线性代数历年真题经管类

全国2008年1月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案

课程代码：04184

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

1.设A为三阶方阵且141=-2则13Azi=(D)

A.-108B.-12C.12D.108

13A‘A1=331Al2=27x(-2)2=108.

3X1+kx2-x3=0

2.如果方程组，4X2-X3=0有非零解，则左二(B)

4X2+kx3=0

A.-2B.-1C.1D.2

3k—I

4-1

04-1=3=12(A+l)=0,k=—T.

4k

04攵

3.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是(D)

A.AB=BAB.(A+5)-1=A-1+B-'

C.IA+8I=I4I+IBID.(A+B)T=AT+BT

4.设A为四阶矩阵，且|力|=2,贝”A*I=(C)

A.2B.4C.8D.12

A*|=|4|"T=|A|3=23=8.

5.设夕可由向量%=(1,0,0),%=(0,0,1)线性表示,则下列向量中力只能是(B)

A.(2,1,1)B.(-3,0,2)C.(1,1,0)D.(0,-1,0)

p=kial+女2a2=(%i，°，%2).

6.向量组名,%，…，4的秩不为$(sN2)的充分必要条件是(C)

A.%,…,全是非零向量

B.%全是零向量

C.%…,见中至少有一个向量可由其它向量线性表出

D.%,夕2,…,。，中至少有一个零向量

％的秩不为S=C]4线性相关.

7.设A为机X”矩阵，方程AX=O仅有零解的充分必要条件是（C）

A.A的行向量组线性无关B.A的行向量组线性相关

C.A的列向量组线性无关D.A的列向量组线性相关

AX=Q仅有零解or（A）=”OA的列向量组线性无关.

8.设A与B是两个相似”阶矩阵，则下列说法里误的是（D）

A.141=131B.秩(A)=秩(B)

C.存在可逆阵P,使P'AP=BD.AE-A=AE-B

'10o'

9.与矩阵A=010相似的是（A）

002

100110100101

A.020B.010C.110D.020

001002j|_002j|_001

有相同特征值的同阶对称矩阵一定（正交）相似.

10.设有二次型/（巧,々,匕）=寸一君+4，JUlJf（Xl,x2,x3）（C）

A.正定B.负定C.不定D.半正定

当X1=1,々=0,=0时，/>0；当X1=0,=1,》3=0时/<0.总之，f有正有负.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

L11

11.若=0,则

122

k11

=2k—1=0»k=—.

122

~32-326-

-1021nr

12.设人=01,B=,贝ljAB=010•

010

14142

'326"

F102

AB=|_010=010.

用142

200--1/200-

13.设A=010，则AT=010•

0220-11/2_

-200100--200100一■1001/200-

010010T010010->010010.

0220010020-210010-11/2_

14.设A为3x3矩阵，且方程组4x=0的基础解系含有两个解向量，则秩(4)=1

秩(A)=??-r=3-2=I.

15.已知A有一个特征值-2,则8=A?+2£必有一个特征-6

4=—2是A的特征值，则A2+2=(-2)2+2=6是8=A2+2E的特征值.

16.方程组X]+—*3=0的通解是k\(-1,1,0)7+&2(1，0，1)丁•

X]=-x2+x3r-n

x=x,通解是k、1+心3°

22to；■

X3=X3

17.向量组/=(1,0,0),«2=(1,1,0),=(-5,2,0)的秩是__2_

00](\00、

110-010,秩是2.

2oj10

「500,

200'

18.矩阵A=020的全部特征向量是

002

&(1,0,0)7+%(0,1,0),+"0,0,1)，(占/2,&3不全为零)•

jo0o)xl=xl3

4=4=4=2,AE—A=000,,，基础解系为0,1,0.

10ojioj

0X3=X3

19.设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似，则1281=-16

-200

1281=23010=8x(-2)=-16.

001

121

20.矩阵2-10所对应的二次型是/（X],工2，/）二一+4/工2+2天巧.

103

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

1200

012°的值.

21.计算四阶行列式

0012

2001

120()120012001200

0120012001200120

解:=-15.

