人教高中数学A版必修一 三角函数 简单的三角恒等变换 函数y=Asin(ωx+φ)

5.5.2

简单的三角恒等变换三角函数一二三一、半角公式1.二倍角公式是用单角α的三角函数来表示倍角2α的三角函数,根据倍角关系的相对性,能否用单角α的三角函数来表示

的三角函数呢?一二三2.填空(半角公式)一二三一二三二、积化和差、和差化积公式1.(1)积化和差公式有何特点?提示:积化和差公式中:同名三角函数之积化为两角和与差余弦和(差)的一半,异名三角函数之积化为两角和与差正弦和(差)的一半,等式左边为单角α,β,等式右边为它们的和与差.(3)和差化积公式有何特点?提示:余弦的和或差化为同名三角函数之积;正弦的和或差化为异名三角函数之积;等式左边为单角x与y,等式右边为

的形式.一二三2.填空

一二三3.做一做计算:(1)sin52.5°cos7.5°=

;

(2)sinαsin3α=

.

4.判断正误(1)sin5θ+sin3θ=2sin8θcos2θ.(

)(2)cos3θ-cos5θ=-2sin4θsinθ.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√一二三三、辅助角公式

一二三2.填空

答案:(1)C

(2)B探究一探究二探究三思维辨析随堂演练半角公式的应用角度1

用半角公式解决求值问题探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

已知θ的某个三角函数值,求

的三角函数值的步骤是:(1)利用同角三角函数基本关系式求得θ的其他三角函数值;(2)代入半角公式计算.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2

用半角公式解决化简与证明问题例2化简:探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

化简问题中的“三变”(1)变角:三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系,通过拆、凑等手段消除角之间的差异,合理选择联系它们的公式.(2)变名:观察三角函数种类的差异,尽量统一函数的名称,如统一为弦或统一为切.(3)变式:观察式子的结构形式的差异,选择适当的变形途径.如升幂、降幂、配方、开方等.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练积化和差、和差化积公式的应用分析:先化简条件,再求值.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练分析:根据积化和差公式将左边变形整理,进行角的统一.反思感悟

1.当条件或结论式比较复杂时,往往先将它们化为最简形式,再求解.2.当要证明的不等式一边复杂,另一边非常简单时,往往从复杂的一边入手证明,类似于化简.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究

例3若不利用积化和差公式,如何求解?探究一探究二探究三思维辨析随堂演练变式训练3已知sinA+sin3A+sin5A=a,cosA+cos3A+cos5A=b.求证:(2cos2A+1)2=a2+b2.证明由题意知(sin

A+sin

5A)+sin

3A=2sin

3A·cos

2A+sin

3A=a,(cos

A+cos

5A)+cos

3A=2cos

3Acos

2A+cos

3A=b,∴sin

3A(2cos

2A+1)=a,①cos

3A(2cos

2A+1)=b.②两式平方相加,得(2cos

2A+1)2=a2+b2.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练辅助角公式的应用例5将下列各式化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式:分析:利用三角函数公式将函数解析式化为asin

ωx+bcos

ωx的形式,再利用辅助角公式化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练忽视对角的讨论致误

错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误?探究一探究二探究三思维辨析随堂演练防范措施

在一个等式的两边同时除以一个式子时,应确保这个式子不等于零,否则容易导致错解.如果不能确定这个式子一定不为零,应注意分类讨论.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:D答案:C探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:A探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练5.6

函数y=Asin(ωx+φ)三角函数一二三一、匀速圆周运动数学模型1.填空(1)三角函数数学模型在模拟一些周期现象时应用十分广泛,但一般都能概括为y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式.(2)三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期规律、预测未来方面发挥着重要作用.一二三2.做一做如图,点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动,则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为

.

