线性代数课后答案-习题5和习题6

习题五

1.求下列矩阵的特征值和特征向量:

123030

—1

21300—4-10

4

33604—8-2

并说明哪些矩阵可以相似于对角形矩阵。

2-11

解：1）=(/-2)(2-3),特征值4=2,3

-2A-4

当4=2时，7=（-1,1）',故属于4=2的特征向量为左斗（勺。0）。

当4=3时,小=（一1,2）',故属于4=3的特征向量为（&。0）。

由于线性无关的特征向量个数为2,故可以对角化。

2-1-2-3

2）-2/1-1-3=A（2+l）（/l-9）,特征值；1=0,—1,9。

—3—3A—6

当4=0时,7=（*1,1）',故属于4=0的特征向量为匕7（匕。0）。

当♦=—1时,%=（—1,1,0）'，故属于4=—1的特征向量为42%（心，0）。

当4=9时，/=（I』；）'，故属于4=9的特征向量为左3%（%。0）。

由于线性无关的特征向量个数为3,故可以对角化。

Z0-1

3）02-10=（丸+1）（/1—Ip,特征值丸=一1,1o

-10A

当4=1时，7=（0,1,0）',%=（1，0，1）'。故属于％=1的特征向量为

勺7+女2小（占,出2不全为零）。

当4=-1时，%=（一1，0，1）'，故属于4=-1的特征向量为左3〃3（左3,0）。

由于线性无关的特征向量个数为3,故可以对角化。

A-3-10

4）4A+10=（4—1）2（4+2）,特征值4=1,—2o

—484+2

当4=1时，7=（-3,6,20）',故属于4=1的特征向量为kgQk产U）。

当丸=一2时，%=(0,0,1)',故属于％=—2的特征向量为

由于线性无关的特征向量个数为2,故不可以对角化。

2.已知方阵A满足A2-3A+2E=0,求A的所有可能的特征值。

解：设几是A的特征值，则有非零向量X满足4X=/IX。于是川乂二万乂，

(A2-3A+2£)X=(A2-3/l+2)X=0o因为X非零，所以/P-34+2=0。即

A的特征值只能为4=1或4=2o

3.设4是A的特征值，证明：

1)万是屋的特征值，力(/为正整数)是4的特征值；

2)设/(㈤是X多项式，则/(㈤是/(A)的特征值；

3)如果A可逆，则是A"的特征值。

证明：1)因为AX=/IX,则A2X=A(AX)=AAX=A2Xo

A3X=A(A2X)=A3X,依此类推，4X=£X,即纪是4的特征值。

2)由1)4X=£X(i为正整数)，记/(/1)=%+a.+L+ajT,则

/(A)X=(%£+/£+L+anE")X=f(A)X,即/(团是/(A)的特征值。

3)如果A可逆，对AX=XX两边左乘A-1有：X=AA-'Xo又可逆矩阵的

特征值不为零(否则|0E-A|=0,与A可逆矛盾)。故才夕=4-咳o

4.设占和X2是A的属于两个不同特征值的特征向量，证明X1+X?不是A的

特征向量。

证明：由题意，设则线性无关。

AX|=4X1,AX2=^X2,4H4,x”X2

(反证)若X+X2是A的特征向量，则有：A(X1+X2)=/l(X1+X2)0从而

(4一/0乂I+(4-/1)乂2=0。因为4H4,所以(4—4),(4—㈤不全为零，于

