第46讲重难点突破02 向量中的隐圆问题（五大题型）（解析版）-2025数学一轮复习（含2024年高考真题+回归教材）

4/34重难点突破02向量中的隐圆问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 3题型一：数量积隐圆 3题型二：平方和隐圆 6题型三：定幂方和隐圆 8题型四：与向量模相关构成隐圆 11题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆） 1503过关测试 19

技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆乘积型：定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．技巧二．极化恒等式和型：定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．技巧三．定幂方和型若为定点，，则的轨迹为圆．证明：．技巧四．与向量模相关构成隐圆坐标法妙解技巧五．阿氏圆一般地，平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，此圆被叫做阿氏圆．当时，点P的轨迹是线段AB的中垂线．题型一：数量积隐圆【典例1-1】已知平面向量满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，易知与的夹角为，设，，，由，可得，所以原问题等价于，圆上一动点与点之间距离的最小值，利用圆心和点的距离与半径的差，即可求出结果.因为，所以与的夹角为，设，，，因为，所以，又，所以原问题等价于，圆上一动点与点之间距离的最小值，又圆的圆心坐标为，半径为，所以点与圆上一动点距离的最小值为.故选：A.【典例1-2】（2024·辽宁鞍山·一模）已知平面向量，，满足，若，则的最小值为

A． B． C． D．0【答案】B【解析】因为平面向量，，满足，，，，设，，，，所以的最小值为．故选B．【变式1-1】设平面向量满足与的夹角为且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依题意建立如图所示平面直角坐标系，不妨令，因为与的夹角为所以，所以，设，则，，由，所以，即，即，即点表示以为圆心，为半径的圆，又所以；故选：A【变式1-2】（2024·辽宁沈阳·二模）已知平面向量，，，满足，，，则的最小值为（