0012001200120012

20010-4010081000-15

321

22.设4=111求

101

321100101001101001

解：111010fill010-0I001-1

10100132110oj02-210-3

1010012020021[2001-21

f01001-1—>01001一1f01001-1

00-21-2-100-21-2-100-21-2-1

，001/2-11/2-1/2-11/2

T01001-1，A^=01-1

001-1/211/2-1/211/2

-1iolFi10

23.设A=002,B=022，且4,8,X满足3-5一丁）丁肥乂=石，求X,X，

002j003

解：由（七一8-丁）丁5/乂=石，得[夕七一⑶一以升丁乂二七，B|J（BE-BB]A）TX=E,

T

'200-~200~-1/20O-

(B-A)TX=E,X-1=(B-A)020=020,X=01/20

001_001001

求向量组%

24.=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2)，a3=(3,0,7,14),a4=(2,1,5,6)，%=(1-1,2,0)

的一个极大线性无关组.

-124、,1-124、q-124、T-124、

0312031203120312

解:30714T0312T0000—0000

2156031-2000-4000-4

J-12o><000-4>00-4;200

%,%，%是一个极大线性无关组・

xx+x2+x3+X4+X5=7

3^|+2%2+X3+X4—3%=—2

25.求非齐次方程组的通解.

x2+2X3+2X4+6元5=23

5X1+4X2-3/+3X4-x5-12

111117111117

3211-3-20-1-2-2-6-23

解:A=f

0226230122623

54-33-1120-1-8-2-6-23

11111117

0-1-2-2-6-2-2-6-23

00000-6000

00-6000000

111117110117100-1-5-16

012262301026230102623

->

001000001000001000

000000000000000000

(

匹=-16+X4+5%仁16]「5

匕=23-2X4-6X523-2-6

彳3=。,通解为00+k.20

X4=工4010

%=<0，J,7

2-20

26.设A=-21-2求「使P」AP为对角矩阵.

0-20

2-220

解：UE—Al=22-12=2(2-1)(A-2)-4(A-2)-4Z=万-3/12-6Z+8

02A

=(23+8)-32(2+2)=(2+2)(22-22+4)-32(2+2)

=(/+2)(1-54+4)=(2+2)(2-1)(2—4),

特征值4=—2,22=1,4=4.

对于4=-2,解齐次线性方程组(2E-A)x=0：

420、2-10、2-10、2-1o'

在一A=2-322-320-220-22

,02一2,2一2,02一2,03

1

(2-10，20-1、f\0-1/2、xi=2X3(1/2、

->->

—>01-101-101-1X2=x3，基础解系为%=

000(00X1

、°7、°°,0>3=17

对于人2=1，解齐次线性方程组(4E-A)x=0：

-120、'-120\20、r-l20、'-10-p

ZE-A=202—>101021021021

,02、02b、021>、000>、000>

!\01一巧(-1、

1

->基础解系为的=

011/2X2=一//3，-1/2

、0007、17

对于4=4,解齐次线性方程组(2£-A)x=0：

220、(220}(220、(110、0-2、

AE-A=232->012f012012->012

02%、024,、000,、00、00°，

X1=、

2X3'2

3=-2

<x2=一2/，基础解系为。

X3~X3

口/2-12、-200、

令「1-1/2-2，则P是可逆矩阵，使P^APu010

、1111°04,

四、证明题（本大题6分）

27.设%,%，%是齐次方程组的基础解系，证明%,。］+%，为+%+。3也是Ax二。

的基础解系.

iiE：（1）440的基础解系由3个线性无关的解向量组成.

(2)是Ax=0的解向量,则%,+。2,%++%也是4尤=°的解向量.

(3)设+后2（%+%）+后3（%+。2+。3）=。，则

2+(%2+3a3

(攵|+攵+自)。|k3)a2+攵=0，

片+女2+23=0111

由%,%，。3线性无关，得,g+左3=0，系数行列式011二1w0,只有零解

%3=。001

=攵2=自=0，所以外+02，4+。2+出线性无关，

由（1）（2）（3）可知，%,%+。2,%+。2+。3也是4工=0的基础解系.

全国2008年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案

课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

a

\2。13a\\+2a12a\3

1.设行列式。=一a=3,£)|=aa，则小的1为（C）

22。232\5a2i+2a2223

aa“33

3\325a3i+2a32。33

A.-15B.-6C.6D.15

5aliai3a

。】1%]2《2i3

。］二5a2i+a2a=0+2D=6•

。21。232122。23

5a3i2〃32

。31。33。31。33

2.设矩阵（"j:Ri则（C）

A.a=3,/?=一l,c=l,d=3B.a=-\,b=3,c=\,d=3

C.a=3,h=-l,c=0,d=3D.a=-l,b=39c=0,d=3

a+b=2,a-b=4,c=0,d=3=>a=3,/?=-l,c=0,d=3.

