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文档简介
4/34重难点突破02向量中的隐圆问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 3题型一:数量积隐圆 3题型二:平方和隐圆 6题型三:定幂方和隐圆 8题型四:与向量模相关构成隐圆 11题型五:线段比定值隐圆(阿氏圆) 1503过关测试 19
技巧一.向量极化恒等式推出的隐圆乘积型:定理:平面内,若为定点,且,则的轨迹是以为圆心为半径的圆证明:由,根据极化恒等式可知,,所以,的轨迹是以为圆心为半径的圆.技巧二.极化恒等式和型:定理:若为定点,满足,则的轨迹是以中点为圆心,为半径的圆。证明:,所以,即的轨迹是以中点为圆心,为半径的圆.技巧三.定幂方和型若为定点,,则的轨迹为圆.证明:.技巧四.与向量模相关构成隐圆坐标法妙解技巧五.阿氏圆一般地,平面内到两个定点距离之比为常数的点的轨迹是圆,此圆被叫做阿氏圆.当时,点P的轨迹是线段AB的中垂线.题型一:数量积隐圆【典例1-1】已知平面向量满足,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意,易知与的夹角为,设,,,由,可得,所以原问题等价于,圆上一动点与点之间距离的最小值,利用圆心和点的距离与半径的差,即可求出结果.因为,所以与的夹角为,设,,,因为,所以,又,所以原问题等价于,圆上一动点与点之间距离的最小值,又圆的圆心坐标为,半径为,所以点与圆上一动点距离的最小值为.故选:A.【典例1-2】(2024·辽宁鞍山·一模)已知平面向量,,满足,若,则的最小值为
A. B. C. D.0【答案】B【解析】因为平面向量,,满足,,,,设,,,,所以的最小值为.故选B.【变式1-1】设平面向量满足与的夹角为且,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意建立如图所示平面直角坐标系,不妨令,因为与的夹角为所以,所以,设,则,,由,所以,即,即,即点表示以为圆心,为半径的圆,又所以;故选:A【变式1-2】(2024·辽宁沈阳·二模)已知平面向量,,,满足,,,则的最小值为(
)A.1 B. C.3 D.【答案】A【解析】因为,,所以,所以对任意都恒成立,所以.不妨设又.当,设,所以,所以,所以,所以对应的点的轨迹是以为圆心,以2为半径的圆,所以可以看成是到的距离,所以的最小值为.当时,同理可得的最小值为1.故选:A题型二:平方和隐圆【典例2-1】已知是单位向量,满足,则的最大值为________.【答案】【解析】依题意,可为与x轴、y轴同向的单位向量,设化简得:运用辅助角公式得:,即得:,故;故答案为:【典例2-2】已知平面向量、满足,,设,则________.【答案】【解析】因为且,所以;又因为,所以;由,所以;根据可知:,左端取等号时:三点共线且在线段外且靠近点;右端取等号时,三点共线且在线段外且靠近点,所以,所以.故答案为:.【变式2-1】在平面直角坐标系中,已知点,,圆,若圆上存在点,使得,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.【答案】B【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切,得到a的取值范围.设,则,所以,所以点M的轨迹是一个圆D,由题得圆C和圆D相交或相切,所以,所以.故选:B【变式2-2】在平面直角坐标系中,已知直线与点,若直线上存在点满足(为坐标原点),则实数的取值范围是()A. B.C. D.【答案】D【解析】设,∵直线与点,直线上存在点满足,∴,整理,得①,∵直线上存在点M,满足,∴方程①有解,∴,解得:,故选D.题型三:定幂方和隐圆【典例3-1】已知点,,直线:上存在点,使得成立,则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由题意得:直线,因此直线经过定点;设点坐标为,;,化简得:,因此点为与直线的交点.所以应当满足圆心到直线的距离小于等于半径解得:故答案为【典例3-2】(2024·浙江·高三期末)已如平面向量、、,满足,,,,则的最大值为(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】如下图所示,作,,,取的中点,连接,以点为圆心,为半径作圆,,,,所以,为等边三角形,为的中点,,所以,的底边上的高为,,,所以,,所以,,由圆的几何性质可知,当、、三点共线且为线段上的点时,的面积取得最大值,此时,的底边上的高取最大值,即,则,因此,的最大值为.故选:B.【变式3-1】(2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中)已知平面单位向量,的夹角为60°,向量满足,若对任意的,记的最小值为M,则M的最大值为A. B. C. D.【答案】A【解析】由推出,所以,如图,终点的轨迹是以为半径的圆,设,,,,所以表示的距离,显然当时最小,M的最大值为圆心到的距离加半径,即,故选:A【变式3-2】已知,是两个单位向量,与,共面的向量满足,则的最大值为(
