例

解(1)当a=\时,式》)='3—|x?+1,{2)=3/(x)=3x2

—3x,/(2)=6,所以曲线y=/(x)在点(2,<2))处的切线

方程为y—3=6(x—2),即y=6x—9.

(2yv(x)=3af—3x=3x(ax—1).

令，(x)=0,解得x=。或x=：.

以下分两种情况讨论：

①若0<aW2,贝心2；.当x变化时，f(x),左)的变化情

况如下表：

11

X（-5,。）0(。，2)

f(X)+0—

A）/极大值\

51。

当旧［,时，©>0等价r：2户°’即<8>0,

5+。

解不等式组得一5<«<5.因此OSW2.

②若a>2,则0<g<；.当x变化时，f(x),加0的变化情况

如下表：

；，111

X(-0)0

(。一)a

f(x)+0一0+

於)/极大值极小值/

*>0

义

当x£[-g,8

，Xx)>0等价于<即

1

1--T>0

2a2

解不等式组得孝、<5或4<—容.因此2。<5.

综合①②，可知a取值范围为0<a<5

构建答题模板

第一步：确定函数的定义域.如本题函数的定义域为Ro

第二步:求f(x)的导数f(x)o

第三步：求方程f'(x)=0的根。

第四步：利用f'(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义

域分成若干个小开区间，并列出表格。

第五步：由f'(x)在小开区间内的正、负值判断f(x)在小开区间内的单

调性。

第六步：明确规范地表述结论。

第七步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范。

归纳总结：

1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切

线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；

理解导函数的概念。

2.熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了

解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。

3.理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得

极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际

问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。

主要题型解析二、数列

考查特点：

数列题主要考察特殊数列的定义、性质、公式的推理及计算。其中包括

两个特殊数列之间的基本运算和推理证明、裂项相消和错位相减两种求

和方法等。另外试题常常与函数、方程、不等式等知识交汇，适时配以

数学归纳法，充分地体现出数列考查的深度和效度。

复习提示：除了通项公式和求和公式等数列基本知识以外，掌握一些

特别的方法，如倒序相加法、错位相减法、拆项相消法、构造法(如)、

叠加法、叠乘法、归纳证明法等方法。其特点是"可以下手，逻辑思维

能力要求较高，不易得满分"。

例已知数列｛为｝的各项均为正数，S”为其前〃项和，

对于任意的〃GN*,满足关系式2s〃=3%—3.

(1)求数列｛。〃｝的通项公式；

(2)设数列初〃｝的通项公式是b=：，前〃

10g3(3w-10g347„+i

项和为T”，求证：对于任意的正整数〃，总有T"<1.

思维启迪(1)求出数列缶〃｝的递推关系，由递推关系求

通项.

(2)化简为，裂项求和.

规范解答示例

(1)解①当〃=1时，由2s〃=3a〃一3得，2%=3见一3,

••Q\^3.

②4”22时，由2s力=3%—3得，

2s〃-i=3a〃-1—3.

两式相减得：2⑸一S"_i)=3a〃一3斯_1，即2。〃=3。”一3%-i，

...%=3斯-1，又可=3W0,「.｛%｝是等比数列，.•.%=3".

验证：当〃=1时，%=3也适合为=3".

「•｛斯｝的通项公式为%=3".

=

(2)证明>.*bn-y'^j”+i

Iog3£7„log3a„+1log33log33

11_1

(n+l)nn〃+l'

「•7^=61+62+…+6〃

=(1-3+(泊)+…+(:-击)

构建答题模板

第一步：令〃=1,由S〃=/S"）求出4卜

第二步：令〃22,构造为=£一S「1，用为代换&—

S力-1（或用S”一S〃-i代换的,这要结合题目特点），由递推

关系求通项.

第三步：验证当«=1时的结论适合当“22时的结论.

第四步：写出明确规范的答案.

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.本

题的易错点，易忽略对〃=1和〃22分两类进行讨论，

同时忽视结论中对二者的合并.

注意问题：

1.考查数列、等差数列、等比数列、数列极限以及数学归纳法等基本知

识、基本技能。

2.常与函数、方程、不等式、解析几何等知识相结合，考查学生在数

学学习和研究过程中知识的迁移、组合、融会，进而考查学生的学习

潜能和数学素养。

3.常以应用题或探索题的形式出现，为考生展现其创新意识和发挥创

造能力提供广阔的空间。

主要题型解析三、立体几何

考察特点：

题目一般侧重于线与线、线与面、面面的位置的关系以及空间几何体中

的空间角、距离、面积、体积的计算的考查。

立体几何解答题以平行、垂直、夹角、距离为考查目标，考查的都是

可以容易建立空间直角坐标系的几何体。

复习提示：

(1)加强对容易建立坐标系的特殊几何体的训练.

