2025届高考数学一轮复习核心素养测评第6章6.2均值不等式含解析新人教B版

PAGE7-核心素养测评三十均值不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若mn=1,其中m>0,则m+3n的最小值等于 ()A.2QUOTE B.2 C.2QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为mn=1,其中m>0,所以n>0,所以m+3n≥2QUOTE=2QUOTE,当且仅当m=QUOTE,n=QUOTE时取等号,所以m+3n的最小值等于2QUOTE.2.(2024·宿州模拟)已知函数y=x-4+QUOTE(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则2a+3b等于 ()A.9 B.7 C.5 D.3【解析】选B.因为x>-1,所以x+1>0,所以y=x-4+QUOTE=x+1+QUOTE-5≥2QUOTE-5=1,当且仅当x+1=QUOTE,即x=2时取等号,所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.3.若log2x+log2y=1,则2x+y的最小值为 ()A.1 B.2 C.2QUOTE D.4【解析】选D.因为log2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,所以2x+y≥2QUOTE=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为4.4.(2024·温州模拟)若ab>0,则QUOTE的最小值为 ()A.2QUOTE B.QUOTE C.3 D.2【解析】选A.因为ab>0,所以QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=QUOTEb时取等号.5.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值为 ()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.4【解析】选C.由题意可知(a+1)(b+1)≤QUOTE=QUOTE=QUOTE,当且仅当a=b=QUOTE时取等号.6.(2024·滨州模拟)已知a>0,b>0,4a+b=2,则QUOTE+QUOTE的最小值是 ()A.4 B.QUOTE C.5 D.9【解析】选B.因为a>0,b>0,4a+b=2,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE(4a+b)=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=QUOTE,b=QUOTE时取等号.7.已知非负数x,y满意xy+y2=1,则x+2y的最小值是 世纪金榜导学号()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.已知非负数x,y满意xy+y2=1,则有:y(x+y)=1,由已知可得:y≠0,由y>0,x为非负数,当x=0时,y=1,则x+2y=2;当x≠0时,y>0,x+y>0,则x+2y=y+(x+y)≥2QUOTE=2,当且仅当y=x+y时取等号.即x=0,y=1时取等号.二、填空题(每小题5分,共15分)8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.

【解析】每台机器运转x年的年平均利润为QUOTE=18-QUOTE,而x>0,故QUOTE≤18-2QUOTE=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:589.已知a>b>0,则a2+QUOTE的最小值是________. 世纪金榜导学号

【解析】因为a>b>0,所以b(a-b)≤QUOTE=QUOTE,当且仅当a=2b时等号成立.所以a2+QUOTE≥a2+QUOTE=a2+QUOTE≥2QUOTE=16,当且仅当a=2QUOTE时等号成立.所以当a=2QUOTE,b=QUOTE时,a2+QUOTE取得最小值16.答案:1610.(2024·阳泉模拟)函数y=QUOTE(x<1)的最大值为________,此时x的值为________. 世纪金榜导学号

【解析】函数y=QUOTE=QUOTE=x+1+QUOTE=(x-1)+QUOTE+2(x<1),因为(1-x)+QUOTE≥2,当且仅当x=0时,取等号,所以(x-1)+QUOTE≤-2,当且仅当x=0时,取等号.故函数y=QUOTE的最大值为0.答案:00(15分钟25分)1.(5分)(多选)设a>0,b>0,则下列不等式中肯定成立的是 ()A.a+b+QUOTE≥2QUOTE B.QUOTE≥QUOTEC.QUOTE≥a+b D.(a+b)QUOTE≥4【解析】选ACD.因为a>0,b>0,所以a+b+QUOTE≥2QUOTE+QUOTE≥2QUOTE,当且仅当a=b且2QUOTE=QUOTE,即a=b=QUOTE时取等号,故A成立;因为a+b≥2QUOTE>0,所以QUOTE≤QUOTE,当且仅当a=b时取等号,所以QUOTE≥QUOTE不肯定成立,故B不成立,因为QUOTE≤QUOTE=QUOTE,当且仅当a=b时取等号,QUOTE=QUOTE=a+b-QUOTE≥2QUOTE-QUOTE,当且仅当a=b时取等号,所以QUOTE≥QUOTE,所以QUOTE≥a+b,故C肯定成立,因为(a+b)QUOTE=2+QUOTE+QUOTE≥4,当且仅当a=b时取等号,故D肯定成立.2.(5分)正数a,b满意QUOTE+QUOTE=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对随意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 ()A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.(-∞,6] D.[6,+∞)【解析】选D.因为a>0,b>0,QUOTE+QUOTE=1,所以a+b=(a+b)QUOTE=10+QUOTE+QUOTE≥16,当且仅当QUOTE=QUOTE,即a=4,b=12时取等号.依题意,16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m对随意实数x恒成立.又x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6≥-m,即m≥6.3.(5分)(2024·聊城模拟)已知两圆x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+y2-2by+b2-1=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则QUOTE+QUOTE的最小值为 ()A.3 B.1 C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由题意得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+2a)2+y2=4,x2+(y-b)2=1,圆心分别为(-2a,0),(0,b),半径分别为2和1,所以QUOTE=3,所以4a2+b2=9,所以QUOTE+QUOTE=QUOTE×QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥QUOTE+QUOTE=1.当且仅当QUOTE=QUOTE时,等号成立,所以QUOTE+QUOTE的最小值为1.4.(5分)已知正数x,y满意x+y=5,则QUOTE+QUOTE的最小值为________. 世纪金榜导学号

【解析】正数x,y满意x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,则QUOTE+QUOTE=QUOTE[(x+1)+(y+2)]QUOTE+QUOTE=QUOTE≥QUOTE=QUOTE,当且仅当x+1=y+2,即x=3,y=2时,上式取得最小值QUOTE.答案:QUOTE5.(5分)(2024·朝阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且△ABC的面积为QUOTEc,则ab的最小值为________. 世纪金榜导学号

【解析】在△ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2-2