新高考数学二轮复习重难点7-2 圆锥曲线综合应用（7题型+满分技巧+限时检测）（解析版）

重难点7-2圆锥曲线综合问题圆锥曲线综合问题是新高考数学的重难点内容。常见的考点有定点、定值、定曲线、最值范围、证明及存在性问题，主要在解答题的第2问中进行考查，难度较大。在今年的高考中依旧是命题的热点方向。【题型1圆锥曲线的定值问题】满分技巧1、解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段长度，图形面积，角度，直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题方法有两种：法一、先猜后证（特例法）：从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；法二、引起变量法（直接法）：直接推理、计算，并在计算推理过程中消去参数，从而得到定值。2、直接法解题步骤第一步设变量：选择适当的量当变量，一般情况先设出直线的方程：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0、点的坐标；第二步表示函数：要把证明为定值的量表示成上述变量的函数，一般情况通过题干所给的已知条件，进行正确的运算，将需要用到的所有中间结果（如弦长、距离等）用引入的变量表示出来；第三步定值：将中间结果带入目标量，通过计算化简得出目标量与引入的变量无关，是一个常数。【例1】（2023·北京·高三顺义区第一中学校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）设过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，线段SKIPIF1<0的垂直平分线交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，判断SKIPIF1<0是否为定值？如果是定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0是定值，且SKIPIF1<0【解析】（1）因为椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0是定值.由已知得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，线段SKIPIF1<0的垂直平分线方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.【变式1-1】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上任意一点，SKIPIF1<0不在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0的面积的最大值为SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于M，N两点，设点SKIPIF1<0，求证：直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率之和SKIPIF1<0为定值，并求出定值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）定值，SKIPIF1<0【解析】（1）因为椭圆的离心率为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易得当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0面积取得最大值，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）证明：如图，易知点SKIPIF1<0在椭圆外，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【变式1-2】（2023·山东·实验中学校考一模）在平面直角坐标系xOy中，点P到点SKIPIF1<0的距离比到y轴的距离大1，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点F且斜率不为零的直线l交椭圆E：SKIPIF1<0于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若SKIPIF1<0为定值，求实数λ的值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【解析】（1）设SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，两边平方并整理，得SKIPIF1<0，所以曲线C的方程为SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，依题意，设直线l的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y并整理，得SKIPIF1<0，而点SKIPIF1<0为椭圆E的右焦点，因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，若直线l交曲线C于M、N两点，且SKIPIF1<0，则直线l与SKIPIF1<0相交，由SKIPIF1<0消去y并整理，得SKIPIF1<0，而点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0的焦点，则SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0为定值，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以实数λ的值为3．【变式1-3】（2023·上海·高三进才中学校考期中）双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴正半轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上．（1）求双曲线SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线交双曲线SKIPIF1<0于两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，试求SKIPIF1<0的长度；（3）设圆SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0处的切线交双曲线SKIPIF1<0于两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，试判断SKIPIF1<0是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0为定值，且SKIPIF1<0【解析】（1）设双曲线SKIPIF1<0的半焦距为SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此，双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）当切线的斜率不存在时，切线的方程为SKIPIF1<0，此时，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，合乎题意，当切线的斜率存在时，设切线的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时，切线方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.（3）当圆SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处切线斜率不存在时，点SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，由（1）及已知，得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，当圆SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处切线斜率存在时，设切线方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，综上得SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.【题型2圆锥曲线的定点问题】满分技巧1、参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时的参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。2、特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。3、关系法：对满足一定条件上的两点连结所得直线定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。【例2】（2023·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0的半焦距为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0.（1）求椭圆的方程；（2）设直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，求证：线段SKIPIF1<0的中垂线恒过定点SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析【解析】（1）椭圆过点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即椭圆方程为SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的中点M为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的中垂线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的中垂线恒过点SKIPIF1<0.【变式2-1】（2023上·北京东城·高三景山学校校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0，长轴长为4，离心率是SKIPIF1<0（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为SKIPIF1<0且不过原点的直线SKIPIF1<0交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线SKIPIF1<0于点D.若SKIPIF1<0证明：直线SKIPIF1<0经过定点，并求出定点坐标.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析，SKIPIF1<0.