新高考数学二轮复习重难点4-2 奔驰定理及三角“四心”向量式（5题型+满分技巧+限时检测）（解析版）

重难点4-2奔驰定理及三角形“四心”向量式平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。【题型1三角形“重心”及应用】满分技巧常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）若SKIPIF1<0QUOTEAP=λAB+AC或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则P一定经过三角形的重心（4）若SKIPIF1<0或QUOTEOP=OA+λABABsinB+ACACsinCSKIPIF1<0，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角形的重心【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是平面上一定点，SKIPIF1<0是平面上不共线的三个点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的轨迹一定通过SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】A【解析】由题意SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，由于SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0边上的中线所在直线的向量，∴动点SKIPIF1<0的轨迹一定通过SKIPIF1<0的重心，如图，故选A．【变式1-1】（2022·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是不在同一直线上的三个点，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0内一动点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的（）A．外心B．重心C．垂心D．内心【答案】B【解析】如图，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点在射线SKIPIF1<0上．故SKIPIF1<0的轨迹过SKIPIF1<0的重心．故选：B．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【答案】B【解析】过点SKIPIF1<0分别作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其垂足依次为SKIPIF1<0，如图所示，由于SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根据奔驰定理就有：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内心，B选项正确.故选：B【变式1-3】（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考阶段练习）已知SKIPIF1<0是三角形SKIPIF1<0所在平面内一定点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点轨迹一定通过三角形SKIPIF1<0的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心【答案】D【解析】记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，如图，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在三角形的中线SKIPIF1<0上，则动点P的轨迹一定经过SKIPIF1<0的重心.故选：D.【变式1-4】（2023·河北·高三统考阶段练习）若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】在SKIPIF1<0中，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，如图，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.故选：B【题型2三角形“内心”及应用】满分技巧常见内心向量式：P是∆ABC的内心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，（2）AP=λABAB+AC【例2】（2023·安徽淮南·统考一模）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D，E分别在线段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上，且D为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0的（）.A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，且D为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，则可得四边形SKIPIF1<0为菱形，即SKIPIF1<0为菱形SKIPIF1<0的对角线，所以SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0的内心故选:A【变式2-1】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上的一点，SKIPIF1<0的三边为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【解析】在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上分别取点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为邻边作平行四边形SKIPIF1<0，如图，则四边形SKIPIF1<0是菱形，且SKIPIF1<0．SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的平分线．

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的平分线上．同理可得SKIPIF1<0在其它两角的平分线上，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内心．故选：B．【变式2-2】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则点P的轨迹一定经过SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0方向上的单位向量，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0方向上的单位向量，则SKIPIF1<0的方向与SKIPIF1<0的角平分线一致，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以点P的轨迹为SKIPIF1<0的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过SKIPIF1<0的内心，故选：C.【变式2-3】（2023·湖北·模拟预测）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为以SKIPIF1<0为斜边的直角三角形，设SKIPIF1<0的内切圆与边SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，内切圆的半径为SKIPIF1<0，由直角三角形的内切圆的性质可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.【变式2-4】（2022·辽宁沈阳·高三校考阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是其内心，内角SKIPIF1<0所对的边分别SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】延长SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0.内心是三角形三个内角的角平分线的交点.在三角形SKIPIF1<0和三角形SKIPIF1<0中，由正弦定理得：SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C【题型3三角形“外心”及应用】满分技巧常用外心向量式：O是∆ABC的外心，（1）QUOTEOA=OB=OC⟺OA2=OB（2）OA（3）动点P满足OP=OB+则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外心.（4）若OA+OB∙AB=OB【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考期中）在SKIPIF1<0中，动点P满足SKIPIF1<0，则P点轨迹一定通过SKIPIF1<0的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】A【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点P在线段AB的中垂线上，故点P的轨迹过SKIPIF1<0的外心，故选：A【变式3-1】（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）在SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，那么动点SKIPIF1<0的轨迹必通过SKIPIF1<0的（）A．垂心B．内心C．重心D．外心【答案】D【解析】设线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0互为相反向量，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0垂直且平分线段SKIPIF1<0，因此动点SKIPIF1<0的轨迹是SKIPIF1<0的垂直平分线，必通过SKIPIF1<0的外心，故选：D.【变式3-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为SKIPIF1<0所在平面内一点，在SKIPIF1<0中，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点O为该三角形的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心【答案】B【解析】根据题意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影为SKIPIF1<0的一半，所以点O在边AB的中垂线上，同理，点O在边AC的中垂线上，所以点O为该三角形的外心，故选：B．【变式3-3】（2023·江苏·高三统考期末）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高且SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为原点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0方向为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0轴正方向如图建立空间直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，而直线SKIPIF1<0平分线段SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的轨迹为线段SKIPIF1<0的垂直平分线，根据三角形外心的性质可得点SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的外心，故选：A.【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）已知点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内心、外心、重心、垂心之一，且满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【答案】B【解析】设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点可得点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的垂直平分线上，所以点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外心，故选：B【题型4三角形“垂心”及应用】满分技巧常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：（1）OA（2）OA（3）动点P满足QUOTEOP=OA+λABABcosB+ACACcosCSKIPIF1<0，λ∈0,+∞，则动点P（4）奔驰定理推论：S∆BOC:S∆COA:【例4】（2023·全国·高三专题练习）设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，若SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【答案】C【解析】取BC的中点D，如图所示，连接OD，AM，BM，CM．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又由于SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，所以SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0．同理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心．故选：C．【变式4-1】（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面上一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】D【解析】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心.故选：D.【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，且SKIPIF1<0则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】D【解析】SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心.故选：D.【变式4-3】（2023·上海·高三行知中学校考期中）在四面体SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0不是等边三角形，且点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的投影SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0内，则点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】D【解析】如图，由题意可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心.故选：D.