新高考数学二轮复习热点7-1 直线与圆综合（10题型 满分技巧 限时检测）（原卷版）

热点7-1直线与圆综合1、直线的方程、直线平行与垂直、点到直线的距离公式等多以选择题、填空题的形式出现，难度较小；2、圆是高考数学的热点命题，常与圆锥曲线相结合，求圆的方程、弦长、面积等，此类试题难度中等，多以选择题或填空题的形式考查；3、直线与圆偶尔单独命题，有时也会出现在压轴题的位置，多与导数、圆锥曲线相结合，难度较大，对直线与圆的方程的考查主要体现在圆锥曲线的综合问题上。【题型1直线的倾斜角与斜率】满分技巧1、求倾斜角的取值范围的一般步骤（1）求出斜率k＝tanα的取值范围．（2）利用三角函数的单调性，借助图象，确定倾斜角α的取值范围．求倾斜角时要注意斜率是否存在．2、斜率取值范围的2种求法（1）数形结合法：作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定；（2）函数图象法：根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可【例1】（2022·全国·模拟预测）“直线的倾斜角为锐角”是“直线的斜率不小于”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（2023·江西宜春·高三丰城中学校考阶段练习）设直线的方程为，则的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2024·北京·高三北理工附中校考开学考试）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【变式1-3】（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【变式1-4】（2024·全国·高三专题练习）（多选）已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（）A．B．C．D．【题型2直线方程及过定点问题】满分技巧1、求解直线方程的两种方法（1）直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；（2）待定系数法：①设所求直线方程的某种形式；②由条件建立所求参数的方程(组)；③解这个方程(组)求出参数；④把参数的值代入所设直线方程2、直线过定点：过与的交点的直线可设为：【例2】（2024·山东青岛·高三统考期末）对于直线，下列选项正确的为（）A．直线倾斜角为B．直线在轴上的截距为C．直线的一个方向向量为D．直线经过第二象限【变式2-1】（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考期末）已知直线的一个方向向量为，且经过点，则的方程为（）A．B．C．D．【变式2-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知点,直线与轴相交于点,则△中边上的高所在直线的方程是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）已知的三个顶点分别为.（1）求边的垂直平分线的方程；（2）已知平行四边形，求点的坐标.【变式2-4】（2022·江苏宿迁·高三沭阳如东中学校考期中）（多选）已知直线，直线，且与相交于点，则下列结论正确的是（）A．过定点过定点B．点的轨迹方程为C．点到点和点距离之和的最大值为D．设，则的最大值为【题型3直线的平行与垂直问题】满分技巧1、由一般式方程确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件＝≠(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件≠(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件＝＝(A2B2C2≠0)2、平行垂直直线一般方程的设法：（1）平行：与直线垂直的直线方程可设为（2）垂直：与直线垂直的直线方程可设为【例3】（2024·山东青岛·高三统考期末）“”是“直线与平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式3-1】（2023·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（）A．2B．4C．8D．16【变式3-2】（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知直线，，则（）A．恒过点B．若，则C．若，则D．当时，不经过第三象限【变式3-3】（2023·全国·高三专题练习）过点且与直线平行的直线方程为.【变式3-4】（2023·广东珠海·统考模拟预测）过点且与直线垂直的直线方程是（）A．B．C．D．【题型4直线的距离问题及应用】满分技巧点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件（1）求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．（2）求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．【例4】（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）点到双曲线的渐近线的距离为（）A．B．C．D．【变式4-1】（2022·全国·高三专题练习）圆上到直线的距离等于1的点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）已知两条平行直线：，：，则与间的距离为.【变式4-3】（2022·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）若直线与垂直，直线的方程为，则与间的距离为（）A．B．C．D．【变式4-4】（2023·河南南阳·高三南阳中学校考阶段练习）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（）A．B．C．D．【题型5直线的对称问题及应用】满分技巧1、点关于点：点P(x，y)关于点Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足Error!2、线关于点：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决．3、点关于线：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有Error!4、线关于线：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．【例5】（2022·全国·高三专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为．【变式5-1】（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）直线关于直线对称的直线方程是（）A．B．C．D．【变式5-2】（2023·湖北·高三校联考阶段练习）直线关于轴对称的直线方程是（）A．B．C．D．【变式5-3】（2022·江苏扬州·高三统考阶段练习）与直线关于轴对称的直线的方程为（）A．B．C．D．【变式5-4】（2024·陕西西安·统考一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）A．B．C．D．