人教A版新教材高中数学第二册学案3：62向量的加法运算

6.2.1向量的加法运算

学习目标

核心素养

I.理解并掌握向量加法的概念，了解向量1.教材从几何角度给出向量加法的三角形法则

加法的几何意义及运算律.（难点）和平行四边形法则，结合了对应的物理模型，

2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行提升了学生的直观想象和数学建模的核心素

向量加法运算.（重点）养.

3.能区分数的加法与向量的加法的联系2.对比数的加法，给出了向量的加法运算律，

与区别.（易混点）培养学生的数学运算的核心素养.

『自主预习』

「新知初探」

i.向量加法的定义

定义：求的运算，叫做向量的加法.

对于零向量与任一向量a,规定0+。=。+=.

2.向量求和的法则

已知非零向量a,h,在平面内任取一点A,作蠢=a,BC=b,则向量

三角形->>->

AC叫做a与占的和，记作，即a+B=AB+BC=.

法则

AaB

已知两个不共线向量a,"作晶=a,XB=b,以赢，石为邻边作

平行四

-ABCD,则对角线上的向量=a+A

边形法

则A7

思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？

3.向量加法的运算律

⑴交换律：a+b=.

（2）结合律：（〃+8）+c=.

『初试身手」

1.下列各式不一定成立的是（）

A.a+b=b+aB.O+a=a

—»—►—>

C.AC+CB=ABD.\a+b\=\a\+\b\

>>>

2.C3+AO+5A等于（

A.DBB.CA

C.CDD.DC

3.如图，在平行四边形ABC。中，DA+DC=.

ZZZ7D

Bc

4.小船以km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h,则小

船实际航行速度的大小为km/h.

［合作探究』

类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则

「探究问题」

1.求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？

2.设Ai，A2,A3.....4（"GN,且论3）是平面内的点,则一般情况下，A1A2+A2A3+A3A4

+…+A”的运算结果是什么？

『例1』⑴如图，在"BC中，D,E分别是AB,AC上的点，尸为线段OE延长线上一点,

DE//BC,AB//CF,连接CD,那么（在横线上只填上一个向量）：

A

E

D,

①A8+OB=；

②AD+尸C=；

@AD+BC+FC^.

(2)①如图甲所示，求作向量和a+6

②如图乙所示，求作向量和a+b+c.

思路点拨：(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法

则化简.

(2)用三角形法则或平行四边形法则画图.

「母题探究」

->->

1.在本例(1)条件下，求CB+CF.

2.在本例(1)图形中求作向量且+赤+净.

「规律方法」

1.向量求和的注意点

(1)三角形法则对于两个向量共线时也适用.

(2)两个向量的和向量仍是一个向量.

(3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用.

2.利用三角形法则时I要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点''的向量；

利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量.

提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三

角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半.

类型二向量加法运算律的应用

r例2j⑴化简:

-►-►

①8C+AB；

@DB+CD+BC；

__--->--►--►--->--->

@AB+DF+CD+BC+FA.

(2)如图，E,F,G,H分别是梯形48C。的边48,BC,CD,0A的中点，化简下列各式:

①。G+E4+CB；

②EG+CG+D4+EB.

思路点拨：根据向量加法的交换律使各向量首尾连接，再运用向量的结合律调整向量顺序后

相加.

「规律方法」

向量加法运算律的意义和应用原则

⑴意义：

向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的.

实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、

任意的组合来进行.

（2）应用原则：

利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向

量相加的顺序.

「跟踪训练」

1.向量（彘+品）+（应）+俞）+晶化简后等于（）

A.BCB.AB

C.ACD.AM

类型三向量加法的实际应用

r例3J如图，用两根绳子把重10N的物体W吊在水平杆子上，ZACW=150°,Z

BCW=120°,求A和8处所受力的大小（绳子的重量忽略不计）.

思路点拨:

「规律方法」

利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤

「跟踪训练」

2.在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35。的方向飞行800km到达B地接到受伤

人员，然后又从8地按南偏东55。的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路

程及两次位移的和.

『课堂小结』

1.三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法，两个法则是统一的，当两个向

量首尾相连时，常选用三角形法则；当两个向量共起点时.，常选用平行四边形法则.

2.向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任

意的组合去进行.

3.使用向量加法的三角形法则时要特别注意“首尾相接”.和向量的特征是从第一个向量的

起点指向第二个向量的终点.向量相加的结果是向量，如果结果是零向量，一定要写成0,

而不应写成0.

