新高考数学二轮复习解答题培优练习专题04 解三角形（中线问题）(典型题型归类训练)（解析版）

专题04解三角形（中线问题）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 1方法一：向量化(三角形中线向量化） 1方法二：角互补 4三、专项训练 7一、必备秘籍1、向量化(三角形中线问题）如图在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0(此秘籍在解决三角形中线问题时，高效便捷）2、角互补SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、典型题型方法一：向量化(三角形中线向量化）1．（2023·四川泸州·校考三模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0边上中线SKIPIF1<0的长．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由正弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0边上中线SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0.2．（2023·四川宜宾·统考模拟预测）SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0所对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长；(2)若SKIPIF1<0边的中点为SKIPIF1<0，求中线SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）∵SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，∴SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.3．（2023·安徽安庆·安庆市第二中学校考模拟预测）已知函数SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的单调递增区间；(2)记SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0内角SKIPIF1<0的对边，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中线SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取到等号，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0.方法二：角互补1．（2023·全国·高三专题练习）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角C的大小；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的中线SKIPIF1<0长度的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)SKIPIF1<0【详解】（1）选择条件①：由SKIPIF1<0及正弦定理，得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由余弦定理，得SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；选择条件②：由SKIPIF1<0及正弦定理，得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；选择条件③：由SKIPIF1<0及正弦定理，得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0长度的最小值为SKIPIF1<0.2．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0.(1)求角A；(2)若AD为BC边上中线，SKIPIF1<0，求△ABC的面积.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由正弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,（2）由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，以上两式消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的单调递增区间；(2)在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是角SKIPIF1<0的对边，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且满足____________，求SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.请从①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中线，且SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的角平分线，且SKIPIF1<0.这三个条件中任意选一个补充到横线处并作答.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)答案见解析【详解】（1）SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴函数SKIPIF1<0的单调递增区间为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0；若选①SKIPIF1<0：由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，可化为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；若选②：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中线，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，又知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0；若选③：SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的角平分线，且SKIPIF1<0.由题意知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0又在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0解之得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.三、专项训练1．（2023·全国·高三专题练习）在等腰SKIPIF1<0中，AB＝AC，若AC边上的中线BD的长为3，则SKIPIF1<0的面积的最大值是（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中应用余弦定理可得：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，结合勾股定理可得SKIPIF1<0的面积：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立．则SKIPIF1<0面积的最大值为6．故选：A.2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）记SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)求A；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0边中线SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由已知可得SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）因为M为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．3．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）已知在SKIPIF1<0中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，SKIPIF1<0．(1)若BC边上的高等于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求AB边上的中线CD长度的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两边平方得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.4．（2023·浙江杭州·统考一模）已知SKIPIF1<0中角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求角A；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上中线SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上中线SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．5．（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若SKIPIF1<0(1)求角A的大小；(2)若SKIPIF1<0，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，因为点D是边BC中点，所以SKIPIF1<0,两边平方可得：SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，中线AD长的最大值为SKIPIF1<0.6．（2023·四川内江·校考模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AD平分∠BAC，△ABD的面积是△ACD的面积的两倍．(1)求△ACD的面积；(2)求△ABC的边BC上的中线AE的长．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0．【详解】（1）由已知及正弦定理可得：SKIPIF1<0，化简得：SKIPIF1<0．又因为：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以△ACD的面积为SKIPIF1<0．（2）由（1）可知SKIPIF1<0，因为AE是△ABC的边BC上的中线，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以△ABC的边BC上的中线AE的长为SKIPIF1<0．7．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．(1)求角A的大小；(2)若SKIPIF1<0边上的中线SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）依题意有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时成立，故SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0.8．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的中线SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；（2）由题意SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的中线SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0取最小值）；综上，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.9．（2023·安徽淮南·统考一模）已知SKIPIF1<0内角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件（若两个都选，以第一个评分），求：(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)求SKIPIF1<0边中线SKIPIF1<0长的最小值.条件①：SKIPIF1<0;条件②：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）选条件①：SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.选条件②：SKIPIF1<0由余弦定理可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由平面向量可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，故SKIPIF1<0边中线SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.10．（2023·全国·高三专题练习）如图,已知SKIPIF1<0的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，SKIPIF1<0.(1)求B；(2)若AC边上的中线SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）∵SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）如图，由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①由余弦定理知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②

在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0③

由①②③，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0．11．（2023秋·广东深圳·高三统考期末）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0边上中线SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）由正弦定理有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）法一：在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；法二：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；法三：如图，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.12．（2023·全国·高三专题练习）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0边上的中线.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）如图所示，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0边上的中线为SKIPIF1<0.13．（2023秋·广东茂名·高三统考阶段练习）锐角SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，边SKIPIF1<0的中线SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为三角形内角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0.（2）由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKI