新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册素养检测 第六章 平面向量及其应用

单元素养检测(一)

(第六章)

(120分钟150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出

的四个选项中，只有一项符合题目要求)

1.在四边形ABCD中，BC+DA+CD=()

A.BDB.ACC.ABD.BA

【解析】选D.在四边形ABCD中,BC+DA+CD=BC+CRDA=BD+DA=BA.

2.已矢口AABC中，AB+AC=2AD,贝！JBB-后()

A.2BDB.BCC.2ADD.0

【解析】选D.因为AABC中，族+正=2G,所以靠-AB+XS-AB=0,得

DB+DC=0,所以BD-DC=0.

3.已知向量a=(l,1),b=(0,2),且入a+ub=(2,8),则入-u=()

A.5B,-5C.1D.-l

【解题指南】根据平面向量的坐标运算,得到方程组求出结果.

【解析】选D.因为a=(1,1),b=(0,2),

所以入a+ub=(入，入+2u),

因为入a+ub=(2,8),所以(入，入+2口)=(2,8),

所以入=2,|1=3,所以入一(1二一1.

4.已知AABC中,D为AB上一点，满足靛=2X6,且|硝=2|同，则AABC

的形状为（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【解析】选C.因为AABC中，D为AB上一点，满足港=2A6,则AI上D瓦且

|AB|=2|CD|,如图，延长CD到E,使丽=函则ACBE是平行四边形,由向量

加法的平行四边形法则，得CA+CB=CE=2CD,

则IAB|=|CE|,所以平行四边形ACBE是矩形，

即4ABC的形状一定为直角三角形.

5.在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE交AF于H,记

AB=a,BC=b,贝AH=()

,24,r24,

A.-a一一bB.-a+-b

5555

八2£c2£

C.--a+—bD.一一a一-b

5555

【解析】选B.如图，过点F作BC的平行线交DE于G,则G是DE的中点，

JLGF=-EC=-BC,

24

所以G三一A6,则△AHDs^jHG,

4

.1_-一4―.

从而HF^-AH,所以AH=-AF,

45

__a_»]

AF=AI>+-DF=b+-a,

2

4A.1\24,

所以AH=-b+-a=-a+-b.

5k2755

6.(2019•全国卷H)已知泰=(2,3),而⑶t),|B6|=1,则靛•B<5=()

A._3B.~2C.2D.3

【解析】选C.因为B(5=A(5-XS=(1,t-3),又因为IBi|=1,即l2+(t-3)2=r,

解得t=3,所以Bd=(l,0),故靛•BC=2.

7.在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=bcosC且c=6,A=",

6

则AABC的面积为()

A.2A/3B.375C.4V3D.6V3

【解析】选D.在AABC中，由a二bcosC且c=6,

A=-,由正弦定理，得一J=-=2a=2bcosC,

6sinCsinA

所以c=2bsinCeosC=6.

由余弦定理，得c2=a2+b2-2abcosC,

即36=b2cos2C+b-2b2cos2C=b2(1-cos2C)

=b2sin2C,因为sin00,所以bsinC=6,

代入2bsinCeosC=6,得cosC=-，由于0<C<n,

2

所以C=-,B=n-A-C=-,

32

所以a=ctanA=2b,

三角形的面积等于LesinB=-X2V3X6X1=673.

22

【补偿训练】

在AABC中，若靛・秒2且NBAC=30。，则4ABC的面积为（）

A.V3B.2V3C.—D.—

33

【解析】选C.在4ABC中，若熊•AC=2且ZBAC=30°,得

_„4A/3

IAB|IAC|cos30°=2,所以IAB||AC|=——，则AABC的面积为

3

S=-|AB||AC|sin30°=-X^^xi=—.

22323

8.在三角形ABC中，用=2,|4Q=2&，ZBAC=45°,P为线段AC上任

意一点，则还•说的取值范围是（）

11

A.—,1B.—,4

L4112

*1「1.

C.0D.2

L4」L2

【解析】选B.设

AP=XAC,P‘=（1一入）Ai,0W入Wl,PB•PC=（AB-AP）•（1一入）人8=

（AB-AAC）•衣，结合题目中的条件得到原式=4（lf）（l-2入）=

4(2A2-3A+1),OWXW1,结合二次函数的性质得到范围是」，4.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分，共20分,在每小题给出

的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的

得3分,有选错的得0分）

9.设点0是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是（）

A.AO=OCB.BO//DB

C.族与5B共线D.AO=BO

【解析】选ABC.如图，因为而与方向相同，长度相等，所以A正确；

因为B,0,D三点在一条直线上，所以说〃瓦,B正确；

因为AB//CD,所以族与cb共线，C正确；

因为命与B<5方向不同，所以鼠）*BO,D错误.