【题型6圆的标准方程与一般方程】满分技巧求圆的方程的方法1、几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．2、待定系数法：（1）若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；（2）若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．【例6】（2024·广东·珠海市第一中学校联考模拟预测）圆心在轴上，半径为1，且过点的圆的方程是（）A．B．C．D．【变式6-1】（2023·河南·高三阶段练习）“”是“方程表示圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式6-2】（2023·广西·统考模拟预测）（多选）若点在圆的外部，则的取值可能为（）A．B．1C．4D．7【变式6-3】（2023·安徽·高三校联考期末）若圆关于直线对称，则．【变式6-4】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆与两坐标轴交于四点，其中，点在轴正半轴上，点在轴的正半轴上，圆的内接四边形的面积为，则圆的方程为（）A．B．C．D．【题型7圆的切线方程与切线长】满分技巧1、求过一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法（1）几何法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证；（2）代数法：当斜率存在时，设为k，则切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证2、切线长：若圆的方程为，则过圆外一点的切线长为.【例7】（2024·福建·高三校联考开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（）A．B．C．D．【变式7-1】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）设点是直线与直线的交点，过点作圆的切线，请写出其中一条切线的方程：．（只需写一条即可）．【变式7-2】（2023·全国·模拟预测）已知点在圆．上，点，若的最小值为，则过点A且与圆C相切的直线方程为（）A．或B．或C．或D．或【变式7-3】（2024·安徽池州·高三统考期末）已知过点与圆：相切的两条直线分别是，若的夹角为，则（）A．B．C．D．【变式7-4】（2024·广东广州·高三广州市玉岩中学校考开学考试）已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（）A．B．C．D．【题型8圆的切点弦及弦长问题】满分技巧1、直线与圆相交时的弦长求法：（1）几何法：利用圆的半径，圆心到直线的距离，弦长之间的关系，整理出弦长公式为：（2）代数法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长；（3）弦长公式法：设直线与圆的交点为，，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得到弦长2、切点弦方程：过外一点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为：【例8】（2024·广东深圳·高三统考期末）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（）A．2B．C．4D．6【变式8-1】（2024·河南周口·高三项城市第一高级中学校联考开学考试）过圆外一点作圆的切线，切点分别为，，则（）A．B．C．D．【变式8-2】（2024·陕西·校联考一模）已知圆截直线所得弦的长度为，则实数a的值是（）A．2B．C．D．【变式8-3】（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（）A．B．C．D．【变式8-4】（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知圆，直线，过的直线与圆相交于两点，（1）当直线与直线垂直时，求证：直线过圆心.（2）当时，求直线的方程.【题型9两圆的公共弦问题】满分技巧两圆公共弦所在直线方程圆：，圆：，则为两相交圆公共弦方程.【例9】（2023·广东揭阳·高三统考期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的公共弦所在直线的方程是（）A．B．C．D．【变式9-1】（2023·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）已知圆O的直径，动点M满足，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（）A．B．C．D．【变式9-2】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）已知是：上一点，过点作圆：的两条切线，切点分别为A，B，则当直线AB与平行时，直线AB的方程为（）A．B．C．D．【变式9-3】（2024·山东临沂·高三统考期末）过圆C：外一点作圆C的切线，切点分别为A，B，则直线过定点（）A．B．C．D．【变式9-4】（2023·四川·高三校联考阶段练习）设圆：和圆：交于A，B两点，则四边形的面积为（）A．12B．C．6D．【题型10两圆的公切线问题】满分技巧两圆公切线方程的确定（1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程；（2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程。【例10】（2023·河北衡水·高三校考阶段练习）圆与圆的公切线条数为（）A．1B．2C．3D．4【变式10-1】（2023·重庆·高三重庆八中校考阶段练习）已知圆，圆，下列直线中不能与圆，同时相切的是（）A．B．C．D．【变式10-2】（2024·四川成都·高三成都七中校考期末）在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（）A．1B．2C．3D．4【变式10-3】（2024·山东·高三烟台二中校联考开学考试）圆和圆的公切线方程是（）A．B．或C．D．或【变式10-4】（2023·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为.（建议用时：60分钟）1．（2024·浙江·校联考一模）圆的圆心坐标和半径分别为（）A．B．C．D．2．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）已知直线与直线互相平行，则实数的值（）A．-2B．-2或1C．2D．13．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（）A．2B．4C．6D．84．（2023·陕西榆林·高三榆林市第一中学校联考阶段练习）已知A，B是圆C：的两点，且是正三角形，则直线AB的方程为（）A．B．C．D．5．（2024·山东滨州·高三统考期末）已知直线与圆交于两点，则的最小值为（）A．B．C．D．6．（2023·上海静安·统考二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（）A．B．C．D．7．（2024·山东青岛·高三统考期末）圆与圆相交于A、B两点，则（）A．2B．C．D．68．（2023·江苏苏州·高三统考期