【解析】（1）由椭圆SKIPIF1<0的长轴长为4，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由离心率是SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0.（2）设直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0并整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然点SKIPIF1<0的纵坐标SKIPIF1<0同号，由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0经过定点，该定点坐标为SKIPIF1<0.【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）设动点P到定点SKIPIF1<0的距离与到定直线l：SKIPIF1<0的距离之比为2．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若Q为l上的动点，A，B为E与x轴的交点，且点A在点B的左侧，QA与E的另一个交点为M，QB与E的另一个交点为N，求证：直线MN过定点．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析【解析】（1）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得P点的轨迹方程为SKIPIF1<0.（2）方法一：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由A，Q，M三点共线知SKIPIF1<0①，由B，Q，N三点共线知SKIPIF1<0②，由①②两式得SKIPIF1<0③．又因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入③式得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0．当时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线过定点SKIPIF1<0，不符合题意，舍去．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，直线过定点SKIPIF1<0.方法二：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同方法一得③式，知SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0④．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程④的根，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，代入：SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以直线MN过定点SKIPIF1<0．方法三：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．连接MB，由双曲线斜率积的定义知SKIPIF1<0，同方法一得③式，知SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0⑤，双曲线方程可化为SKIPIF1<0⑥．点M，N满足⑤⑥两式，所以也满足下式：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，代入⑤式得SKIPIF1<0，所以直线MN过定点SKIPIF1<0.【变式2-3】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线分别与SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，且在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0之间，曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线分别与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0面积的最大值；（2）证明：SKIPIF1<0的外接圆经过异于点SKIPIF1<0的定点．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析【解析】（1）SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意可知直线SKIPIF1<0的斜率均存在，且不为0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0联立得：SKIPIF1<0.由相切得：SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0同时在直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0联立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．联立直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0（2）由（1）得，SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圆经过异于点SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0．【题型3圆锥曲线的定直线问题】满分技巧解决圆锥曲线中动点在定直线问题的解题步骤：1、联立直线与圆锥曲线的方程消元；2、挖掘图形中的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；3、将动点的横纵坐标分别用参数表示，再消去参数；4、设点，将方程变形解出定直线方程。【例3】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知过点SKIPIF1<0的双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0.（1）求C的方程；（2）已知A，B是C的实轴端点，过点SKIPIF1<0的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点P，证明：点P在一条定直线上.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析【解析】（1）因为C的渐近线方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在C上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C的方程为SKIPIF1<0.（2）由题意可得直线l的斜率不为0，设l的方程为SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据双曲线的对称性，不妨设A是左顶点，SKIPIF1<0,则直线SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，故点P在定直线SKIPIF1<0上.【变式3-1】（2023·吉林长春·统考一模）过抛物线SKIPIF1<0焦点SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0．（1）求抛物线SKIPIF1<0的方程；（2）过焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0，交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点是否在一条直线上．若是，求出该直线的方程；否则，说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点都在SKIPIF1<0上【解析】（1）由题意设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即指物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,联立方程组SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得直线SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点都在SKIPIF1<0上．【变式3-2】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）若过SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点在定直线上.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析【解析】（1）依题意可得直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点在直线SKIPIF1<0上.【变式3-3】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）已知在平面直角坐标系中，动点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离与它到直线SKIPIF1<0的距离之比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.（1）求曲线SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧），在线段SKIPIF1<0上取异于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的点SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，证明：点SKIPIF1<0恒在一条直线上.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析【解析】（1）由题意可得SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0.所以，曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）证明：如下图所示：因为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0在定直线SKIPIF1<0上.