新高考数学二轮复习重难点4-1 平面向量的最值与范围（4题型+满分技巧+限时检测）（解析版）

重难点4-1平面向量的最值与范围平面向量中的最值范围问题是向量问题中的重难点，也是近几年新高考数学的热点问题。常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。主要考查向量数量积的最值、系数的最值、模长和夹角的最值。在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。【题型1向量数量积的最值与范围】满分技巧数量积的最值范围处理方法：（1）运用平面向量基本定理，将数量积的两个向量用基底表示后，再运算；（2）建立坐标系，利用向量的坐标运算转化为函数来处理；（3）利用极化恒等式来处理。【例1】（2023·江苏连云港·高三统考期中）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是单位向量，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为60°，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：D.【变式1-1】（2023·辽宁·高三校联考期中）已知正方形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．1B．SKIPIF1<0C．2D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由题意，建立如图所示坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0．故选：C．【变式1-2】（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）如图，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆上，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0同向时，SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：C.【变式1-3】（2023·山东·五莲县第一中学校联考模拟预测）已知SKIPIF1<0是半径为2的圆上的三个动点，弦SKIPIF1<0所对的圆心角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．6B．3C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为弦SKIPIF1<0所对的圆心角为SKIPIF1<0，且圆的半径为2，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图所示：因为SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以若SKIPIF1<0最大，所以只需SKIPIF1<0最大，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A【变式1-4】（2024·全国·高三专题练习）已知过点SKIPIF1<0且与圆SKIPIF1<0相切的两条直线的夹角为SKIPIF1<0，再过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．0B．8C．SKIPIF1<0D．16【答案】B【解析】如图，设过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线的切点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为圆C的方程可化为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以点P的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆．如图，设MN的中点为H，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值最大，最大值为8．故选：B．【题型2向量模长的最值与范围】满分技巧处理平面向量的模长范围问题，常用的方法有：（1）坐标法：即通过建立直角坐标系，通过向量坐标运算求得；（2）基向量表示法：即通过选设平面的基底，用基底表示相关向量，运算求得；（3）构造几何图形法：即根据模长定值构造圆形，由向量点乘等于零得到两向量垂直.【例2】（2023·云南昆明·高三统考期中）向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】依题意，根据投影向量的定义有：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0有最大值，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式2-1】（2024·江西抚州·高三金溪一中校考阶段练习）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．5【答案】A【解析】SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选：A．【变式2-2】（2024·北京朝阳·高三统考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如下图所示：在直线SKIPIF1<0上取一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为顶点的等腰直角三角形，建立以SKIPIF1<0为坐标原点的平面直角坐标系，如下图所示：又SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，由SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由二次函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增可得，SKIPIF1<0.故选：C【变式2-3】（2023·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．4C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图所示：不妨设SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由椭圆的定义可知点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，SKIPIF1<0，所以该椭圆方程为SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，这表明了点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0上面运动，其中点SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径，又SKIPIF1<0，等号成立当且仅当SKIPIF1<0三点共线，故只需求SKIPIF1<0的最大值即可，因为点SKIPIF1<0SKIPIF1<0在椭圆上面运动，所以不妨设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0.故选：A.【变式2-4】（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.故选：SKIPIF1<0【题型3向量夹角的的最值与范围】满分技巧求两个非零向量夹角的步骤第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步：分别求出这两个向量的模；第三步：根据公式SKIPIF1<0求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步：根据两个向量夹角的范围是SKIPIF1<0及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角。【例3】（2023·高三课时练习）已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，余弦函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角的取值范围是SKIPIF1<0.【变式3-1】（2023·广东清远·高三校联考阶段练习）已知单位向量SKIPIF1<0，若对任意实数x，SKIPIF1<0恒成立，则向量SKIPIF1<0的夹角的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设向量SKIPIF1<0的夹角为θ，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0恒成立.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的夹角的取值范围是SKIPIF1<0.故选：A.【变式3-2】（2022·重庆沙坪坝·高三凤鸣山中学校考期中）若平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夹角的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以O为原点，SKIPIF1<0方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三者直接各自的夹角都为锐角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为1，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，由基本不等式得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，SKIPIF1<0，由余弦函数可得：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0夹角的取值范围是SKIPIF1<0，故选：C.【变式3-3】（2023·山东菏泽·高三菏泽一中校考阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，若对任意模为SKIPIF1<0的向量SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0的夹角的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，若对任意模为SKIPIF1<0的向量SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，由三角不等式得，SKIPIF1<0，因为向量SKIPIF1<0为任意模为SKIPIF1<0的向量，所以当向量SKIPIF1<0与向量SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0时，上式也成立，设向量SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平方得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，平方得到SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综上SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0向量SKIPIF1<0的夹角的取值范围SKIPIF1<0.【变式3-4】（2023·上海·高三大同中学校考期中）已知A，B是平面内两个定点，且SKIPIF1<0，点集SKIPIF1<0.若M，SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夹角的余弦值的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，点集SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,延长SKIPIF1<0于SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0,则可知点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上运动.因为SKIPIF1<0，根据数量积的几何含义可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影为3，即SKIPIF1<0，又因为M，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的两个点，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夹角最小为SKIPIF1<0，最大为SKIPIF1<0的二倍，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夹角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最大为1，SKIPIF1<0最小为SKIPIF1<0所以范围为SKIPIF1<0.【题型4向量系数的最值与范围】满分技巧此类问题一般要利用共线向量定理或平面向量基本定理寻找系数之间的关系，然后利用函数的性质或基本不等式求解。（1）平面向量共线定理：已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0三点共线，反之亦然；（2）等和线：平面内一组基底SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及任一向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上或者在平行于SKIPIF1<0的直线上，则SKIPIF1<0（定值），反之也成立。