线性代数课后答案（同济版）

兰州交大化工学院Bismarck孟11.5整理32(1个)

第一章行列式52,54(2个)

xyx+y

1.利用对角线法则计算下列三阶行列(4)y%+y%.72,74,76(3个)

式：x+y%y

xyx+y

201(272-1)2,(2«-1)4,(271-1)6,•••,(2H-

(1)1—4-1­解yx+yx

-183，x+yxy1)(272-2)(«-1个)

2

=x(x+y)y+yx(x+y)+(x+y)yx-y3-(x+y)3-

解1

-x3(6)13•••(2«-1)(2/?)(2/1-2)•••2.

=3xy(x+y)-j3-3x2y-d-y3T3解逆序数为〃⑺-1):

=2x(-4)x3+0x(-l)x(-l)+lxlx8

=-2(X3+J3).32(1个)

-Ox1x3-2x(-l)x8-lx(-4)x(-l)

2.按自然数从小到大为标准次序,求下

=-24+8+16-4=-4.52,54(2个)

b

⑵力c列各排列的逆序数：

q

c(1)1234;(2九一1)2,(2九一1)4,(2九一1)6,•••,(2n-

f

b解逆序数为0l)(2n-2)(n-1个)

解ee

k

”(2)4132;42(1个)

解逆序数为4:41,43,42,32.62,64(2个)

3

(3)3421;

解逆序数为5:32,31,42,41,21.(2n)2,(2/1)4,(2九)6,••(2.)(2九一2)

1I1

4bc(4)2413;(“-1个)

3)

22

I6Zz7c2解逆序数为3:21,41,43.3.写出四阶行列式中含有因子©33

11

・(〃(〃)；

解(5)13—2-1)24--2

%c的项.

2解逆序数为吗也：

c解含因子41闷23的项的一般形式为

=bc^+ca~+ab~-ac^-ba-cb~(―1)’41[423的，〃4.”

2141214

1(

其中△是2和4构成的排列，这种排列32132c3+dc^^-ayaad

1-

1-1232123.—:-1c1+cd

共有两个,即24和42.5O625o60-10

2140

所以含因子1口如的项分别是3122

-1

12301+abad

(-1)‘〃11“23。32a44=(-1)।。1］。23。32。44=一=(—1)(—1产=abcd+ab+cd+ad+

2140—1\+cd

23a32。44,

21401.

(一1)^11。23。34a42二(一3T22

12305.证明:

1)%11。23。34。42=。11423a34。42•0o00

a2ahb~\?

4.计算下列各行列式：⑴干a+b2^=(«-Z?)3;

4124

102

20

(1)1017证明

1

-zb?

人

解aabb-a1ab-a2kr-a1

41244T2To

12aa+b2b2ab-a2b-2a

1021202111100

2032「4=adfbce=4abcdef.

11001171001o

1

1oO

41o〃13ab-a2吩一岸

-。1O+1

12^

2X7TIb-a2h-2a

314-loc

o1J

10o±^=(b-a)(b-哨b^a=(a-b)3.

41O991O

_1141ooI01Wao

120oo11

--7〃1o1o

3-12n1解^T

14-1240TlFl

10117c0Oc

0od0Td

2141-ax+byay+bzaz+bxxyz

-1=(〃+〃)y

3T21(2)ay+bzaz+bxax+byZX

⑵1

1232az+bxax+byay+bzzxy

5o62

力o

+。

l

-C证明

解二(—1)(—1产oTd

ax+byay+bzaz+bx

ay+bzaz+bxax+by

az+bxax+byay+bz

解

为

+1加+35

l^111

如

+1沙+35

l^1.

-/+1+3舜53=(Z?-a)(c—a)(d—tz)Oc—h

xay+bzaz+bxyay+bzaz+bx2C1-C

切+12ac+350c(c-b)(c+b+a)d(d-.

yaz+bxax+by+hzaz+bxax+byIJ21

zax+byay+bzxax+byay+bz

xay+bzzyzaz+bx2

加+122

z21)小

=ayaz+bxx+bzxax+by-2122=(b-a)(c-a\d-a)(c-b)(d-bc(c^h+a)

4+1o

F2122-

zax+byyxyay+bzTc+1

2C122

d2+1

xyzyzx2J

yzx+Z?3zxy=(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-

zxyxyz1l1Id)(a+b+c+cl).

4bcdxOoo_.

^oo1

%yzxyz7屋oT'

2,I

l6zz722

-o'c•nnl

yzxyzx4443：=x+a]x~+•

ltz/?c4J(5)oooX1

zxyzxy一1

%X+LZ

二(CLb)c)(a—d)c)d)(c-

xyz

=(“3+/73)yzxd)(a+b+c+d);

证

zxy明

1i11l证明用数学归纳法证明.