3.设3阶方阵4的秩为2,则与4等价的矩阵为（B）

’111、(1P11P'111、

A.000B.011C.222D.222

、000,、000,eoo,、333>

4.设A为〃阶方阵,n>2,贝»-5AI=(A）

A.(一5)〃141B.-5IAIC.51AlD.5"1X1

(\2)

,则IA*I=(

5.设A=(34)B)

A.-4B.-2C.2D.4

12

IA*\=\A\n-'=\A\2-'==-2.

34

6.向量组内（s>2）线性无关的充分必要条件是（D）

A.%,&均不为零向量

B.&中任意两个向量不成比例

C.中任意s-1个向量线性无关

D.%,%,…,凡中任意一个向量均不能由其余$-1个向量线性表示

7.设3元线性方程组Ax=人，A的秩为2,彷，%，小为方程组的解，7+/=(2,0,4),，

/+%=（1,-2,1）7,则对任意常数鼠方程组Ax=8的通解为（D）

A.(1,0,2)7+%(1,—21)B.(1,一2,1),+攵(2,0,4尸

C.（2,0,4）,+女（1,一2,1）「D.（10,2）7+女（1,2,3）r

取Ar=b的特解：〃=；（%+%）=（1,0,2）7；

Ax=0的基础解系含一个解向量：a=%-%=（/+〃2）-（/+%）=（1，2,3）,.

8.设3阶方阵A的特征值为1,-1,2,则下列矩阵中为可逆矩阵的是（D）

A.E-AB.-E-AC.2E-AD.-2E-A

-2不是A的特征值，所以I-2E-AIHO,-2E-A可逆.

9.设义=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵（42广必有一个特征值等于（A）

A.-B.-C.2D.4

42

4=2是A的特征值，则（万『=_L是（42）T的特征值.

4

10.二次型/（修,工2，工3,无4）=X；+X；+无；+X：+2巧九4的秩为（C）

A.1B.2C.3D.4

」000)q000、

01000100

A=—>,秩为3.

00110011

k0011)10000,

二、填空题(本大题共10小题每小题2分，共20分）

。向a}b3

11.行列式a2bla2b2a2b3=_0_.

a3bla3b2a3b3

行成比例值为零.

’12、

12.设矩阵4='p=,则APr=

、34,K：)K2,

F3q0、’32、

=

JbJ4,

’00r'0-1r

13.设矩阵4=011,则A-1=-110

J1lJ。叼

’001100、’111001、’110-101、‘1000-11、

011010―011010-^010-110^010-110

001100001100

J11001;k;\/{Oil00,

’122、

14.设矩阵A=2r3,若齐次线性方程组Ax=O有非零解，则数u2

、345)

12212

t-4-1

\A\=2t3=0t-4—1==2—f=0>t=2.

-2-1

3450-2

已知向量组％=的秩为2,则数三-2

<11］、(11t}riif：

1-21—>0-31-tT0-3l-t,秩为2,则r=-2.

(032,+1；

<-21I<00z+2；

7

16.已知向量a=(2,1,0,3)7,夕=(1,_2,1,幻1a与户的内积为2,则数

(a、0)=2,即2—2+0+3左=2,k=2/3.

T

17.设向量。=I为单位向量，则数任0.

Ial=加+4+)=〃2+1=1,b=O.

V22

‘0-2-2、

18.已知4=0为矩阵A=22-2的2重特征值，则A的另一特征值为4.

、一2-22,

4=22=0，4+4)+%3=°+2+2,所以4=4.

‘1-20、

19.二次型/(片,尤2，尤3)=%；+24-5尤;一4/小+2.2巧的矩阵为-221

、。1一"

20.已知二次型/(占》2»3)=/+1)6+(%—l)x；+也一2)x；正定，则数％的取值范围为

k>2.

pt+l>0k>一1

«k—1〉0,<k>1,k>2.

[jl-2>0

k>2

三、计算题(本大题共6小题，每小题9分，共54分)

1111

1200

21.计算行列式列=的值.

1030

1004

1111111111111111

120001-1-101-1-101-1-1

解：====-2

10300-12-1001-2001-2

10040-1-1300-22000-2

q0P<301、

22.已知矩阵4=-10，I?=110

、012>1%

(1)求A的逆矩阵A-、(2)解矩阵方程AX=8.