(2)训练时，要注意两点：

①证明过程要既简明又完整.

②是用向量法解题时，建立坐标系要有必要的说明；应用向量方法求角

的大小时，一定要注意向量的方向，注意两个向量的夹角是否为所求

的角。

解答题将以殊特的几何体(四棱柱、四棱锥、三棱柱、三棱锥等)为

载体考查平行、垂直、夹角、距离、面积、体积，其中垂直是热点，更

是常考点。

例如图，四棱键J46CD的底而S

是正方形，加上平面."61),SD^AD=a,点E是

z

SD上的点，口Z)E=〃(OOW1)./nl.Vl\c

(1)求证：对任意的26(0,1],都有4C_LBE；B

(2)若二面角C—AE—D的大小为60。，求2的值.

方法一：⑴证明：连结由底面4BCZ)是正方形可得4aL

,.,SDL平面ABCD,：.BD是BE在平而ABCD上的射影，由三垂线定

理得力C_LBE.

(2)解平面力BCD,CDU平面4BCD,

：.SDLCD.

又底HfUBCD是正方形，：.CDrAD.

又SDn4D=Z）,

.,.0_1_平面£10.

过点D在平面S4D内作"F_L4E1丁产，连结CF,

则CF_L4E,

故NOT）是二面角J4E—2）的平面角，即NCW=60。,

在RtA4DF|i,'：AD=a,DE=ia,AE=(r^T+i,

ADDEixi

于是,DF^=^+T

在RtZkCDP中，由cot60。=而=忑与p篁潺言=今'

即]3乃+3=3%

由2e(0,1],解得2=坐

方法二：(1)证明：以。为原点，而，DC,质的方向分别作为x,

F，z轴的正方向建立如图Q)所示的空间直角坐标系，则0(0,0,0),

/@0,0),B(叫a,0),C(0,o,0),£(0,0,—JLd)9

AC={—at。,0),BE=(一叫一一九I),

EA—(o,0»—Id)9EC=(0,a9—Id).

:・ACBE=(—a9a,0),(—a9—。，xa)

=M-a2+0*za=0,

即对任意的26(0,1],都有ZC_LBE.

(2)解：PC=(0,a,0)为平面,4PE的一个法向量.设平面NCE的一个

法向量为n=(x,7，N),

贝Un1EA,n±EC,

(n•EA—0,(x~Xz=0,

•••一即

(FI•EC=0,Iy—Xz—0.

取Z—19得，1—(入，/，1).

•.•cosocOno[a]•“]I]*㈡V2?+1-21Al.

IDC|•|n|V2A2+1

由A.G(0,l],解得入=£.

乙

注意问题：

(1)利用向量证明线面关系，要注意建立坐标系，构造向量.

(2)利用向量研究角.如果两个平面的法向量分别是m、n，则这两个

平面所成的锐二面角或直二面角的余弦值等于|cos〈m,n)|,在立

体几何中建立空间直角坐标系求解二面角的大小时，使用向量的方法

可以避免作二面角的平面角的麻烦。

主要题型解析四、三角函数

考察特点：

主要以三角形为载体，综合考察三角函数的基本性质和有关公式的恒

等变换以及用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题。此类题

目涉及知识点较多，综合性较强，考查能力比较全面，是高考三题考

察的热点题型。

复习提示：

三角函数的基本公式、图象与性质、特殊角的三角函数等基本知识应烂

熟于心.要加强三角函数恒等变换的训练，注重解三角形等三角综合应

用。

兀I

例已知函数7(x)=cos2(x+y^),g(x)=1+/sin2x.

(1)设x=x0是函数y=麻)图象的一条对称轴，求1g(xo)

的值；

(2)求函数h(x)=j(x)-\-g(x)的单调递增区间.

思维启迪⑴由％=工0是了=加)的一条对称轴知加。)是

7T

/(X)的最值，从而得2xo+a=E(左£Z),

即沏="一击(左£Z).

(2)化简介(x)=7(x)+g(x)为〃(x)=4sin(①x+o)或h(x)=

4cos(①x+彷的形式.

(3)根据正弦或余弦函数求单调递增区间.

规范解答示例

171

解⑴由题设知_Ax)=,l+cos(2x+d)].

因为x=%0是函数y=加)的图象的一条对称轴,

7T7T

所以2xo+%=hi(左£Z),即2x0=hi--(^eZ).

1171

所以g(xo)=1+5sin2x0=1+]sin(Mr-

当k为偶数时,g(x0)=1+1sin(—^)=1-

当k为奇数时,g(%o)=1+|sin^=1+[=：.