Q7cd

a23+1)23+2/3+3)22

a2

24y2J当时，1命

b(。+1)2(。+2)2("3)2ac4n=2)=x+a1}x+a2,

4J4生人十%4

c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2c

l

Q2(d+l)2("2)2("3)2o111题成立.

ob-ac-ad-a

证明b(b-d)c(c-d)d(d-a)假设对于(〃-1)阶行列式命题成立,即

b2(b2-a2)c2(c2-a2)d2(d2—a2)

a2(a+l)2(a+2)23+3产

Dn_\=x+a\x+…+an-2X+an-\,

b1(Z?+l)2(0+2)2@+3)2

贝J。〃按第一列展开,有

c2(c+1)2(c+2)2(c+3)2111

建3+1)23+2)23+3)2=(b-a)(c—a)(d—a)bcd

b2(b+a)c2(c+d)d2(d+a)oo

(72,C2-C]得)0oo

l+ix—1

D=xDn_}+an(-V)',--

X-

11

=%/）”_1+a“=x"+a।x"<•一.〃（〃一1）.一an\a

。2=（-1）丁+(—1)2〃・Q,・.

因此,对于阶行列式命题成立.

n%"ann

a(n-l)x(w-l)

〃(〃一1)

=(一1)丁。7=(-1)丁D.a

.>inn-

6.设〃阶行列式加det（和），把。上下=(—1产・(一1)〃+a"=a-a

a

(Z?-2)(H-2)

翻转、或逆时针旋转90。、或依副对角〃(〃一1)〃（九一1）〃（八一1）

A=(T)k3=(—l)k(—1)丁0=(—1)”("-0方q(。2_1)

线翻转,依次得

D2=xa•••

ax•••

a\\an\7.计算下列各行列式（2为k阶行列(2)2=

ClCl•••X

式）：

5解将第一行乘（-1）分别加到其余各行,

2=1

an\"11a

（1）D=,其中对角线上元素都得

n（n-l）「a

证明。=。（一）丁a

2=1Xaa..o

是未写出的元素都是0；a-xx-a0・•o

证明因为D=det（他）,所以Dn=a-x0x-a・・.

解

a-x000

a01

D、=（一1产再将各列都加到第一列上,得

0a()

00

D=0a-

n（按第n行展

0・a0x+(n-I)aaaa

1-0a0x-a00

二（一1严（一1产2D〃=00x-a•••0=[%+(〃一

开）

〃(〃一1)oooo1)甸(%-。).

=(-D1+2+--+(/7-2)+(n-l)。=(一1)亍D.4oooo

0ooo

一Q

一/+

同理可证(-1)Y/

ooo4o

3—D"••(1一〃)”6Q=det（&）,其中的二旧|;

3—iyi

◎)%=%4（按第1行展解为="加

D?n=

aa-1a-n仇4

1110031

^二

1o122

d”1

21二3

解根据第6题结果，有1*

32104

开）£>"=det（%）=1

111*00

m〃+l)aa-\a-n

%=（T）2••••••%by—1111...1

1

CM(a—l)"Tc4彳一弓—1—111…

}-1—1—11…1

a"m—l)"(“一〃)”-1-1—1—1,••1

dn-\0

此行列式为范德蒙德行列式.…0dn—\n-2〃一3〃一4・・・0

。用=（一1）丁口［（。一，+1）—（。一）+1）］0Cln-\o)Ooo

n+\>i>j>\2o

-Oo

Cl\b\-2oo

尸口[“则+(—1)2〃+%,,2-2o

=(-1Cld\二

2-2

n+l>i>j>\•-•-

〃-

〃(〃+1)+…+1..Cn-\

=(-1尸•(-1)~~2•口(一・)

n+\>i>j>\=(一1产⑺一IRQ

再按最后一行展开得递推公式

=!!(，-/)・l+q1…1

/?+1>/>;>1即（6）。“=1l+o,…1

・・・・・・・•♦・♦•

—bnCn)D2n-2。11…l+a”

于是2"=11(44-%)。2-,•,〃〃wO.

(3：2i=2

而D?#，=叫-3,解

C]U]

g4,

所以。2"=立(44.

解

i=l

1+41…1xi+x2+x3+x4=5

解

为

11+%…1Xy+2/—&+4%.=-2.因

(1)

・・•・・♦♦・・・♦♦一七-

2%[-3X25%=-2'56000

11…1+。”3%+马+2七+11%4=015600

D-015605

解因为0015666

00015

400…001

一%%0…001-

-6000

o。3…001c5600

一%n

=c1560

a(l0156=1507

000…~n-\%15-cu

)220015

a(l

000…0~n1+a,二2u

D3

.2-

o5^000

100•-00)—

1cA600

)n

-110•-00151[2-0c560

10ll156=-1145,

0—11••0014(u

4-0015

-2-25(>

-1)

000••—113-O2111

5600

000•-0—]11515o00

A124.A01o60

2-200o56=703

3-200l15

100•-00-3O-U5

010•-00

1—156010

001•-0022T156nc0

A〕

一

3T一A015c0

-42)n

2001c6

000••01000l)5

AA1

所

000••00以126

-1DD5001

1560

〃1

1-\A0156

%41+J2-

〃z-0015c

-(4I(

/=l。0001)

1

5为+6%=1

所以

8.用克莱姆法则解下列方程组:%+5%2+6天=0

(2)%2+5七+6%4=0.

丫」5071145r_703X一―395

&+5%4+6天=01665'2665七一嬴'广谪

%4+5/=1

_212A=0,