'101100、rl01100、'10100、

解⑴1-10010->0-1-1-110->0-1-110

12001,、012001,、00T1L

<1002-1-p’1002-1-P'2-1-1、

->0-10-221T0102-2-1A-l=2-2-1

^001-11001-1、一11

,2-1-1W301、'5-2-2、

(2)X=A"=2-2-11104-3-2

「111八01

4,、-2

23.设向量a=(l,-1,一1,1),/?=(-1,1,1,-1),求(1)矩阵A=a%；(2)A2.

，1](~\11-1、

-11--11

解(1)A=aTp=(-1,1,1,-1)-

—11―-1I

JJl-l1

1-b

piii-nr-iii-0(4-4

(2)A2=1-i-iii-i-i1_-444-4

1-i-iii-i-i1--444-4

ii-ijlk-ii-JI4-4

Ci-44

24.设向量组％=(1,—1,2,4)J%=(031,2)7,%=(3,0,7,14)7,%-卜口⑨丁，求向

量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.

(1031、U031、‘1031、

-130-103300110

解：(%,%，。3，。4)=T->

217201100110

42140?1022-4?,011-27

(1031、u031、(i031、

011001100110

—>

000000000001

<000-2><00017<0000>

向量组的秩为3,%,%,%是一个极大线性无关组，%=3al+%+0%-

+2X3=-1

25.已知线性方程组一修+工2-3%=2，(1)求当。为何值时，方程组无解、有解;

2xt-x2+5X3=a

(2)当方程组有解时,求出其全部解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).

02-1U02-1、[102-1、

解：(4力)-i1-32->01-11->01-11

J-15k0-11Q+2.、°00a+3,

(1)a工一3时，方程组无解,a=—3时，方程组有解；

02-PX]=-1-2X3-n「2、

J

(2)a=—3时,(4,b)f01-11x2=1+x3全部解为+k1

,000o;0J

87\

26.设矩阵A=,(1)求矩阵A的特征值与对应的全部特征向量;

127

(2)判定A是否可以与对角阵相似，若可以，求可逆阵尸和对角阵A,使得尸-kP=A.

A—8—7

解：I花一Al==A2-102+9=(A-l)(2-9),特征值4=1,A=9.

—1A—22

对于4=1,解齐次线性方程组（/lE-A）x=O：

AE-A=f-7一”—"卜।=一'％,基础解系为Q卜1，对应的全部特征

1-1-VI。Oj[x2=x2UJ

向量为占%（占是任意非零常数）;

对于4=9,解齐次线性方程组（4E-A）x=0：

A£-A=f1一1—[-7],=7",基础解系为对应的全部特征

1-17J^0Oj[x2=x2⑴

向量为k2a2（七是任意非零常数）.

令尸=（-11，A=[。],则尸是可逆矩阵，使得尸-/「=人.

I11J1。9J

四、证明题（本题6分）

27.设〃阶矩阵A满足A?=A,证明E-2A可逆，且（E—2A）-=E-2A.

Iffi由A?=A,得(E-2A)(E-2A)=£-4A+4A2=E-4A+4A=E，阚E-24可逆,

且(E-2A)T=E-2A.

全国自考2008年7月线性代数（经管类）试卷答案

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1.设3阶方阵A=La"a2>a3],其中%3=1,2,3）为A的列向量，且IAI=2,则

a3aaa

|BI=|[l+2»2>3]|=（C）

A.-2B.0

C.2D.6

\Xj+x2=0

2.若方程组[kx「X2=°有非零解，则女二（A）

A.-1B.0

C.lD.2

3.设A,B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（C）

A.IABI=IAIIBIB.(AB)-1=B-1A-1

C.(A+B)-1=A-1+B-1D.(AB)T=BTAT

4.设A为三阶矩阵，且IAI=2,则I(A*)-11=(D)

A.4B.l

C.2D.4

5.已知向量组A：a”a2，ct3，a4中。2,a?,线性相关，那么(B)

A.%，a2，a3，a4线性无关B%,a2,CC3,a4线性相关

C.%可由。2，&3，。4线性表示口.。3,014线性无关

6.向量组叫，。2,…as的秩为r,且r<s,则（C）

A.四，。2,…外线性无关B.%,a?,…a,中任意「个向量线性无关

C.%，。2,…a,中任意计1个向量线性相关

D.%，。2一・5中任意个向量线性无关

7.若A与B相似，则（D）

A.A,B都和同一对角矩阵相似B.A,B有相同的特征向量

C.A-XE=B-XED.IAI=IBI

8.设%，是Ax=b的解，n是对应齐次方程Ax=O的解，则（B）

A.n+%是Ax=O的解B.n+（a-a2）是Ax=O的解

C.%是Ax=b的解D.是Ax=b的解

9.下列向量中与&=（1,1,-1）正交的向量是（D）

A.%=（1,1,1）B.a2=（-1,1,1）

C.a3=（1,-1,1）D,a4=（0,1,1）

--11-

10.设A=U"J,则二次型f（xl,4内1人*是（B）

A.正定B.负定

C.半正定D.不定

二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

11.设A为三阶方阵且IAI=3,则12Al=_24.

