专题19 列举法策略

1例1．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有()例2．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为45.例3．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是60.例4.有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法例5．从，1，2，3…，20中选取四元数组(a1，a2则这样的四元数组(a1，a2，a3，a4)的个数是()S+1．已知“有增有减”A．64个B．57个C．56个D．54个例7．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，则这样的“十全十美数”共有()个例8．集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中的最小数大于A中的最大数，则不同的选择方法有49种.2例9．定义域为集合{1，2，3，…,12}上的函数f(x)满足：①f（1）=1；②|f(x+1)一f(x)|=1(x=1，2，…,11)；③f（1）、f（6）、f(12)成等比数列；这样的不同函数f(x)的个数为155.例10．由海军、空军、陆军各3名士兵组成一个有不同编号的3×3的小方阵，要求同一军种不在同一行，也不在同一列，有2592种排法.例11．设集合I={1，2，3，4}，选择I的两个非空子集A和B，使得A中最大的数不大于B中最小的数，则可组成不同的子集对(A,B)49个.u，v，w)|0t<u4，0v<w4且t，u，v，w∈N\}，用card(X)表示集合X中的元素个数，则cardA．200B．150C．100例13．某城市街道的平面图如图所示，若每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，从A至B的路径条数有n条：若P、Q两处因故施工，不能通行，从A至B的路径条数有m条，则n，m分别为()A．1552；256B．1440；256C．1552；288D．1440；288例14．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i=1，2，…,6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A．22种B．24种C．25种D．27种例15．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠记上、中、下三档的数字和分别为a，b，c．例如，图中上档的数字和a=9．若a，b，c成等差数列，则不同的分珠计数法有()种.例16.若一个三位数中任意两相邻数位上两数差的绝对值小于或等于1，则称此三位数为“灵犀数”，这样的三位“灵犀数”共有个1例1．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有()【解析】解：根据题意，做出树状图，注意第四次时球不能在甲的手中.分析可得，共有10种不同的传球方式；故选：B.例2．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为45.【解析】解：先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有C=5种情况，例如：5号球放在5号盒子里，故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法总数为5×9=45种，故答案为：45.例3．工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓．若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的2个螺栓．则不同的固定螺栓方式的种数是60.【解析】解：第一步任意选取一个螺栓，有6种方法，第二步，按照要求以此固定.不妨第一次固定紧螺栓1，则有如下的固定方法：故答案为：60.例4.有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法【解析】红111223黄123121兰321211CCCCCCCCCCCC共有150种.5．从，1，2，3…，20中选取四元数组(a1，a2，a3，a4)，且满足a2-a13，a3-a24，a4-a35，3则这样的四元数组(a1，a2，a3，a4)的个数是()【解析】解：将a1连同其右边的2个空位捆绑，a2连同其右边的3个空位捆绑，a3连同其右边的4个空位捆绑分别看作一个元素，四元数组(a1，a2，a3，a4)的个数相当于从11个元素中选取4个，故这样的四故选：B.S+1．已知“有增有减”A．64个B．57个C．56个D．54个【解析】解：由题意可知4个数值的数列中，只有2个数值，例如：x，x，y，y类型，共有C×4=12种.满足题目的数列类型共有：54种.故选：D.例7．若一个三位数的各位数字之和为10，则称这个三位数为“十全十美数”，如208，136都是“十全十美数”，则这样的“十全十美数”共有()个【解析】解：任取一个“十全十美三位数”，208，280，802，820，307，370，703，730，406，460，604，640，505，550，118，181，811，4226，262，622，334，343，433，442，244，424，不含有0，并且没有相同数字的三位数．4A=24，分别为：136，163，316，361，613，631，145，154，451，415，514，541，235，253，352，325，523，532，故选：C.例8．集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中的最小数大于A中的最大数，则不同的选择方法有49种.