选修4-4平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换

平移变换与伸缩变换高中数学选修4-4坐标系与参数方程2．设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有点按照同一方向，移动同样长度，得到图象与F之间的关系？平移变换baaaaaaaxyO设F

是坐标平面内的一个图形，将F

上所有点按照同一方向，移动同样长度，得到图形，这一过程叫图形的平移．1．向量a与平移到某位置的新向量b

的关系？aa=b

若以向量表示移动的方向和长度，也称为图形F按向量平移。得∴设P（x，y）是图象F上任一点，平移后对应点为，且的坐标为（h，k），则由xyOFF′平移变换点的平移公式理解：平移前点的坐标

+平移向量的坐标=平移后点的坐标.设P（x，y）是图象F上任一点，平移后对应点为P′（x′，y′）平移向量为PP′=（h，k）向量表示：OP+PP′=OP′

即（x，y）+（h，k）=（x′，y′）在图形平移过程中，每一点都是按照同一方向移动同样的长度，所以我们有两点思考：xyOFF′PP′其一,平移所遵循的“长度”和“方向”正是向量的两个本质特征,因此,从向量的角度看:一个平移就是一个向量.其二,由于图形可以看成点的集合,故认识图形的平移,就其本质来讲,就是要分析图形上点的平移.另外,由于平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小，故在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变.知识点分析例题讲解解：（1）由平移公式得即对应点的坐标（1，3）.（2）由平移公式得解得例1（1)把点A(-2,1)按a=(3,2)平移,

求对应点A′的坐标(x′,y′).（2）点M(8,-10)，按a平移后的对应点M′的坐标为（-7，4）求a;即a的坐标（-15，14）.强调：1.知二求三；

2.新旧顺序；

3.一个平移就是一个向量；将它们代入y=2x中得到即函数的解析式为解：设P(x,y)为l的任意一点，它在上的对应点由平移公式得xyO例2．将函数y=2x的图象

l按a=(0,3)平移到l

′,

求l

′的函数解析式．例题讲解解：在曲线F上任取一点P（x，y），设F′上的对应点为P′（x′，y′），则

x′=x-2，y′=y+3

∴

x=x′+2，y=y′-3将上式代入方程

y=x2，得：y′-3=(x′+2)2即：y′=(x′+2)2+3例3：已知函数y=x2图象F,平移向量a=(-2,3)到F′的位置,求图象F′的函数表达式.OxyF:y=x2F′a练习：（1）分别将点A（3，5）,B（7，0）按向量平移，求平移后各对应点的坐标。（2）把函数的图像l按平移到，求的函数解析式。

（3）将抛物线经过怎样的平移，可以得到。

按向量平移平面直角坐标系中的伸缩变换思考：（1）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?xO

2y=sinxy=sin2xy问题分析：在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x

,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，就得到正弦曲线y=sin2x.

上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换,即：设P(x

,y)是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来，得到点

P′(x′,y′).坐标对应关系为：x’=xy’=y1通常把叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。1坐标对应关系为：（2）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sinx?写出其坐标变换。问题分析：设点P（x,y）经变换得到点为P′

(x′,y′)x′=xy′=3y2通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。2在正弦曲线上任取一点P（x,y），保持横坐标x不变，将纵坐标伸长为原来的3倍，就得到曲线y=3sinx。问题分析：（3）怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?写出其坐标变换。问题分析：在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标x缩为原来的，在此基础上，将纵坐标变为原来的3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x.设点P（x,y）经变换得到点为P′

(x′,y′)x′=xy′=3y3通常把叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。3定义：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换的作用下，点P(x,y)对应P’(x’,y’).称为平面直角坐标系中的伸缩变换。4注（1）（2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换得到；（3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换x’=xy’=3y后的图形。（1）2x+3y=0;

(2)x2+y2=1练习：2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=13.在同一直角坐标系下，经过伸缩变换后，曲线C变为x’2－9y’2=1，求曲线C的方程并画出图形。x’=3xy’=y思考：在伸缩变换

下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？补充练习：1求下列点经过伸缩变换后的点的坐标：①（1，2）；②（-2，-1）.2曲线C经过伸缩变换后的曲线方程是则曲线C的方程是

.3将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（）4曲线变成曲线的伸缩变换是

.5在伸缩变换与伸缩变换的作用下，单位圆分别变成什么图形？

7

在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线4x2+9y2=36变为曲线x’2+y’2=1

8

在同一直角坐标系下，经过伸缩变换后,曲线C变为x’2－9y’2=1,求曲线C的方程,并画出图形。课后练习1.将Y=sinX图象沿x轴均匀压缩为y=sin3x,则坐标变换公式是()答案:A2.将曲线F(x,y)=0上的点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标缩短到原来的,得到的曲线方程为()答案:A3.将曲线C按伸缩变换公式变换得到曲线方程为x′2+y′2=1,则曲线方程为()C.4x2+9y2=36D.4x2+9y2=1答案:D4.在平面直角坐标系中,方程3x-2y+1=0所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为()A.3x-4y+1=0B.3x+y-1=0C.9x-y+1=0D.x-4y+1=0答案:C5.在同一坐标中,将曲线y=2sin3x变为曲线y=sinx的伸缩变换是()答案:B6.在平面直角坐标系内,y=tanx经过怎样的伸缩变换可得到y=3tan2x()答案:B7.将对数曲线y=log3x的横坐标伸长到原来的2倍得到的曲线方程为________.8.已知平面上三点A(2,0)､B(0,3)､C(0,0),经过伸缩变换后变为A′、B′、C′.则△A′B′C′的面积为________.12解析:经过伸缩变换A(2,0)→A′(4,0),B(0,3)→B′(0,6),C(0,0)→C′(0,0),∴△A′B′C′面积为9.对曲线向y轴进行伸缩变换,伸缩系数为

,所得的曲线方程为________.10.设M1是A1(x1,y1)与B1(x2,y2)的中点,经过伸缩变换后,它们分别为M2,A2,B2,求证:M2是A2B2的中点.11.圆C:x2+y2=4向着x轴均匀压缩,伸缩系数为.(1)求压缩后的曲线方程;(2)过圆C上一点