）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】因为，，所以，所以对任意都恒成立，所以.不妨设又.当，设，所以，所以，所以，所以对应的点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，所以可以看成是到的距离，所以的最小值为.当时，同理可得的最小值为1.故选：A题型二：平方和隐圆【典例2-1】已知是单位向量，满足，则的最大值为________．【答案】【解析】依题意，可为与x轴、y轴同向的单位向量，设化简得：运用辅助角公式得：，即得：，故；故答案为：【典例2-2】已知平面向量、满足，，设，则________.【答案】【解析】因为且，所以；又因为，所以；由，所以；根据可知：，左端取等号时：三点共线且在线段外且靠近点；右端取等号时，三点共线且在线段外且靠近点，所以，所以.故答案为：.【变式2-1】在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.设，则，所以，所以点M的轨迹是一个圆D,由题得圆C和圆D相交或相切，所以，所以.故选：B【变式2-2】在平面直角坐标系中，已知直线与点，若直线上存在点满足（为坐标原点），则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】设，∵直线与点，直线上存在点满足，∴，整理,得①，∵直线上存在点M,满足，∴方程①有解，∴，解得：，故选D.题型三：定幂方和隐圆【典例3-1】已知点，，直线：上存在点，使得成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由题意得：直线，因此直线经过定点；设点坐标为，；，化简得：，因此点为与直线的交点．所以应当满足圆心到直线的距离小于等于半径解得：故答案为【典例3-2】（2024·浙江·高三期末）已如平面向量、、，满足，，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下图所示，作，，，取的中点，连接，以点为圆心，为半径作圆，，，，所以，为等边三角形，为的中点，，所以，的底边上的高为，，，所以，，所以，，由圆的几何性质可知，当、、三点共线且为线段上的点时，的面积取得最大值，此时，的底边上的高取最大值，即，则，因此，的最大值为.故选：B.【变式3-1】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中）已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为A． B． C． D．【答案】A【解析】由推出，所以，如图，终点的轨迹是以为半径的圆，设，，，，所以表示的距离，显然当时最小，M的最大值为圆心到的距离加半径，即，故选：A【变式3-2】已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．1【答案】C【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得，设，则，则点C在以AB为直径的圆O周上运动，由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，设，利用三角函数求的最值．由得：，即，设，则，则点C在以AB为直径的圆O上运动，由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，设，则，所以当时，|DC|取最大值，故选：C．题型四：与向量模相关构成隐圆【典例4-1】已知平面向量，，且，，向量满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，因为，所以，如图，令，则，，所以，，因为，，所以，即，设，则点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，令，则，所以当，且C，P，Q三点共线时，取最小值，则，故选：A【典例4-2】已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图，根据投影向量，，则，且，因为，所以点C在以O为圆心，半径的圆上运动．设M是AB的中点，由极化恒等式得：，因为，此时，即的最小值为，故选：D．【变式4-1】（2024·高三·浙江·期末）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为.【答案】【解析】如图，，设，则向量满足，设，所以点为以为圆心，以为半径的圆上的一点，所以，同理，取点，则，又因，所以，所以，即，所以，由三角形的三边关系知.故填：.【变式4-2】已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________．【答案】【解析】作图，，则，，因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上；同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上，所以的最小值则为，因为，，当，，三点共线时，，所以.故答案为：.【变式4-3】已知是单位向量，.若向量满足，则||的最大值是________.【答案】/【解析】法一由，得.如图所示，分别作,作，由于是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形，所以,作，则,所以点P在以C为圆心，1为半径的圆上.由图可知，当点O，C，P三点共线且点P在点P1处时，||取得最大值,故||的最大值是,故答案为：法二由，得，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，由，得，所以点C在以(1,1)为圆心，1为半径的圆上.所以故答案为：题型五：线段比定值隐圆（阿氏圆）【典例5-1】已知平面向量，，，满足，且，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】建立如图所示的直角坐标系：依题意设，，，，，则，故C在以为圆心，半径为1的圆上，如图，取点，则，，且，因此，，故，又，由于，当E，M，C三点共线且点C在线段上时，等号取到，因此.故选:C.【典例5-2】（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，，满足，且，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如图所示的直角坐标系，设，则，故点在以为圆心，半径为1的圆上，如图：取点,则,且,因此,所以,故,由于,当三点共线且点在线段上时，等号取到，因此，故选：D【变式5-1】已知平面向量满足，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如图所示直角坐标系，由题意可设，，则，，由得，故C在以为圆心，半径为1的圆上，取，则在AD上，则，又，∴，∴，即，∴.故选：D【变式5-2】（2024·高三·山东日照·期中）已知平面向量，，满足⊥，且，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，则，，即C在以为圆心，2为半径的圆上，如图，取，则，又，所以有～，所以，又因为，，所以．故选：B.【变式5-3】已知平面向量，，满足：，，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【解析】如图，为单位圆，、、在上，，，在的延长线上，，为中点，为中点，在的延长线上，，设，，为上一点，，则，△，，同理，，故选：A．1．已知平面向量满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，设，由，不妨设，又，不妨设在直线上，又可得，即，则，设，则，则，即，则在以为圆心，1为半径的圆上；又，则的最小值等价于的最小值，即以为圆心，1为半径的圆上一点到直线上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即，则的最小值是.故选：D.2．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是()A． B．C． D．2【答案】A【解析】是平面内两个互相垂直的单位向量，如图所示，设，，，则，，由可知，所以C点在以AB为直径的圆上，即四点共圆当为圆的直径时，最大，此时故选：A3．（2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中）已知向量，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，是平面内两个互相垂直的单位向量，故可设，，，则，，因为，所以，整理得到，即，故的最大值为，故选：B.4．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（