【解析】解：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有C=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有C=10种选法，再分成1一个元素一组、2个元素一组，有两种分法，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有C=5种选法，再分成1个元素一组、3三个元素一组；2个元素一组、2个元素一组；3个元素一组、1一个元素一组，共三种分法，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有C=1种选法，再分成1个元素一组、4个元素一组；2个元素一组、3个元素一组；3个元素一组、2个元素一组；4个元素一组、1两个元素一组组，有四种分法，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；故答案为：49例9．定义域为集合{1，2，3，ⅆ,12}上的函数f(x)满足：①f（1）=1；②|f(x+1)f(x)|=1(x=1，2，ⅆ,11)；③f（1）、f（6）、f(12)成等比数列；这样的不同函数f(x)的个数为155.5【解析】解：经分析，f(x)的取值的最大值为x，最小值为2-x，并且成以2为公差的等差数列，故f（6）的取值为6，4，2，0，-2，-4.f(12)的取值为12，10，8，6，4，2，0，-2，-4，-6，-8，-10，所以能使f(x)中的f（1）、f（6）、f(12)成等比数列时，f（1）、f（6）、f(12)的取值只有两种情况：①f（1）=1、f（6）=2、f(12)=4；②f（1）=1、f（6）=-2、f(12)=4.|f(x+1)-f(x)|=1(x=1，2，ⅆ,11)，f(x+1)=f(x)+1，或者f(x+1)=f(x)-1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1.（1）当f（1）=1、f（6）=2、f(12)=4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6第二步：从f（6）变化的f(12).从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为C=10种.从f（6）变化到f(12)时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为C=15种.根据分步乘法原理，共有10×15=150种方法.（2）当f（1）=1、f（6）=-2、f(12)=4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6第二步：从f（6）变化的f(12).从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到-2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为C=5种.从f（6）变化到f(12)时有6次变化，函数值从-2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为C=1种.根据分步乘法原理，共有5×1=5种方法.综上，满足条件的f(x)共有：150+5=155种.故填：155.例10．由海军、空军、陆军各3名士兵组成一个有不同编号的3×3的小方阵，要求同一军种不在同一行，也不在同一列，有2592种排法.【解析】解：假设海军为a，空军为b，陆军为c，先将a，b，c，填入3×3的小方阵，则有2A=12种，每个a，b，c填入3名士兵均有A=6故答案为：2592例11．设集合I={1，2，3，4}，选择I的两个非空子集A和B，使得A中最大的数不大于B中最小的数，则可组成不同的子集对(A,B)49个.【解析】解：根据题意，分4种情况讨论：①,集合A中最大的元素为1，此时集合A有1种情况，集合B的数目为{1，2，3，4}的非空子集数目，集合B有24-1=15种情况，此时可组成1×15=15个不同的子集对(A,B)，种情况，此时可组成2×7=14个不同的子集对(A,B)，此时集合A可以为{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，有4种情况，集合B的数目为{3，4数目，集合B有22-1=3种情况，此时可组成4×3=12个不同的子集对(A,B)，此时集合A的数目为{1，2，3}的子集数目，有23=8种情况，集合B必须为{4}，有1种情况，7此时可组成8×1=8个不同的子集对(A,B)，故答案为：49.u，v，w)|0t<u4，0v<w4且t，u，v，w∈N\}，用card(X)表示集合X中的元素个数，则cardA．200B．150C．100:card(F)=100；:card（E）+card(F)=200.故选：A.例13．某城市街道的平面图如图所示，若每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，从A至B的路径条数有n条：若P、Q两处因故施工，不能通行，从A至B的路径条数有m条，则n，m分别为()A．1552；256B．1440；256C．1552；288D．1440；288【解析】解：由于每个路口仅能沿右、左上、右上三个方向走，则从点A到任意一点的路径条数为自身左，右下，左下三个点的路径条数之和，故在走到每个点的路径条数如下图所示故选：A.例14．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD（边长为2个单位）的顶点A处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为i(i=1，2，ⅆ,6)，则棋子就按逆时针方向行走i个单位，一直循环下去．则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处的所有不同走法共有()A．22种B．24种C．25种D．27种【解析】解：法一：根据题意，正方形ABCD的边长为2个单位，则其周长是8，若抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处，则三次骰子的点数之和是8或16，若三次骰子的点数之和是8，有1、1、6，1、2、5，1、3、4，2、2、4，2、3、3，共5种组合，若三次骰子的点数之和是16，有4、6、6，5、5、6，共2种组合，其中1