1Ji1

(2)//(x)=f(x)+g(x)=][1+cos(2x+4)]+1+gsin2x

sin2x]+|=|(^cos2x+|sin2x)+|

=£sin(2x+3)+金

JTTTTTjTT

当2A7I—5W2X+QW2ATI+5(A：£Z),即ATI—春

JX

兀

丘(左£Z)时,

1jr3

函数力(刈=吩m(2》+々)+5是增函数.

故函数检)的单调递增区间是阿一5部7r桁+j有r(MZ).

JLX

构建答题模板

第一步：三角函数式的化简，一般化成y=4sin@r+9）

+力的形式或n=幺（：05@工+9）+/7的形工壬

,1,71,1

如：fix)=2cos(2x++2，h(x)=2sin(2x+?)+全

第二步：由三角函数值求角；由角求三角函数值.

第三步：由sinx、cosx的单调性，将"ox+夕”看作一

个整体，转化为解不等式问题.

第四步：明确规范表述结论.

第五步：反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范.

如本题中，由沏求鼠刈）时，由于祀中含有变量左，应对

k的奇偶进行讨论.

注意问题

1.答案不惟一是三角函数题型的显著特点之一，因此在解题时，一定要

适时讨论，讨论不全必然招致漏解。

2.角的范围容易忽视，从而三角函数值也易出错。

3.在解斜三角形时，要根据条件正确选择正、余弦定理，特别要注意解

的个数，不要误解.

4.判定三角形形状时，不要随意约去恒等式两边的公因式，以免造成

漏解.

主要题型解析四、解析几何

考查特点：

通常是一道以圆或圆锥曲线为依托，与平面向量、解三角形、函数等

结合考查的题目。

复习提示：

Q)熟练掌握圆和每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，

注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到

巩固知识、提高能力的目的。

(2)复习时要关注直线与圆锥曲线的位置关系问题以及求轨迹、最值、

取值范围，证明定值、定点，探究存在性的题目。

(3)高考数学有句话是，立体几何就是靠看，解析几何就是靠算，虽然不

够准确，但是还是有一定道理。圆锥曲线一定要注意计算，因为将来考

圆锥曲线不管是哪种类型，计算量都会很大，圆锥曲线其实不会有太大

思路障碍，关键问题就是算，所以建议圆锥曲线部分要多练习计算。

另外解析几何往往也和平面几何综合在一起出题，所以在解题中有时候

难以突破的时候，想想平面几何的性质。最后，韦达定理设而不求的思

路最近几年在高考中出现频繁，建议重点复习掌握。

例已知定点C(—1,0)及椭圆f+3y2=5,过点。的

动直线与椭圆相交于4B两点、.

(1)若线段N5中点的横坐标是一支求直线的方程；

(2)在x轴上是否存在点M,使加•而为常数？若存在，

求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

思维启迪(1)设过。(一1,0)的直线方程y=A(x+l),

利用待定系数法求左

(2)从假设存在点M(m,0)出发去求疝.前若能找

到一个加值使疝.施.为常数，即假设正确，否则不

正确.

规范解答示例

解(1)依题意，直线48的斜率存在，

设直线48的方程为》=网》+1),

将y=k(x+1)代入x2+3/=5,

消去y整理得(3*+l)f+6A2X+3A2—5—0.

设4修，%),3(X2，竺)，

「於=36左4—4(3左2+1)(3左2-5)>0,①

7也与二一6k2罚②

由线段四中点的横坐标是一;,Xi+x23*1

侍2—_3^+]—_5'

解得左=±q，适合①.

所以直线48的方程为X—A/3J^+1=0或x+$y+l=0.

(2)假设在x轴上存在点M(m,0),使山.远为常数.口

(i)当直线N3与x轴不垂直时，由(1)知

6产3k~-5

A*i+X2~~3严+1'勺必―3左2+1③

所以而.逅=(X1-m)(X2-W)+少必=(a一相)(*2—租)+

k~(X1+1)(X2+1)

=(左2+1)x^2+(严一团)(％1+%2)+—+

(6m—1)产一5

+m2

将③代入，整理得=3产+1

2团-。(3*+1)-2机14

32

nT

3产+1

,16m+14

=W*+2W-3-3(3^2+1)'

注意到访.丽是与k无关的常数，从而有口

7—*--4

6m+14=0〃=-此时MA-MB^-.

(ii)当直线AB与x轴垂直时，此时点A、B的坐标

当m二一时，也有底.砺=±

39

综上，在X轴上存在定点M(一［o)使它•砺为常数.

解题思路