）A． B．2 C． D．【答案】C【解析】如图，设，，，，则，，因为，故，故，所以在以为直径的圆上，故的最大值为圆的直径，故选：C.5．已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】均为单位向量且，不妨设，，且，，，，的几何意义表示的是点到和两点的距离之和，和两点确定的直线为，即，原点到的距离，与相交，则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，所求最小值为.故选：B.6．（2024·北京朝阳·一模）在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，以所在直线为轴，以的垂直平分线建立轴，建立平面直角坐标系，由，，则，所以，，，设，则，，则，当时，取得最小值，此时，.故选：B7．（2024·高三·重庆·开学考试）在同一直角坐标平面内，已知点，点P满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，，所以，即，所以，，所以的最小值为.故选：A8．已知向量，，满足，，，，则的最小值等于（

）A． B． C．4 D．【答案】C【解析】如图，建立平面直角坐标系，依题意令，，，，因为，所以，即，，则，则，则的最小值为4.故选：C.9．已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】设，共起点，由，可得，所以与垂直，如图由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上，由题意可知的终点在图中所示的射线上，所以的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量，要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，故的最小值为.故选：.10．（2024·全国·模拟预测）已知向量，满足，，则的最小值为（

）A． B． C．8 D．2【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设且，因为，可得，则，所以，又因为向量满足，可得，解得，所以，，则，设，因为，当且仅当，所以，又因为在上为单调递增函数，所以，即的最小值为.故选：A.11．已知是平面内的三个单位向量，若，则的最小值是．【答案】【解析】均为单位向量且，不妨设，，且，，，，的几何意义表示的是点到和两点的距离之和的2倍，点在单位圆内，点在单位圆外，则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离，所求最小值为.故答案为：.12．已知是平面中的三个单位向量，且，则的最小值是.【答案】【解析】根据题意可设，，设，则，，又为单位向量，所以，所以表示单位圆上的点到点，的距离之和，又过点，两点的直线方程为，即，所以圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以的最小值距离为点，之间的距离.即的最小值为.故答案为：13．在平面内，已知非零向量与单位向量的夹角为，若向量满足，则的最小值为.【答案】【解析】设，，，由得：，即，所以向量的末端落在以为圆心,以为半径的圆上,即图中的虚线圆上.因为非零向量与单位向量的夹角为,所以向量的末端落在如图所示的射线上.由向量减法的三角形法则可知,向量是从圆上的点到射线上的点形成的向量.由图形的对称性可知，只需考虑上半部分即可.由几何分析可知,如图:圆心到射线的距离减去圆的半径即为最小值.所以.故答案为:14．（2024·高三·浙江·开学考试）平面中存在三个向量，，，若，，且，且满足，则的最小值．【答案】【解析】由，得与之间的夹角为90°.由，得，即与夹角为90°.数形结合得点在以点为圆心，1为半径的圆上运动．再根据阿波罗尼斯圆的性质求出的最小值.，且，则与之间的夹角为90°.将可以改写成，因此与夹角为90°.因此综上条件我们可以做出如下图象点在以点为圆心，1为半径的圆上动．根据阿波罗尼斯圆的性质可知该圆可以看成由所构成的圆（以为原点，分别以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则）.，，.故答案为：.15．已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为.【答案】/【解析】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形，设的中点为S，连接，则，所以，又为直角三角形，所以，故①，设，则由①可得，整理得：，从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，显然点P在该圆内部，所以，因为，所以；解法2：如图，因为,所以，故四边形为矩形，由矩形性质，，所以，从而，故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，显然点P在该圆内，所以.故答案为：.16．已知是边长为2的正三角形，点在平面内且，则的最大值为，最小值为.【答案】3【解析】因为，所以点在以为直径的圆上，记的中点分别为，则，因为是边长为2的正三角形，，所以，易知，当三点共线时取得最大值，此时，所以的最大值为，当重合时取得最小值，此时的最小值为.故答案为：3;.17．已知为单位向量，且，则的最小值为.【答案】【解析】因为为单位向量，有，得，由，得，得，所以，又，所以，而，则当且仅当与方向相反时“=”成立所以的最小值为；故答案为：18．设向量满足，与的