2.1等式性质与不等式性质课件高一上学期数学人教A版

人教A版必修第一册2.1等式性质与不等式性质第二章一元二次函数、方程和不等式

在现实世界和日常生活中,大量存在着相等关系和不等关系,例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等.类似于这样的问题,反映在数量关系上,就是相等与不等.相等用等式表示,不等用不等式表示．问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗(1)某路段限速40km/h;(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%;(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边;(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗(1)某路段限速40km/h;(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%;设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h,“限速40km/h”就是v的大小不能超过40,于是0<v≤40问题1你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗(3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边;(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短．设△ABC的三条边为a,b,c,则a+b>c,a-b<c你能写出其他的可能情况吗如图,设C是线段AB外的任意一点,CD垂直于AB,垂足为D,E是线段AB上不同于D的任意一点,则CD＜CE．ABCDE问题2:某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以售出8万本.据市场调查,若单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元于是,不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为设提价后每本杂志的定价为x元,则销售总收入为求出不等式的解集,就能知道满足条件的杂志的定价范围如何解不等式呢与解方程要用等式的性质一样,解不等式要用不等式的性质.为此,我们需要先研究不等式的性质.实际上,在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么,这些性质为什么是正确的还有其他不等式的性质吗回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实．

由于数轴上的点与实数一一对应,所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系:如图,设a,b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是A,B.那么,当点A在点B的左边时,a＜b;当点A在点B的右边时,a＞b．思考1:实数可以比较大小,对于两个实数a,b,其大小关系有哪几种可能a＞b,a=b,a＜b

思考2:任何一个实数都对应数轴上的一个点,那么大数与小数所对应的点的相对位置关系如何大数对应的点位于小数对应的点的右边不等式基本原理不等式基本原理比较两个实数大小的方法——作差法比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的差a-b的符号;比较两个代数式的大小,实际上是比较它们的值的大小,而这又归结为判断它们的差的符号．作差法是比较两数(式)的大小的最基本和首选的方法：解:比较两个数(式)的大小的方法:作差,与零比较大小.分析:通过考察这两个多项式的差与０的大小关系,可以得出它们的大小关系．比较两个实数(或代数式)大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形(因式分解、通分、配方等)；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．这种比较大小的方法通常称为作差比较法．其思维过程：作差→变形→判断符号→结论，其中变形是判断符号的前提．归纳总结1、已知x>1,比较x3+6x与x2+6的大小．

解：

∵(x3＋6x)－(x2＋6)＝x3－x2＋6x－6

＝x2(x－1)＋6(x－1)

＝(x－1)(x2＋6)∵x>1∴(x－1)(x2＋6)>0∴x3＋6x>x2＋6

作商法:作商法比较大小一般适用于含幂式、积式、分式且符号确定的数或式的大小的比较,作商后可变形为能与1比较大小的式子.作商法探究:如右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗问题1:这会标中含有怎样哪些几何图形问题2:你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系BACDHEFGab问题3:四个三角形的总的面积是多少外部的正方形ABCD的面积是多少问题4:你能从左图中从面积的角度比较这两个数的大小吗问题5:当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时四个三角形的面积和与正方形的面积之间有何关系思考：当a=b时会出现什么情况？正方形EFGH缩为一个点，这时有a²＋b²＝２ab一般地，∀a，b∈R，有a²＋b²≥２ab，当且仅当a＝b时，等号成立．问题6:通过前面图形的变化观察得到a2+b2≥2ab,你能证明a2+b2≥2ab,对任意实数a,b都成立吗

一般地,对于任意实数a、b,我们有当且仅当a=b时,等号成立.重要不等式思考:请你先梳理等式的基本性质,再观察它们的共性.你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗等式有下面的基本性质：性质1如果a=b,那么b=a;

性质2如果a=b,b=c,那么a=c;

性质3如果a=b,那么a±c=b±c；性质4如果a=b,那么ac=bc;性质5如果a=b,c≠0,那么．运算中的不变性就是性质．探究:类比等式的基本性质,你能猜想不等式的基本性质吗？性质1(对称性):如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即性质2(传递性):如果a>b,b>c,那么a>c.即性质2(传递性)的证明性质3(可加性):如果a>b,那么a+c>b+c.不等式的两边都加上同一个实数,所得不等式与原不等式同向.不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.性质4(可乘性):如果a>b,c>0,那么ac>bc.如果a>b,c<0,那么ac<bc.性质5(同向可加性):如果a>b,c>d,那么a+c>b+d.性质6(同向同正可乘性):如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd.两边都是正数的同向不等式相乘，所得的不等式和原不等式同向.两个同向不等式相加,所得不等式与原不等式同向.当不等式的两边都是正数时,不等式的两边同时乘方所得得不等式和原不等式同向.性质7(可乘方性):反思利用不等式性质判断不等式是否成立的方法:(1)运用不等式的