新高考数学二轮复习解答题培优练习专题02 数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练)（解析版）

专题02数列求通项（累加法、累乘法）(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 2题型一：累加法 2题型二：累乘法 4三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练 6一、必备秘籍一、累加法（叠加法）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为“变差数列”，求变差数列SKIPIF1<0的通项时，利用恒等式SKIPIF1<0求通项公式的方法称为累加法。具体步骤：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将上述SKIPIF1<0个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0=SKIPIF1<0二、累乘法（叠乘法）若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为“变比数列”，求变比数列SKIPIF1<0的通项时，利用SKIPIF1<0求通项公式的方法称为累乘法。具体步骤：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0将上述SKIPIF1<0个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0二、典型题型题型一：累加法例题1．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知数列{SKIPIF1<0}中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.其中SKIPIF1<0，(1)求数列{SKIPIF1<0}的通项公式；【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；【详解】（1）（法一）由題意知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，累加得：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0符合上式，故SKIPIF1<0.（法二）由题意知，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0则SKIPIF1<0.例题2．（2023·浙江·模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0(1)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项SKIPIF1<0；【答案】(1)SKIPIF1<0【详解】（1）当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0①,SKIPIF1<0②,①SKIPIF1<0②可得SKIPIF1<0,左右同时乘以SKIPIF1<0可以得出:SKIPIF1<0,即得SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0应用累加法可得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0例题3．（2023秋·江苏·高三校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．例题4．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．【答案】SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．【详解】由题意得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0个式子累加得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），又当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．题型二：累乘法例题1．（2023秋·福建厦门·高三福建省厦门第二中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【详解】（1）解：由数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0适合上式，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.例题2．（2023秋·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；【答案】(1)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）【详解】（1）因为SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），整理得：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），即SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0适合上式，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）.例题3．（2023秋·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【详解】（1）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，两式相除得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0的通项公式为：SKIPIF1<0；例题4．（2023·甘肃酒泉·统考三模）已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；【答案】(1)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）【详解】（1）因为SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），整理得：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），即SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0适合上式，所以SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）.例题5．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【详解】（1）由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将以上各式相乘可得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0成立；所以SKIPIF1<0三、数列求通项（累加法、累乘法）专项训练一、单选题1．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）数列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的最大项是（

）A．第7项 B．第9项C．第11项 D．第12项【答案】B【详解】SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将上式累加，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（对于SKIPIF1<0同样成立），故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即第九项最大.故选：B.2．（2023秋·江苏苏州·高二南京航空航天大学苏州附属中学校考阶段练习）等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意得，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：A3．（2023秋·江苏无锡·高二江苏省南菁高级中学校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的通项公式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：C.4．（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的项满足SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0），所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0满足上式，所以SKIPIF1<0，故选：B5．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）定义：在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其中d为常数，则称数列SKIPIF1<0为“等比差”数列.已知“等比差”数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1763 B．1935 C．2125 D．2303【答案】B【详解】因为数列SKIPIF1<0是“等比差”数列，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，累和，得SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0，累积，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B6．（2023春·广东佛山·高二统考期中）数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为正整数），则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A二、填空题7．（2023春·安徽滁州·高二统考期末）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0表示不超过x的最大整数，则SKIPIF1<0．【答案】1【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也符合，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：18．（2023春·吉林白城·高二校考期末）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），以上各式相乘，得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足上式，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0.9．（2023秋·江西宜春·高三校考开学考试）若SKIPIF1<0，则通项公式SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0满足上式，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<010．（2023·全国·高三专题练习）记数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【详解】由已知可得，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，两边同时相乘可得，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，整理可得，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，满足该式，SKIPIF1<0，满足该式，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.三、解答题11．（2023秋·高二课时练习）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【答案】SKIPIF1<0【详解】由题意，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，上式成立，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取得最小值，但SKIPIF1<0，由对勾函数的性质可知，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.12．（2023·河南开封·统考模拟预测）已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；【答案】(1)SKIPIF1<0【详解】（1）由题设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0也满足上式，故SKIPIF1<0.13．（2023·全国·高二专题练习）若数列{an}满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式.【答案】SKIPIF1<0【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又当SKIPIF1<0