12已知a=(1,2,3),贝小叮昨0

ci「6—40]

120

030020

0

13.设A』。2_l,则A*=[°。3_

14.设A为4X5的矩阵，且秩(A)=2,则齐次方程Ax=0的基础解系所含向量的个数

是3.

15.设有向量叫=(1,0,-2),a2=(3,0,7),a3=(2,0,6).则叫，。2，。3的秩是

2.

16.方程xl+x2-x3=l的通解是〃=(1,0,。)'+占(T1,0)，+右(1,0,1)，

A-1=-(A-E)

17.设A满足3E+A-A2=0,贝U3

18.设三阶方阵A的三个特征值为1,2,3.贝IJIA+EI124.

19.设a与B的内积(a,B)=2,IIPII=2,则内积(2a+B,-B)=__-8.

3-11

02

122

20.矩阵A=所对应的二次型是+2%3-2工］%2+2网％3+4々工3

三、计算题

120000

300000

001002

00000

000010

002001

21.计算6阶行列式=18

25；1221-2-8

X

已知A=U3-35」满足求1

22.-,B=dC=L-2，xAX+B=C,X,3

23.求向量组内=(1,2,1,3),a2=(4,-1,-5,-6),a3=(1,-3,-4,-7)的秩

141141

2-1-3095

T

1-5-4000

和其一个极大线性无关组.3-6-7000秩为2,极大无关组为四，a2

X|+x2+X3=1

X2一X3=1

2X1

24.当a,b为何值时，方程组+3X2+（a+2）X3=b+3有无穷多解?并求出其通解.

a=T，b=O时有无穷多解。通解是〃=（°，1，°）’+乂一2,1,1）‘

3-1

25.已知A=17"］，求其特征值与特征向量.

特征值几=4,几=10,X=4的特征向量乂1,-1）'/=10的特征向量左（1，-7）’

一2An=^+3"1"3""

26.设A=U2」，求人爪下［-"1+34

四、证明题（本大题共1小题，6分）

27.设a为Ax=0的非零解，B为Ax=b（bw0）的解，证明a与。线性无关.

&］（1陟：2=

4（女］。即h0=A=

=代k2A

=0+氏2b

k2b=0->e=°

证明：仁a氏呵）=Th=-&|=0

所以a与B线性无关。

全国2009年1月高等教育自学考试

线性代数试题及答案

课程代码：04184

试卷说明：在本卷中，表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位

矩阵，⑷表示方阵A的行列式，4“表示矩阵A的逆矩阵，秩（A）表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的。请将其代码填写在题后

的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A为n阶方阵，若则必有（D）

A.A=OB.T=OC.Ar=OD.IAI=O

2.设A,8都是n阶方阵,且设1=3,圉1=-1,则L4）T=（A）

A.-3B.--C.-D.3

33

3.设A为5X4矩阵，若秩（4）=4,则秩（541）为（C）

A.2B.3C.4D.5

4.设向量a=（4,-L2,-2）,则下列向量中是单位向量的是（B）

A.-aB.-aC.-aD.—a

35925

5二次型於g）=5x；+3x；的规范形是（D）

A.y"y；C.-y^+y^D.y；+*

6.设A为5阶方阵，若秩（A）=3,则齐次线性方程组4x=0的基础解系中包含的解向量的个数

是（A）

A.2B.3C.4D.5

7.向量空间W=｛（（U,y,z）k+y=O｝的维数是（B）

A.lB.2C.3D.4

8.设矩阵A==2],则矩阵4的伴随矩阵A*=（B）

（43）

9.设矩阵人=0211,则A的线性无关的特征向量的个数是（D）

0031

、0003,

A.lB.2C.3D.4

10.设A,8分别为机X”和机义我矩阵，向量组（I）是由A的列向量构成的向量组，向量组

（II）是由