『当堂达标』

1.下列判断正确的是（）

A.任意两个向量的和仍然是一个向量.

B.两个向量相加实际上就是两个向量的模相加.

C.任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线.

D.|a|+|fe|>|a+*|

2.对于任意一个四边形48a>,下列式子不能化简为法的是（）

A.BA+AD+DCB.BD+DA+AC

C.AB+BD+DCD.DC+BA+AD

3.若a表示“向东走8km”，力表示“向北走8km”，则|a+）|=,a+Z>的方向是.

4.如图所示，设。为正六边形A8CDEF的中心，求下列向量：

⑴豆十而

⑵诺+港.

——★参*考*答*案★——

『自主预习』

「新知初探」

1.两个向量和

0a

2.a+bACAC

思考：「提示」不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法.

3.(1)6+。

(2)a+S+c)

「初试身手」

1.D『A,B,C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角

形法则

―>—>—>—>—>—>—>

2.C『C8+Ar>+B4=CB+BA+A£>=CDj

-►..-►-►->

3.DB『由平行四边形法则可知D4+Z)C=£)A』

4.20f根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度大小为

yl(1()V3)2+102=20(km/h).J

r合作探究』

类型一向量加法的三角形法则和平行四边形法则

「探究问题」

1.提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等.

(2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等.

2.提示：将三角形法则进行推广可知4A2+A2A3+A/4+...+A“TA“=AA,.

『例1』⑴①启②於③公『如题图，由已知得四边形。尸CB为平行四边形,

由向量加法的运算法则可知:

@AB+DF=AB+BC=AC.

@AD+FC=AD+DB=AB.

'1>>",>►■>►►

@AD+BC+FC=AD+DF+FC=AC.l

(2)『解』①首先作向量。4=a,然后作向量AB=Z>,则向量OB=a+A如图所示.

0AB

,>

②法一（三角形法则）：如图所示，首先在平面内任取一点。，作向量。A=a,

—>—►

再作向量AB=Z>,贝IJ得向量OB=a+Z>,

,1■>

然后作向量BC=c，则向量。C=（a+8）+c=a+8+c即为所求.

法二（平行四边形法则）：如图所示，首先在平面内任取一点0,

作向量豆=a,OB=b,0C=c,以04,08为邻边作"0AD8,连接。£）,

则OO=O4+OB=a+4

再以0。，0c为邻边作"OOEC,连接0E,则加=应）+元=4+5+<:即为所求.

「母题探究」

1.『解」因为BC〃。凡BD//CF,所以四边形8CFO是平行四边形,

所以为+孑=灰.

2.『解」过A作AG〃OF交CF的延长线于点G,

>>>>>

则D4+OF=£>G,作GH=CP,连接OH,

则加=且+9+无，如图所示.

类型二向量加法运算律的应用

『例2]「解[（1）①说+耗=港+病=就；

②法+品+选=病+1）+法=0；

@AB+DF+cb+BC+FA=AB+BC+CD+DF+^=O.

⑵①求+而+为=讼+庭+无=讼+为+晶=荔+藁=亦

②病+&;+豆+遏=丘;+而）+法+京=诟+筋+蕊=而+怠=0.

「跟踪训练」

1.D『原式=（蓝+丽+（荡+扇+"）=京+0=笳」

类型三向量加法的实际应用

-->-->._-->

『例3J「解」如图所示，设CE,C尸分别表示A,B所受的力，10N的重力用CG表示,

--►--►--►

则CE+CF=CG.

易得NECG=180°—150°=30°,ZFCG=180°—120°=60°.

——\[3I•—-—>1

.*.|CE]=|CG|-COS30°=10X-^-=5V3,|CF1=|CG|-COS60°=10X-=5.

；.A处所受的力的大小为54N,8处所受的力的大小为5N.

「跟踪训练」

2.『解J设茄，晶分别表示飞机从A地按北偏东35。的方向飞行800km,从8地按南偏

东55。的方向飞行800km,则飞机飞行的路程指的是|施|+|的；

--►--►-->

两次飞行的位移的和是AB+BC=4C.

依题意，有丽|+|砧=800+800=I600(km),

又a=35°,夕=55°,/A8C=35°+55°=90°,

所以的=弋港|2+曲2=48002+80()2=80M(km)•

其中NR4C=45。，所以方向为北偏东35。+45。=80。.

从而飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的大小为80Mkm,方向为北偏东80。.