新人教版九年级数学上册-24.1.3.弧、弦、圆心角

24.1.3弧、弦、圆心角富顺县赵化中学郑宗平2018.11.10课题新人教版九年级数学上册第二十四章1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点）4.经历探索知识过程，感受数学知识的价值和魅力，培养合作学习的意识和探索精神.学习目标：3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义,(难点）4.经历探索知识过程，感受数学知识的价值和魅力，培养合作学习的意识和探索精神.目标垂径定理及其推论：①.过圆心；②.垂直于弦；③.平分弦；④.平分劣弧；⑤.平分优弧.∵AB是直径，AB⊥DC∵AB是直径，AB平分弦CD（弦CD不是直径）温故知新遇弦作垂线，解答更方便！记住哟！知二推三！

上周我们已经学会了利用垂径定理二等分没有明确圆心标记的月饼.过后2班有位同学问我：老师，因为有爸爸、妈妈和我，如果平均每人一份，怎样三等分呢？今天我们就来探讨这个问题.新课引入这是怎么三等分的呢？上周的二等分法.新课引入

所以圆是中心对称图形.1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？圆心角的定义2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.观察动画：定义观察在⊙O中，这些角有什么共同特点？顶点在圆心上.圆心角的定义1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB.2.圆心角∠AOB

所对的弧为.3.圆心角∠AOB所对的弦为AB.注意任意给圆心角，都会对应出现三个量（时时想起）：圆心角弧弦定义（续）判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.圆内角圆周角(后面要学）圆外角圆心角圆内角弦切角(以后将介绍)追踪练习◆在同圆中探究在⊙O中，如果∠AOB=∠COD，那么，与，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？圆心角、弧、弦之间的关系的探究若∠AOB=∠COD，那么,AB=CD观察：如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？在等圆中探究观察：

通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，，弦AB=弦CD.仍然成立！关系探究

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．弧、弦与圆心角的关系定理及其推论∵

∠AOB=∠COD∴AB=CD,

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对圆心角相等，所对的弦也相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．∵∴∠AOB=∠COD,AB=CD.∵

AB=CD∴∠AOB=∠COD，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中，有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等.定理及推论

想一想：为什么圆心角、弧、弦之间关系定理中要有“在同圆或等圆”前提条件？思考第一种情况：在同心圆⊙O中（见右图）.第二种情况：在圆心不同而半径不相等的⊙O和⊙O′两个圆中有∠AOB=∠CO′D.很明显的弦CD和弦AB虽然一个圆心角对的弦，但CD≠AB,同样的.观察动画：从平移可看出虽然∠AOB=∠CO′D,但CD≠AB,

.弦心距是指圆心到弦的垂线段的长度.那么在同圆或等圆中，两个圆心角相等，那么它们所对应的弦的弦心距是否相等呢？等对等关系：在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弦，两段弧，两弦所在的弦心距，只要有一组量相等，可以推出相应的其余各组量也相等.拓展与归纳观察动画：后面的练习将有一个“理论论证”

一.判断题1.等弦所对的弧相等.

()2.等弧所对的弦相等.

()3.等弧所对的圆心角相等.()1.

如图，AB是⊙O的直径,

,∠COD=35°，∠AOE=

．75°4.圆心角不相等，所对的弦不相等.()5.弦相等，它所对的圆心角相等()二.填空题2.

如图，⊙O的上,∠A=30°,∠B=

．75°追踪练习3.填一填：

如图，AB、CD是⊙O的两条弦．⑴.如果AB=CD，那么__________，

．⑵.如果，那么____________，

．⑶.如果∠AOB=∠COD，那么__________，________．⑷.如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，OE与OF相等吗？为什么？AB=CDAB=CDAB=CD((∠AOB=∠COD∠AOB=∠CODAB=CD((AB=CD((解：OE=OF.理由如下：追踪练习（续）在综合解答题中可以说通过说明思路的方式“直接”用拓展的“等对等关系定理”.4.回答：前面动画展示“三等分”月饼是怎样分的？取120°的圆心角，等对等，三部分能完全重合.证明：∴AB=AC．△ABC是等腰三角形.又∠ACB=60°∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.例1.(新人教版九年级数学上册84页例3）如图，在⊙O中，

.求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.

点评：

本题主要是抓住由“等弧→圆心角相等”；凡此类题利用“等对等关系”进行弧、圆心角、弦灵活转化是破题的关键.∵典例1后面的例2、例3根据课堂时间情况选学.例2.如图，AB是半圆⊙O的直径，点C、D分别为OA、OB的中点，分别过C、D作AB的垂线与半圆交于E、F两点.

求证：.典例2

分析:

本题要证明弧相等，可以找出弧所对应的圆心角或弦相等来证得，我们连接半径OE、OF、EA、EB即可解决问题.

略证:连接半径OE、OF和弦AE、BE.∵EC⊥OA,FD⊥OB,且点C、D分别为OA、OB的中点∴EA=EO,FO=EB∵EO=FO∴EA=FB∴点评：

本题是利用“等弦→等弧”来时使问题获得解决；本题也可以利用“圆心角相等→等弧”，殊途同归.典例3例3.如图，D、E分别是⊙O的半径OA、OB的中点，在优弧上一点取一点C，使连接CD、CE后满足CD=CE.

求证：点C为优弧的中点.

分析:要证明点C为优弧的中点，就是要证明

;可以找出弧所对应的圆心角相等来证得.我们可连接半径OC后通过三角形全等来解决.

略证:连接半径OC.∵D、E分别为OA、OB的中点∴∵OA=OB∴OD=OE∵CD=CE,OC=OC∴△OCD≌△OCE∴∠1=∠2∴即点C为优弧的中点.1.如果两个圆心角相等，那么（）A.这两个圆心角所对的弦相等B.这两个圆心角所对的弧相等C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D.以上说法都不对4.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于

.D60°巩固练习2.AB、CD为⊙O的两条直径，弦DE∥AB,若∠DOE=40°,那么∠BOC=（）A.110°B.80°C.40°D.70°3.在⊙O中，劣弧满足，则AB与2CD的大小关系为（）A.AB>2CDB.AB<2CDC.AB=2CDD.以上都不对5.如图，AB是半圆的直径，OC⊥AB,D为劣弧CD的中点，连接OD,再连接AD交OC于点E，则∠AEO的度数为

.AB6.边长为6的正方形的四个顶点都在⊙O上，则⊙O的半径为

.67.5°7.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，

求证:AB＝CD.辅助线提示见图.辅助线提示见图.辅助线提示见图.巩固练习(续)7、8、9