10.已知a//b,|cz|=2|b|=6,则|a+卅的值可能为（）

A.3B.6C.8D.9

【解析】选AD.因为a〃b,|a卜21bl=6,

则|。卜6,|〃=3.

当a,b方向相同时，|Q+b|=|d|+|b|=9;

当a,b方向相反时，|Q+“=||QH加卜3.

【易错警示】本题易忽略两个向量方向相反的情形而漏解.当两个非零

向量共线时.，如果没有明确向量的方向相同或相反,要对两种情形分类

讨论求值.

11.在4ABC中，根据下列条件解三角形,则其中没有两个解的是（）

A.b=10,A=45°,B=60°

B.a=60,c=48,B=120°

C.a=7,b=5,A=75°

D.a=14,b=16,A=45°

【解析】选ABC.若b=10,A=45°,B=60°，则由正弦定理可得

a_10,求得a二竽,故AABC有一解;

sin45°sin60"

若a=60,c=48,B=120°,则由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac•cosB=8784,

求得b只有一解，故4ABC有一解;

75

若a=7,b=5,A=75°，则由正弦定理可得----一二——，求得sin

sm750sinB

_5（V6+V2）

BD-，

28

再根据b<a，可得B为锐角，故角B只有一个，故aABC有一解；

若a=14,b=16,A=45°,则由正弦定理可得一一二上,求得sinB=—,

sin450sinB7

再根据b>a,可得B>A,所以B可能是锐角也可能是钝角，即角B有2个

值，故4ABC有两解.

12.点G为AABC的重心,AB=2,BC=1,ZABC=60°,则下列等式成立的是（）

A.ZACB=90°B.BG=—

3

八一一1

C.BG•CG=-D.AG•CG=--

99

【解析】选ABCD.因为点G为△ABC的重心，AB=2,BC=1,NABC=60°,

由余弦定理，得AC2=AB2+BC2-2AB•BCcos60°=3,即AC=V3,由勾股定理

逆定理，得

ZACB=90°，所以NBAC=30°.

延长BG交AC于点D,贝"D为AC的中点，CD=—,在ABCD中，BD2=BC2+CD2=-,

24

得BD§,

所以BG=-BD=—,

33

贝i]AG•CG=(BG-BA)•(BG-BC)=BG2-BG"-(BA+BC)+BA•BC=BGJ-

--».aa.-3■a.

BG・2BD+BA•BC=BG2-BG・2•一BG+BA•BC

2

—~2BG2+2X1X—=-2X-+1—.

299

22

延长CG交AB于点E,则E为AB的中点，CE=1,CG=-CE=-

33

贝i]BG•CG=(CG-CB)•CG^CG2-CB^CG=

CG2-CB--CE=CG2-CB--•-(CA+CB)

332

=CG2-CB(CA+CB)=Oi2-(CB•CA+CB2)=—(0+1)=~.

33939

A

D

【拓展延伸】

三角形的四心与性质

学习向量的加减法离不开三角形，三角形的重心、垂心、内心、外心是

三角形性质的重要组成部分，你知道三角形“四心”的意义吗？它们与

向量的表示是什么？下面的几个结论也许能给同学们一点帮助.

一、三角形“四心”的意义

重心:三角形三边中线的交点.

垂心:三角形三边高线的交点.

外心:三角形三边中垂线的交点.

内心:三角形三条内角平分线的交点.

二、三角形“四心”的向量表示

结论1：若点0为/XABC所在的平面内一点，满足

OA•OB=OB•OC=OC•OA,

则点。为AABC的垂心.

证明：由苏•OB=OB•OC,WOA•OB-OB•OC=0,即

OB•（QA-OC）=0,OB±CA.

同理可证无_L画故0为AABC的垂心.

结论2:若点0为4ABC所在的平面内一点，满足

OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,则点0为4ABC的垂心.

证明：由OA2+BC2=OB2+CA2,

得QA2+（OC-OB）2=OB2+（OA-OC）2,

所以6二•OC=OC•OA.

同理可证苏,OB=OB•OC.

容易得到。/,OB=OB•OC=CX：•OA,

由结论1知0为4ABC的垂心.

结论3:若点G为AABC所在的平面内一点,满足6X+靛+招0,则点G为

△ABC的重心.