【题型4圆锥曲线的最值问题】满分技巧圆锥曲线最值问题的解题步骤：1、设参数：依题意设出相关的参数，如设点坐标，设比例式的参数，设直线的方程等；2、联立方程：常把直线方程与曲线方程联立，转化为关于x（或y）的一元二次方程；3、建函数：根据题设条件中的关系，建立目标函数的关系式；4、求最值：利用配方法、基本不等式法、单调性法等求其最值。【例4】（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）已知椭圆SKIPIF1<0经过两点SKIPIF1<0．（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，求SKIPIF1<0面积的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）椭圆SKIPIF1<0经过两点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故椭圆方程为：SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，设与直线SKIPIF1<0平行且与椭圆相切的直线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0的面积最大，则SKIPIF1<0为直线SKIPIF1<0与椭圆在第三象限的切点，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的最大距离为直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大面积SKIPIF1<0.【变式4-1】（2023·江苏苏州·高三统考期中）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点到准线间的距离为2，且点SKIPIF1<0抛物线C上．（1）求m的值；（2）若直线l与抛物线C交于A，B两点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点D，SKIPIF1<0，求DQ的最大值．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因为抛物线SKIPIF1<0的焦点到准线间的距离为2，所以SKIPIF1<0．又因为点SKIPIF1<0抛物线C上，所以SKIPIF1<0．（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又直线AB的方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直线AB：SKIPIF1<0，所以直线恒过SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0于点D，所以点D在以PM为直径的圆上．即圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．所以DQ的最大值SKIPIF1<0．【变式4-2】（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦距为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）A是SKIPIF1<0的下顶点，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0的斜率小于0，SKIPIF1<0的重心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点，求直线SKIPIF1<0斜率的最大值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由题可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.联立方程组SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（满足SKIPIF1<0）时，SKIPIF1<0取得最大值，且最大值为SKIPIF1<0.【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C经过点SKIPIF1<0，它的两条渐近线分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.（1）求双曲线C的标准方程；（2）设双曲线C的左､右焦点分别为SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，过左焦点SKIPIF1<0作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求SKIPIF1<0周长的最小值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）依题意，设双曲线C的方程为SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以双曲线C的标准方程为SKIPIF1<0.（2）由（1）知，双曲线C的左焦点为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，①若直线l的斜率不存在，则SKIPIF1<0，得A､B的坐标分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由双曲线定义可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0此时SKIPIF1<0的周长为：SKIPIF1<0.②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因为直线l交双曲线的左支于A､B两点，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的周长为z，则有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上，由①②可得SKIPIF1<0的周长的最小值为SKIPIF1<0.【题型5圆锥曲线的取值范围问题】满分技巧1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．【例5】（2023·云南楚雄·高三统考期中）已知动圆P过点SKIPIF1<0，且在圆B：SKIPIF1<0的内部与其相内切.（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）若M，N是动圆圆心P的轨迹上的不同两点，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求直线MN的斜率k的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）设动圆P和圆B相切于点S，则B，P，S三点共线，所以SKIPIF1<0.所以点P的轨迹是以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为焦点，长轴长为4的椭圆，设该椭圆的方程为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.所以点P的轨迹方程为SKIPIF1<0.（2）由题意知直线MN的方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.联立方程组SKIPIF1<0，消去x得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.由根与系数的关系有SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，代入上式得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是减函数，故SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即k的取值范围是SKIPIF1<0.【变式5-1】（2023·海南·校联考模拟预测）已知抛物线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦点F到双曲线SKIPIF1<0的渐近线的距离是SKIPIF1<0．（1）求p的值；（2）已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段SKIPIF1<0的中垂线与E的准线l交于点P，且线段SKIPIF1<0的中点为M，设SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）E的焦点为SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．由点到直线的距离公式得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．（2）由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0：SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0消去x并整理，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．易得M点的坐标为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的中垂线方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0．【变式5-2】（2023·上海·高三同济大学第一附属中学校考期中）已知椭圆SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点.SKIPIF1<0为坐标原点，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0有两个不同的交点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.且直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）若以SKIPIF1<0为直径的圆经过坐标原点，求直线SKIPIF1<0的方程；（3）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0【解析】（1）因为椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0（负值舍去）．由SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．联立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0整理可得SKIPIF1<0．因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以SKIPIF