解析:当质点P从P0转到点P位置时,点P转过的角度为ωt,则∠POx=ωt+φ,由任意角的三角函数定义知点P的纵坐标y=rsin(ωt+φ).答案:y=rsin(ωt+φ)一二三3.判断正误(1)三角函数是描述现实世界中周期变化现象的重要函数模型.(

)(2)与周期有关的实际问题都必须用三角函数模型解决.(

)答案:(1)√

(2)×一二三二、图象变换1.φ对函数y=sin(x+φ),x∈R的图象的影响提示:y=sin(x+φ)的图象可以由函数y=sin

x的图象经过左右平移|φ|个单位得到.一二三(2)填空如图,函数y=sin(x+φ)(φ≠0)的图象,可以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位长度得到的.一二三答案:B一二三2.ω(ω>0)对函数y=sin(ωx+φ)的图象的影响(1)在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数y=sin2x与y=sinx的图象,从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析,y=sin(ωx+φ)的图象与y=sin(x+φ)的图象之间有什么关系?提示:y=sin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(x+φ)的图象经过左右伸缩变换得到.一二三(2)填空如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的

倍(纵坐标不变)而得到.一二三(3)做一做函数y=sin4x的图象可由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到(

)A.所有点的横坐标变为原来的4倍解析:因为ω=4>1,所以可由y=sin

x的图象上所有点的横坐标变为原来的

得到y=sin

4x的图象.答案:B一二三3.A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响(1)在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数y=4sinx与y=sinx的图象,从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察分析,y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sin(ωx+φ)的图象之间有什么关系?提示:y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过上下伸缩变换得到.一二三(2)填空如图,函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(ωx+φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到的.(3)做一做一二三三、函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法1.作函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移?提示:作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图象间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平移后伸缩,也可以先伸缩后平移.2.填空一二三(2)变换法:由y=sinx的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的方法如下:①先平移后伸缩②先伸缩后平移探究一探究二探究三思维辨析随堂演练匀速圆周运动的数学模型例1一个大风车的半径为6m,12min旋转一周,它的最低点P0离地面2m,风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转,则点P离地面距离h(m)与时间m(min)之间的函数关系式是(

)分析:由题意可设h(t)=Acos

ωt+B,根据周期性

=12,由最大值与最小值分别为14,2,即可得出.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:D反思感悟

匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式.此类问题的切入点是初始位置及其半径、频率的值要明确,半径决定了振幅A,频率或周期能确定ω,初始位置不同对φ有影响.还要注意最大值与最小值与函数中参数的关系.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:C探究一探究二探究三思维辨析随堂演练用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

1.“五点法”作图的实质利用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,实质是利用函数的三个零点及两个最值点画出函数在一个周期内的图象.2.用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)图象的步骤第一步:列表.第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点.第三步:用光滑曲线连接这些点,得到图象.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换角度1

图象的变换方式

例3由函数y=sinx的图象经过怎样的变换,可以得到函数分析:本题考查三角函数的图象变换问题,可以从先“平移变换”或先“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑,得到答案.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练角度2

求函数的解析式例4把函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象向左平移

个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y=sinx,则(

)分析:确定逆向变换过程→由伸缩变换确定ω→由平移变换确定φ→确定函数解析式探究一探究二探究三思维辨析随堂演练答案:B探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟

1.对函数y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,φ≠0,k≠0),其图象的基本变换有:①振幅变换(纵向伸缩变换):是由A的变化引起的,A>1时伸长,A<1时缩短.②周期变换(横向伸缩变换):是由ω的变化引起的,ω>1时缩短,ω<1时伸长.③相位变换(横向平移变换):是由φ引起的,φ>0时左移,φ<0时右移.④上下平移(纵向平移变换):是由k引起的,k>0时上移,k<0时下移.可以使用“先伸缩后平移”或“先平移后伸缩”两种方法来进行变换.2.若相应变换的函数名不同时,先利用诱导公式将函数名化一致,再利用相应的变换得到结论.3.由y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,φ≠0,k≠0)的图象得到y=sin

x的图象,可采用逆向思维,将原变换反过来逆推得到.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练三角函数图象平移变换规则不清致误

探究一探究二探究三思维辨析随堂演练错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?提示:错解中有3个错误点:①审题不清