证明:由GA+GB+GC=0,得岸GE+G6.

设BC边中点为M,则2G加面+左，

所以-5X=2GM即点G在中线AM上.

设AB边中点为N,同理可证G在中线CN上,故点G为AABC的重心.

结论4:若点G为aABC所在的平面内一点,满足55d（而+无+及），则点G

3

为/XABC的重心.

证明：由5&=±（而+55+56）,得（56-5X）+（56-而）+（氏-56）=0,得

3

GA+GB+GC=0.

由结论3知点G为AABC的重心.

结论5:若点P为4ABC所在的平面内一点，并且满足

0P=OA+X（I/IB|+IAC|）

B—BG

（或+入（IBAI+|BC|））,

则点P为AABC的内心.

A（5

证明：由于加=0久+入（IAB|+|AC|）,

A6

可得标=X（IAB|+|AC|）.

设与屈同方向的单位向量为e,与互同方向的单位向量为e2,则

AP=入（e,+e2）,因为ei、e2为单位向量,所以向量e+e?在NA的平分线上.

由人＞0,知点P在NA的平分线上.

同理可证点P在NB的平分线上.

故点G为AABC的内心.

结论6:若点。为4ABC所在的平面内一点,满足

（OA+OB）•AB=（OB+OC）•BC=（OC+OA）•cA=0,则点。为△ABC的外心.

证明：因为BA=OA-O瓦

所以（质+而）-BA=|OA|2-|OB|2.

同理得（而+氏）-CB=|OB|2-|OC|2,（OC+QA）•AC=|OC|2-|OA|.

由题意得|词2-I丽2=1丽2T砌2

=|醺艮|国I）所以|词2=|丽旧国2,

得|就|=|而|=|反|.

故点。为AABC的外心.

注意:「示|=|函=|反|=|同2=|丽2

=]oc1（OA+OB）•AB=（OB+OC）•BC

=（OC+OA）•CA=0.

以上几个结论不仅展示了三角形的“四心”的向量表示，而且是向量

加减法应用的很好典例，值得大家关注.

三、填空题（本大题共4个小题,每小题5分，共20分.把答案填在题中

的横线上）

13.已知a=(2,—2),b=(x,2),若a•b=6,贝!Jx=.

【解析】因为a=(2,-2),b=(x,2),所以a•b=2x-4,又因为a♦b=6,所以

2x-4=6,解得x=5.

答案:5

14.(2019•全国卷H)4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若

b=6,a=2c,B=-,则aABC的面积为

3

【解析】因为cosB12+C2廿,

Zac

又因为b=6,a=2c,又一,可得C2=12,

3

解得C=2V3,a=4

贝IAABC的面积S=-X4V5X2V5X—=6V3.

22

答案：6jW

15.(2019•浙江高考)在AABC中,ZABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段

AC上,若NBDC=45。，则BD=,cosZABD=.

ADRD

【解析】如图，在aABD中，由正弦定理有:-------=--------,

sinNADBsinZBAC

37r/..

而AB=4,NADB二一,KC=y/AB2+BC2-5,

4

AK

D

BC

BC3AB4“12-/2

sinZBAC=一cosNBAC=—所以BD=---.

AC5AC55

cosNABD二cos(ZBDC-ZBAC)

=cos-cosNBAC+sin—sinZBAC=^A

4410

答案:坨型

510

【补偿训练】

在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosB=-,b=4,SAABC=4V2,

3

则4ABC的周长为.

【解题指南】先根据cosB=Z求出sinB,再由S&\BC=4企求出ac,最后

3

再由余弦定理可求出a2+c2,进而可求出a,c的值，即可求出周长.

【解析】由cosB='得sinB二任，由三角形面积公式可得LesinB二

332

-ac•--4V2,

23

则ac=12①，

结合余弦定理b2=a，c2-2accosB,

1

可得16=a2+c2-2X12X则a2+c2=24@,

3

由①②联立可得a=c=2^5,所以4ABC的周长为4旧+4.

答案:4禽+4

16.已知点M是AABC所在平面内的一点，若满足6痴-八后-2而=0,且

SAABC=入SAABM,则实数入的值是.

【解析】记2AA^I=赢，

因为AN-AB+2AN-2A<5=0,所以BN-2NC,

乜口图，得SABN=-S△ABC,

A3

又因为s△ABM="SAABN,所以SAABC=3SAABM,

2

从而有人二3.

