云南省临沧市云县2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（解析版）

2023-2024学年云南省临沧市云县高二（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，若，则（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用已知条件和向量的垂直关系求出未知量即可求得，进而得.【详解】因为，所以，，故，所以.故选：C.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式求出集合，根据交集的定义即可.【详解】由题意可知，，，所以.故选：B.3.已知以坐标轴为对称轴，原点为对称中心，其中一条渐近线为，则此双曲线的离心率为（）A. B.2 C.2或 D.2或【答案】D【解析】【分析】分焦点在x轴上和y轴上讨论求解即可.【详解】当焦点在x轴上时，可得，则；当焦点在y轴上时，可得，则.综上，双曲线的离心率为2或.故选：D.4.清华大学、北京大学、上海交通大学、复旦大学均有数学强基招生计划，若某班有4位学生每人从上述四所学校中任选一所报名，则恰有一所学校无人选报的不同方法数共有（）A.96 B.144 C.168 D.288【答案】B【解析】【分析】先将4人分为3组一组2人，另外两组各一人，再分配进行求解.【详解】将4位同学分为的分组，再分配到4所学校中的3所，共有种方法.故选：B.5.已知服从正态分布的随机变量在区间，和内取值的概率约为，和.若某校高一年级名学生的某次考试成绩服从正态分布，则此次考试成绩在区间内的学生大约有（

）A.780人 B.763人 C.655人 D.546人【答案】C【解析】【分析】根据正态曲线的性质求出，即可估计人数.【详解】依题意，所以，，则，，所以，所以此次考试成绩在区间内的学生大约有（人）.故选：C6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p（p＞1）满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（）A.16 B.22 C.23 D.25【答案】B【解析】【分析】由已知先求出，然后结合等差数列的通项公式与求和公式，以及基本不等式即可求解．【详解】因为二二数之剩一的数为的形式，三三数之剩一的数为的形式，其中，则数列的项即为以上两类数的公共项，即为的形式，，即，因，故数列是等差数列，于是，，则当且仅当，即时取等号．即时，取得最小值22.故选：B．7.已知，则不等式的解集为（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判断出为偶函数，且在上单调递增，将所求不等式利用函数性质转化为利用单调性解得答案.【详解】定义域为R，，所以函数为偶函数，又因为，时，，时，，故，所以在上单调递增，则不等，即解得:.所以不等式的解集为.故选：C.8.在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值，建立空间直角坐标系，求得即可.【详解】如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值，以点为坐标原点，以的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，由为正方体，设棱长为，，所以四边形为正方形，所以，又因为平面，平面，所以，又因为，平面，所以平面，即为平面的一个法向量，同理为平面的一个法向量，由，知，设平面与平面的夹角为，，则.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选）某商家统计了最近5个月某产品的销量，如表所示：若y与x线性相关，且线性回归方程为，则（）时间x12345销售量y/万只54.543.52.5A.由题中数据可知，变量y与x负相关B.当时，残差为0.2C.可以预测当时销量约2.1万只D.【答案】ACD【解析】【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质，即可求解.【详解】对于A，由题中数据可知，随着x变大，变小，则变量y与x负相关，故A正确；对于D，由表中数据可知，，，又因为，则，解得,故D正确；对于B，当时，残差为,故B错误；对于C，当时，，故可以预测当时销量约为2.1万只，故C正确.故选：ACD.10.（多选）已知函数，则（）A.当时，上单调递减B.当时，在上恒成立C有2个零点，则D.有极值，则【答案】AC【解析】【分析】对于A，当时，利用f'x<0时，，即可判断；对于B，利用，即可判断；对于C，讨论的单调性，令，即可判断；对于D，利用当时，的单调性即可判断.【详解】对于A，B选项，，，当时，f'x<0，单调递减；当时，f'x>0∴，∴；故A正确，B错误；对于C选项，，当时，f'x>0，当时，令，得，当时，f'x<0，时，f'x>0，故，若有2个零点，则只需，解得，故C正确；根据选项C分析，结合极值概念可知，时，有唯一的极小值，故D错误.故选：AC.11.（多选）数列满足且，则（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得，，可判断ABD；由数列的分组求和，结合等比数列的求和公式，可判断D.【详解】对于A，由且，可得，而A选项中，，显然不符合，A错误；对于B，，即有，可得，即，，则，而B选项中，，显然不符合，B错误；对于D，由B可知，故D正确；对于C，，故C正确.故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知虚数，，______（写出一个符合题意的即可）.【答案】i【解析】【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数实部的定义，即可求解.【详解】由，得，又，则且，令，，故符合题意.故答案为：i（答案不唯一）.13.