是X1,X2线性相关，矛盾。故X+X2不是A的特征向量。

5.如果方阵A可逆，证明矩阵A3和相似。

证明：因为=氏4,所以矩阵AB和BA相似。

2

7B

6.设A与8相似，。与。相似。证明与相似。

、C7D

证明：因为A与3相似，C与。相似，故有可逆矩阵尸与。，使得：P'AP=B,

’p-1、（P]（B、（A、，

Q'CQ=。。于是即「与

C八、0IC）

（B

相似。

"142、

7.计算A,其中4=0-34o

、043,

A-1-4-2

解：04+3-4=(%—1)(4—5)(4+5),特征值4=1,5,—5。

0-4A-3

当4=1时，对应的特征向量为71=（0,0,1/；当4=5时，对应的特征向量

为％=（2,1,2）'；当4=—5时，对应的特征向量为%=（1,-2,1）'。故可取

’021]j-505](1

-2,有尸t=,2

P=0110，使得：A=P从

5

21JU-2Oj、

<1(4・5"+(—5)"2.5A'-2(-5/0、

而屋=P5k=-2-5*-2(-5/5k+4(-5»0

5146+(-5)J5

A

2.5-2(-5/5/

’1X1)仅00、

8.求x,y的值，使得矩阵A与B相似，其中A=x1y,B=Q10

J〔o0

Jy2,

解：因为B的特征值为0,1,2,由A与5相似，可得|0.E—川=0,人石―A|=0,

|2-E—Al=0o即12（"））°,从而x=y=0。

।।[-2xy=0

9.证明：

1）实反对称矩阵的特征值为0或纯虚数；

2）正交矩阵的特征值的模等于1。

3

证明：1）设A是实反对称矩阵，4是A的特征值，则有XwO,AX=AX.

取共辄有3又=冗G。考虑X'AX,一方面FAX=/INX；另一方面，

'X'AX=^X'AX=；于是（4+，）Mx=0。又因为XH0,

所以Mx>o。故元=0,即4为o或纯虚数。

2）设A是正交称矩阵，％是A的特征值，则有XwO,4X=/IX。取共

施有了文=冗又，再转置父4=M了=又M。所以Mx=M4Ax。

因为XHO,所以刀X>0。故为1=1,即2的模为1。

10.判断下列矩阵是否为正交矩阵：

r221、rz11

3-2-

-

33-3-

,2)A=

_!±2]_

—1

3327

解：1)因为AA=E,故A为正交矩阵；2）不是正交矩阵。

11.设A8为正交矩阵，证明:

1）A-1与A'为正交矩阵;

7

2)为正交矩阵。

,B7

证明：1）因为A为正交矩阵，所以AN=£,即4=。又

(A')'A'=(AAy=E'=E,故A-i与A为正交矩阵。

2）因为A,8为正交矩阵，所以A'A=E,B'B=Eo从而

A4A'p、'AA、'A、

E,即为正交矩

B'

B7\B7、B,、B'B,、B,

阵。

12.在R*中,求一单位向量。与向量（1,—1,—1,1）,（2,1,1,3）正交。

百+/-/+%4=0

解：设所求向量为a=（网,无2，%3，14）,则有，X]-无2-无3+》4=°。求得基础解

2再+x2+x3+3X4=0

4

系为"=(4,0,1,—1)。故。=左(4,0,1,—1)(左为任意数)。

13.求正交矩阵。，使得。一力。为对角形:

"11、’22-2、

1)A=1112)A=25-4o

J11,「2-45,

A—1—1—1

解:1)\AE-A\=-12-1-1=A2(A-3),特征值4=0,3o

—1—1A—l

当4=0时，7=(—1,1,0)',%=(—1,0,1)'。当4=3时，73=(14,17。

由施密特正交化，取以='(一1,1,0)',四=七(1，1，-2)',A

1,1)'。令

%'0

Q=左则QTAQ=Q'AQ=0

0

A—2-22

2)|2E-A|=-22-54=(/l-l)2(A-10),特征值4=1,100

24A—5

当4=1口寸，7=(—2,1,0)',%=(2,0,1)'。当/I=10时，/=(—g,-l,l)'o

由施密特正交化，取回=1=(—2,1,0)',四=J=(2,4,5)',夕SUL-1，—2,2)'。

V5J453

14.设3阶方阵A的特征值为1,2,3；对应的特征向量为7=(0,1,0)',

%=(1,1,0)',%=(0,0』)'。求矩阵A。

5

’0i0、1

解：由题意，令P=ii0则有P-'AP2o故

(00Lv

(\00、

A=P2P'110

y03,

15.设3阶实对称矩阵A的特征值为6和3(二重根)。属于6的特征向量为

小=(1,1』)'，求A及IT—3EI。

解：设乂=。”/，/)'是实对称矩阵A属于特征值为3的特征向量，则有

尤1+々+43=0。故特征值为3的特征向量7=(—1,1,0)',小=(T，0，l)'。令

‘-1—11、3411、

3

P101则A=P3P-'=141o\A-3E\=

,0116J114

\

3324

IP33pT-3EI=24122688

6?213

提高题

a—1c

1.设矩阵45b3,何=-1,T有特征值4,属于4的一个特

J-c0~a)

征向量为a=(-l,T,l)'。求a/,c和4的值。

解：因为同=一1,所以44*=—E,即4*=—1o由于A*a=4)a，可得

4(1+C—Q)=14=1

4(—2-b)=lb=-3

~—a=Aa,又同=—1,所以0/1、1°解得：V

A)4(—14~C—Cl)=—1c=2

W|=Ta=2

2.已知3阶矩阵A与3维列向量X,向量组X,AX,MX线性无关，且满

足=34X—2屋Xo

6

1)记P=(X,AX,A2X),求3阶矩阵8,使得A=08-1；

2)计算行列式|A+E|。

解：1)因为P-'P=P-'(X,AX,AX2)=E,所以P-'AX=(0,1,07,

p-'/l2X=(0,0,1)\由4=尸8尸一|,=P-'AP=P-'(AX,A2X,AX3)=

00

(P'AX,P-'A2X,3P-'AX-2P-'A2X)03

1-2

00

2)\A+E\=\PBP-1+PP-'|=|B+E|=113

1-1

3.设A是"阶方阵，记/(4)=|花—A|=4"+a/T+L+an,4,L人是/(X)

的〃个根(重根按重数计算)。证明：

1)a”+L+a““=4+L+4=一为，称为方阵A的迹，记为"(A)；

2)a“=(-1)"|A|=(-1)"2,L2„o

证明：因为/(2)=|2E-A|=2n+a,2n-'+L+a„=(2-^)L(4一4)，令4=0,

则有4=(-1)"|A|=(-1)"4L4，即2)成立。又由于特征多项式|花一山中1一

项由行列式定义知只能出现在(Z-au)L内，它的系数为

—(a“+L+%”)=q;而(X-4)L(2—X”)中力"।项的系数为—(4+L+4”)。

故1)成立。

4.设A=(q,L,%),《均为非零实数，B=A'A,求可逆矩阵P,使得

为对角阵。

解：B=A'A=LLL,它为实对称矩阵。当4=。时，/IE—A的秩

为1,所以九=0是|2£-却=0的〃-1重根，由上题1)的结果知元1项系数为

7

A-a：L-a\an

-（a；+L+屋）。故比-用=LLL=4”-(a；+L+a：)]。

LX-a；

zf

当4=0时，可得：72=（-a2,apL,0）,L,r）n=（-«„,0,L,a,）0由于属

于特征值X=（a；+L+4）的特征向量X=（M，L,当）与上述向量组正交，所以

a=axxj（J=2,L,n）□故。

一生aLa

~3-n,01

0L0a

%20

令尸=LLLLL,则KBP=

00L022

\a1+LT+a：

,00La.a,、）

5.证明上三角正交矩阵必为对角阵。

证明：设上三角矩阵A正交，则4一1=4。一方面由第二章习题知也为上三

角，另一方面A为下三角，故A既为三角又为下三角，从而为对角矩阵。

6.A,8是正交矩阵，且闾+忸|=0。证明A+B不可逆。

证明：因为同+忸|=0,所以|A「+|川+2同忸|=0,即阂回=—1。又A,6是

正交矩阵，所以|A+B|=\AB'B+AA'B\=\A\\B'+^||5|=\A\\B\\A+B|□即

（I-|A||B|）|A+B|=O,从而|4+B|=O,A+B不可逆。

习题六

1.写出二次型的矩阵表示形式：

1)f=x2+4y2+z2+^xy+2xz+4yz；

2)f=x2+y2-7z2-2xy-^xz-^yz；

3)/=x；+x；+x；+x：-2X]12+4X,X3-2X]X4+6x2x3-4x2x40

8

、

'121、—1

解：1)/=(x,y,z)242y；2)f=(x,y,z)-11y

21「2-2z

117z.7>

1—12

—113-2

3)/=(七,工2，%3，14)