A

BNC

答案：3

四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、

证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知向量|a|=2,a・b=l,a在b方向上的投影为1.

(1)求向量a,b的夹角；⑵求a-b1.

【解析】⑴因为|a|=2,a•b=l,由a在b方向上的投影为1,得—=1,

|b|

所以|=1,向量a,b的夹角9满足cos9=--又。£[0,n],得

\a\\b\2

0=-.

3

(2)|a-b|2-(a-b)2==a2-2a•b+b2

二4-2X1+1=3,

所以|a-b|=V3.

18.(12分)已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时，

(l)ka+b与a-3b垂直？

(2)ka+b与a-3b平行?平行时它们是同向还是反向？

【解析】由a=(l,2),b=(-3,2),得

ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),

(1)(ka+b)-L(a-3b),得(ka+b)♦(a-3b)

=10(k-3)-4(2k+2)=2k-38=0,解得k=19.

(2)(ka+b)//(a-3b),得-4(k-3)=10(2k+2),

解得k二-工，此时ka+b-,-)---(10,-4),所以方向相反.

3333

【补偿训练】

如图，已知菱形ABCD的边长为2,NBAD=120°,动点M,N满足

BM=XBC,DN=MDC,入，PWO.

BMC

⑴当人J时，求I而-加的值；

2

⑵若•AN--2,求-+-的值.

A〃

1

【解题指南】⑴入=u=-时，M,N分别为BC,CD的中点，可得

2

।而i=।京i=V3,根据模长的计算公式得到结果；

⑵根据平面向量基本定理得到威・正（好+威）•（四+而），按照向量

点积公式展开得到结果.

1

［解析】（1）当人二u=-时,M,N分别为BC,CD的中点，

2

此时易得|AM|:|AN|二V3且八I,AR的夹角为60°，则

|AM-AN|=V（AM-AN）*23

二J3-2xV3x75cos60。+3=V3.

（2）AM•（AB+BM）・（AD+DN）

=AB•AD+-AB•DN+BM•AD+BM•DN,

所以-2=2X2X（-0+2X2U+2X2入+2入X2|1X（一；）,所以4（入+

|1）=2入|1,

所以2（入+|1）=入口，故工+工二"口.

入〃入〃2

19.（12分）设向量m=（Q,b）,n=（b-2,a~2）,在ZiABC中a,b,c分别为角

A,B,C的对边，且2csinC=（2b-a）sinB+（2a-b）sinA.

⑴求角C;

⑵若m_Ln,边长c=2,求AABC的周长/和面积S的值.

【解析】（1）由已知可得2c2=（2b-a）b+（2a-b）a,

2+022i

即c2=b2+a2-ab,所以cosC=----------

2ab2

所以c=-.

3

(2)由题意可知m±n,可得a(b-2)+b(a-2)=0,所以a+b二ab,

由余弦定理可知4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,

贝I(a+b)2-3(a+b)-4=0,即a+b=4,

故周长为4+2=6,

面积为S=-absinC=-,4,sin-=V3.

223

20.(12分)已知在4ABC中，三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向

量p=

(sinA-cosA,l-sinA),q=(2+2sinA,sinA+cosA),p与q是共线向

量,且巴WAW巴.

62

(1)求角A的大小；

(2)若sinC=2sinB,且a=V3,试判断AABC的形状，并说明理由.

【解析】(1)因为p〃q,所以(sinA-cosA)(sinA+cosA)-2(1-sin

A)(1+

sinA)--COS2A_2COS2A-0,

1

所以1+2cos2A=0,所以cos2A=-

2

因为巴WAW巴,所以巴W2AWn,

623

所以2A二^—,所以A——.

33

⑵AABC是直角三角形.理由如下：

由cosA=3及余弦定理得b2+c2-bc=3.

2

又sinC=2sinB,由正弦定理得c=2b.

222222

联立可得02+c-bc=3,解得｛b=｝所以a+b=（73）+1=4=C,

[c=2b,lc=2,

所以4ABC是直角三角形.

21.（12分）在AABC中，NABC=90°,AB=>/5,BC=1,P为4ABC内一

点，ZBPC=90°.

⑴若PC=在，求PA;

2

⑵若NAPB=150。，求4ABP的面积S.

【解析】（1）因为在4ABC中，NABC=90°,AB=JW,BC=1,所以sinZ

PBC二上二丑，可得NPBC=60°,BP=BCcos60°

BC22

因为NPBA=90°-ZPBC=30°，所以△APB中由余弦定理，得

PA2=PB2+AB2