已知抛物线C：y2=2pxp>0，O为坐标原点，F为抛物线C的焦点，点A，B为抛物线上两点，且满足，过原点O作交AB于点D，若点D的坐标为，则抛物线C的方程为【答案】【解析】【分析】根据给定条件，求出直线AB方程，与抛物线方程联立借助韦达定理、向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】直线OD的斜率为，而，则直线AB的方程为，即，由消去x并整理得：，设，则，则，则，解得，所以抛物线C的方程为.故答案为：14.已知函数的部分图象如图所示，则________，方程的解为________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据给定的函数图象，求出周期及、、，进而求出解析式，再将方程等价变形为，根据正弦函数和余弦函数性质求解即可.【详解】由图可知，函数的最小正周期为，所以，因为，则，则，因为，所以，又，则，方程，得，即，即，所以或，所以，解得，故方程的解为.故答案为：，.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某商场举办摸球答题赢购物券活动，顾客在商场内消费达到一定金额即可参与．一次摸球答题活动中，顾客在装有1个黑球和4个白球的盒子中随机摸一个球（每个球除颜色外完全相同），若摸到黑球，在A类题目中任抽一个回答，答对可获得一张购物券；若摸到白球，在B类题目中任抽一个回答，答对可获得一张购物券．假设每次摸球互不影响，且回答的题目不会重复．已知小明答对每个A类题目的概率均为，答对每个B类题目的概率均为．（1）若小明在一次活动中获得了购物券，求他在摸球时摸到的是黑球的概率；（2）若小明连续参与三次活动共获得了X张购物券，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）（2）分布列见详解；【解析】【分析】（1）根据全概率公式求出小明获得购物券概率，再利用条件概率公式计算；（2）根据题意，，列出分布列，求出数学期望.【小问1详解】设事件：小明在摸球时摸到的是黑球，事件：小明获得购物券，则，，，，所以，则小明在获得了购物券的条件下，摸到的是黑球的概率为.【小问2详解】由（1）小明在一次活动中获得购物券的概率为，则，所以的分布列为，则0123所以得数学期望为.16.记的内角的对边分别为，已知.（1）若成等差数列，求的面积；（2）若，求.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根据等差数列的性质得到，再利用余弦定理求得的值，进而利用三角形的面积公式求解；（2）根据已知条件代入，并用三角恒等变换化简求得A，再利用正弦定理求解.【小问1详解】因为成等差数列，所以，又，所以①，在中，由余弦定理可得：，又，所以②，由①②得，所以的面积.【小问2详解】因为，所以，又因为且，所以，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，所以，所以.17.如图，在三棱锥中，，，点O是的中点，平面.（1）求；（2）点M在直线上，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积.【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）分别利用勾股定理得出，结合在直角中，，即可求解；（2）以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥的体积.【小问1详解】因为，点O是的中点，所以，在直角中，，又平面，平面，所以，在直角中，，又因为，所以，在直角中，，所以，解得，所以.【小问2详解】如图：以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，由题意平面的一个法向量为，设，，则，设为平面的一个法向量，则，即，令，则，因为二面角的正弦值为，结合图和已知得二面角的平面角为，所以，化简得，解得或（舍去），所以，所以，所以，所以三棱锥的体积为.18.已知M为圆上一个动点，垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为G.（1）求点G的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C，直线与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设，根据为的重心，得，代入，化简即可求解.（2）根据垂心的概念求得，设直线方程，与椭圆联立韦达定理，利用得，将韦达定理代入化简即可求解.【小问1详解】设，则，因为的重心，故有：，解得，代入，化简得，又，故，所以的轨迹方程为.【小问2详解】因为的垂心，故有，又，所以，故设直线的方程为，与联立消去得：，由得，设，则，由，得，所以，所以，所以，化简得，解得（舍去）或（满足），故直线的方程为.19.英国物理学家、数学家艾萨克·牛顿与德国哲学家、数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立发明了微积分，其中牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图，具体做法如下：一个函数的零点为，先在轴找初始点，然后作y=fx在点处切线，切线与轴交于点，再作y=fx在点处切线，切线与轴交于点，再作y=fx在点处切线，以此类推，直到求得满足精度的零点近似解为止.（1）设函数，初始点，精度，若按上述算法，求函数的零点近似解满足精度时的最小值（参考数据：）；（2）设函数，令，且，若函数，，证明：当时，.【答案】（1）3（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的几何意义，求出函数在时的切线方程，然后令，求出的满足题意的近似值即可；（2）由曲线在，处的切线方程得到切线与轴交点横坐标为，再由函数，得到，，进而得到，曲线的一条切线方程为，然后将问题转化为．【小问1详解】令，解得，即由函数，则，当，则切线斜率，且，那么在点处的切线方程为，令，切线与轴的交点横坐标为，因为，当，则切线斜率，且，那么在点处的切线方程为，令，切线与轴的交点横坐标为，因为，函数的零点近似解满足精度时的最小值为3.【小问2详解】曲线在处的切线为，所以切线与轴交点横坐标为，当函数时，即，得，又，则，，故，曲线的一条切线方程为，要证：当时，，即证：，即，又，故曲线在处的切线方程为，因为，故可猜测：当且