我们把直线SKIPIF1<0以及与直线SKIPIF1<0平行的直线称为等和线。=1\*GB3①当等和线恰为直线SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；=2\*GB3②当等和线在SKIPIF1<0点和直线SKIPIF1<0直线时，SKIPIF1<0；=3\*GB3③当直线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0和等和线之间时，SKIPIF1<0；=4\*GB3④当等和线过SKIPIF1<0点时，SKIPIF1<0；=5\*GB3⑤若两等和线关于SKIPIF1<0点对称，则定值SKIPIF1<0互为相反数。【例4】（2023·全国·高三专题练习）在正六边形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内（包括边界）的一个动点，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0为动点，所以不容易利用数量积来得到SKIPIF1<0的关系，因为六边形为正六边形，所以建立坐标系各个点的坐标易于确定，可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以设SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所满足的可行域为SKIPIF1<0，代入可得：SKIPIF1<0，通过线性规划可得：SKIPIF1<0.【变式4-1】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0是边长为1的等边三角形，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0是边长为1的等边三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故选：B.【变式4-2】（2023·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点且满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且满足SKIPIF1<0为正实数，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最大值为1C．SKIPIF1<0的最小值为4D．SKIPIF1<0的最大值为16【答案】C【解析】SKIPIF1<0为正实数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0共线，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，结合SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，A，B错误；SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，即SKIPIF1<0的最小值为4，C正确；又SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0为正实数，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取最大值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0趋近于0时，SKIPIF1<0可无限趋近于0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0无最大值，D错误，故选：C.【变式4-3】（2023·湖北·高三随州市曾都区第一中学校联考期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的动点（与端点不重合），设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（）A．3B．1C．2D．4【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0、SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故选：D【变式4-4】（2023·山东·高三省实验中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为单位向量，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．-1【答案】B【解析】SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,如图，建立平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可知，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故选：B（建议用时：60分钟）1．（2023·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．1【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.故选：B2．（2023·江西·高三校联考阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．2C．SKIPIF1<0D．4【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向时，SKIPIF1<0取得最大值，且最大值为SKIPIF1<0.故选：D.3．（2023·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考阶段练习）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为单位向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】依题意平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为单位向量，且SKIPIF1<0，建立如图所示平面直角坐标系，设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在以原点为圆心，半径为SKIPIF1<0的圆上，SKIPIF1<0表示以原点为圆心，半径为SKIPIF1<0的圆上的点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的距离，所以，根据圆的几何性质可知：SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是点SKIPIF1<0与原点的距离.故选：C4．（2023·江苏南通·高三统考期中）在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：C5．（2023·江苏镇江·高三校考阶段练习）在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0轨迹为圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0的圆，可设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为任意角，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，且为SKIPIF1<0.故选：A6．（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）如图，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，斜边SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点（包含端点），SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点．将线段SKIPIF1<0绕着点SKIPIF1<0旋转得到线段SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】连接SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，可求得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<07．（2022·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨德强学校校考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若点E为边SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.8．（2023·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）如图，SKIPIF1<0是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点M为线段SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．6D．10【答案】D【解析】根据题意可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0单调递增，SKIPIF1<0单调递减，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取最大值为SKIPIF1<0.故选：D9．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知点A，B，C在圆SKIPIF1<0上运动，且SKIPIF1<0，若点P的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．7B．12C．14D．11【答案】D【解析】如图所示：因为SKIPIF1<0，所以AC为圆的直径，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，等号成立，故选：D10．（2024·湖南娄底·高三统考期末）已知平面非零向量SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．12C．SKIPIF1<0D．24【答案】D【解析】由已知非零向量SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，两边平方得SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为24.故选：D.11．（2024·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0为单位向量，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．2B．SKIPIF1<0C．4D．6【答案】B【解析】SKIPIF1<0为单位向量，有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向相反时“SKIPIF1<0”成立，如取SKIPIF1<0时，可使“SKIPIF1<0”成立.所以SKIPIF1<0.故选：B．12．（2023·河南·校联考模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的点，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（不含端点），且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．8【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的点，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上（不含端点），则存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0、SKIPIF1<0不共线，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：B.13．（2023·福建宁德·统考模拟预测）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0上的任一点，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（）A．SKIPIF1<0B．2C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由已知可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值为SKIPIF1<0.故选：C.14．（2022·江苏南通·高三开学考试）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的外心O的直线(不经过点SKIPIF1<0)分别交线段SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0三点共线，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值，最小值为SKIPIF1<0；又由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值，最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：B.15．（2023·四川南充·阆中中学校考一模）圆O是边长为SKIPIF1<0