2310

—1-20

2.化下列二次型为标准形：

1)f=+3.++4X2X3；

2)f=x；+x；+Xj+x；+2%1%2—2X1%4—2%2%3+。

；200、A-200

解：1)二次型矩阵为0320A-3-2=(A-l)(A-2)(/l-5)o

、()23,0-22-3

所以二次型为标准形为/=y；+2y；+5y；。

110—1、A—1—101

11—10—1A-110

2)二次型矩阵为等于

0—11101A—1—1

—1011710-1Z—1

(2+1)(2-l)2(2-3)o所以二次型为标准形为/=一货+2q+y；+3y：。

3.判断下列二次型的正定性：

1)f=3x2+4y2+5^2+4xy-4yz；

2)/=-5x：-6xf-+4X,X2+4玉/；

3)f=2X1X2+2X{X3-6X2X3。

(320、

32

解：1)二次型矩阵为24-2,又3>0,=8>0

24

［。-25；

320

24-2=28>0。所以二次型正定。

0-25

9

(—522、

-52

2)二次型矩阵为2-6()，又一5<0,=26>0,

120-4J2-6

-522

2-60=-80<0o所以二次型负定。

20-4

3)取%,=(1,1,0/,则/因)=2>0；又取X2=(0,1,1)',则

f(X2)=-6<0o所以二次型既不正定，也不负定。

4.，为何值时，下列二次型是正定的：

1)f=+x；+x；+2xtx7+tx2x3；

2)/=x；+4x；+10玉%3+6x,%3。

210

21

解：1)二次型对应的矩阵为11O又2>0,=1>0,

%11

、。%

210

11%=1-工产。所以当1一>o,即一行<，<血时二次型正定。

0%122

"1t5)

2)二次型对应的矩阵为r43,又1>0,1'=4——,

153t4

1t5

r4—户>0

t43=—『+30f—105。因为4,无解，即无论f为何值二次

［产-30/+105<0

型是均不正定。

5.如果二次型/=XAX,对于任意〃维列向量X。，都有Xo'AXo=O。证明

A=0o

证明：记4=(附),“，取X0=£j(表示第i个分量为1其余分量为0的〃维列向

10

量)，由Xo'AXo=O,得%=0；取Xo=%(表示第i、第j两个分量为1其余

分量为0的〃维列向量)，由Xo'AXo=O,则有2他=0。故A=0o

6.如果A是正定矩阵，证明A-1是正定矩阵。

证明：因为A是正定矩阵，所以存在可逆实矩阵使得A=o故

A-'=B-|(B,)-I=[(B,)-'],[(B，r1]，即A-1是正定矩阵。

7.如果A,8是M阶正定矩阵，k>Q,/>0o证明姑+/B为正定矩阵。

证明：A,8是”阶正定矩阵，对任意〃维实的列向量X,X'AX>0,

XBX>0o从而X'(AA+/B)X=%(XAX)+/(X8X)>0。即％A+/B为正定矩

阵。

8.设A是实对称矩阵，证明当实数t充分大之后，归+A是正定矩阵。

证明：取加=田配\同，则当时，X'(tE+A)X>0o所以f£+A是

正定矩阵。

提高题

1.如果A为正定矩阵，证明：

1)aVl>0(z=I,L,〃)；

。a

2)”>0(iwj-i,j=l,L,n)o

ajiajj

证明：1)(反证)若为WO,取X。为者=1、其余未知量为零的列向量，则有

Xo'AX。=