【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）设H是SKIPIF1<0的垂心，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】∵H是SKIPIF1<0的垂心，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，同理可求得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.【题型5奔驰定理及应用】满分技巧奔驰定理及其推论1、奔驰定理：O是SKIPIF1<0内的一点，且SKIPIF1<0QUOTEx∙OA+y∙OB+z∙OC=0，则SKIPIF1<02、奔驰定理推论：QUOTEx∙OA+y∙OB+z∙OC=0SKIPIF1<0，则=1\*GB3①SKIPIF1<0=2\*GB3②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0QUOTES∆AOBS∆ABC=zx+y+z.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。【例5】（2022·全国·高三专题练习）点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0内一点，若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值分别为（）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】A【解析】如图所示，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，由面积关系可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又由题可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A【变式5-1】（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有SKIPIF1<0及其内一点O，构成如图所示图形，若将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别记作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有关系式SKIPIF1<0．因图形和奔驰车的SKIPIF1<0很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足SKIPIF1<0，则O为SKIPIF1<0的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【答案】B【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，根据平面向量基本定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的平分线，同理可得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，故选：B【变式5-2】（2024·江西新余·高三统考期末）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．以下命题正确的有（）A．若SKIPIF1<0，则M为SKIPIF1<0的重心B．若M为SKIPIF1<0的内心，则SKIPIF1<0C．若M为SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0【答案】ABC【解析】A选项，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0三点共线，且SKIPIF1<0，同理，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0三点共线，SKIPIF1<0三点共线，所以M为SKIPIF1<0的重心，A正确；B选项，若M为SKIPIF1<0的内心，可设内切圆半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B正确；C选项，若M为SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，如图，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，相交于点SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，C正确；D选项，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D错误.故选：ABC【变式5-3】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0的三个内角分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则以下命题正确的有（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0有可能是SKIPIF1<0的重心C．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，则SKIPIF1<0为直角三角形【答案】AD【解析】对于A，由奔驰定理可得，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不共线，所以SKIPIF1<0，故A正确；对于B，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0共线，故B错误．对于C，当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故C错误．对于D，当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心时，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为内切圆半径），所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确.故选：AD.【变式5-4】（2024·广东广州·执信中学校考模拟预测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内一点，SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.以下命题正确的有（）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心B．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】ABD【解析】对于A，取SKIPIF1<0的中点D，连接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以A，M，D三点共线，且SKIPIF1<0，设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的重心，故A正确；对于B，由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的内心，则可设内切圆半径为SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B正确；对于C，由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，则可设SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C错误；对于D，如图，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点D，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点E，由SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正确.故选：ABD．（建议用时：60分钟）1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0是平面内一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面内不共线的三点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0一定是SKIPIF1<0的（）A．外心B．重心C．垂心D．内心【答案】C【解析】由题意知，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的垂心.故选：C2．（2022·山西太原·高三统考期中）已知点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在平面内，满SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0依次是SKIPIF1<0的（）A．重心，外心B．内心，外心C．重心，内心D．垂心，外心【答案】A【解析】设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0有公共点SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0三点共线，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中线SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的三条中线上，即为SKIPIF1<0的重心；因为SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆圆心，即为SKIPIF1<0的外心综上，点SKIPIF1<0依次是SKIPIF1<0的重心，外心.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）在△SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，O为△SKIPIF1<0的内心，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为O为△SKIPIF1<0的内心，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.4．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，则“SKIPIF1<0”是“点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0重心”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】依题意SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0重心，即充分性成立；若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0重心时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，必要性成立，故选：C.5．（2024·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的（）A．内心B．垂心C．重心D．SKIPIF1<0边的中点【答案】C【解析】由动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0三点共线，又因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0的中线，所以点SKIPIF1<0的轨迹一定过SKIPIF1<0的重心.故选：C.6．（2022·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0中点，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面内一点，则“SKIPIF1<0”为“点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0重心”（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【答案】C【解析】充分性：SKIPIF1<0等价于：SKIPIF1<0，等价于：SKIPIF1<0，等价于：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的靠近SKIPIF1<0的三等分点，所以点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0重心；必要性：若点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0重心，由重心性质知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0故选：C7．（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是平面上的一定点，SKIPIF1<0是平面上不共线的三个点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹一定通过SKIPIF1<0的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】B【解析】设SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，两端同时点乘SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的垂直平分线上，即SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0的外心.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0所在的平面内，且满足以下条件SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心【答案】C【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别表示在边SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的单位向量，可设为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的角平分线上；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别表示在边SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的单位向量，可设为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的角平分线上；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别表示在边SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上的单位向量，可设为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的角平分线上，故SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内心.故选：C.9．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在锐角三角形ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，H为SKIPIF1<0的垂心，SKIPIF1<0，O为SKIPIF1<0的外心，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．9B．8C．7D．6【答案】C【解析】设SKIPIF1<0