)A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】由平面向量数量积的性质及其运算得,设,则,则点C在以AB为直径的圆O周上运动,由图知:当DC⊥AB时,|DC|≥|DC′|,设,利用三角函数求的最值.由得:,即,设,则,则点C在以AB为直径的圆O上运动,由图知:当DC⊥AB时,|DC|≥|DC′|,设,则,所以当时,|DC|取最大值,故选:C.题型四:与向量模相关构成隐圆【典例4-1】已知平面向量,,且,,向量满足,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】因为,,所以,因为,所以,如图,令,则,,所以,,因为,,所以,即,设,则点的轨迹是以为圆心,1为半径的圆,令,则,所以当,且C,P,Q三点共线时,取最小值,则,故选:A【典例4-2】已知向量满足,且向量在方向上的投影向量为.若动点C满足,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】如图,根据投影向量,,则,且,因为,所以点C在以O为圆心,半径的圆上运动.设M是AB的中点,由极化恒等式得:,因为,此时,即的最小值为,故选:D.【变式4-1】(2024·高三·浙江·期末)已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则最小值为.【答案】【解析】如图,,设,则向量满足,设,所以点为以为圆心,以为半径的圆上的一点,所以,同理,取点,则,又因,所以,所以,即,所以,由三角形的三边关系知.故填:.【变式4-2】已知、、、都是平面向量,且,若,则的最小值为____________.【答案】【解析】作图,,则,,因为,所以起点在原点,终点在以B为圆心,1为半径的圆上;同理,,所以起点在原点,终点在以C为圆心,1为半径的圆上,所以的最小值则为,因为,,当,,三点共线时,,所以.故答案为:.【变式4-3】已知是单位向量,.若向量满足,则||的最大值是________.【答案】/【解析】法一由,得.如图所示,分别作,作,由于是单位向量,则四边形OACB是边长为1的正方形,所以,作,则,所以点P在以C为圆心,1为半径的圆上.由图可知,当点O,C,P三点共线且点P在点P1处时,||取得最大值,故||的最大值是,故答案为:法二由,得,建立如图所示的平面直角坐标系,则,设,由,得,所以点C在以(1,1)为圆心,1为半径的圆上.所以故答案为:题型五:线段比定值隐圆(阿氏圆)【典例5-1】已知平面向量,,,满足,且,,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】C【解析】建立如图所示的直角坐标系:依题意设,,,,,则,故C在以为圆心,半径为1的圆上,如图,取点,则,,且,因此,,故,又,由于,当E,M,C三点共线且点C在线段上时,等号取到,因此.故选:C.【典例5-2】(2024·全国·模拟预测)已知平面向量,,满足,且,,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】建立如图所示的直角坐标系,设,则,故点在以为圆心,半径为1的圆上,如图:取点,则,且,因此,所以,故,由于,当三点共线且点在线段上时,等号取到,因此,故选:D【变式5-1】已知平面向量满足,且,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】建立如图所示直角坐标系,由题意可设,,则,,由得,故C在以为圆心,半径为1的圆上,取,则在AD上,则,又,∴,∴,即,∴.故选:D【变式5-2】(2024·高三·山东日照·期中)已知平面向量,,满足⊥,且,,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】设,,则,,即C在以为圆心,2为半径的圆上,如图,取,则,又,所以有~,所以,又因为,,所以.故选:B.【变式5-3】已知平面向量,,满足:,,则的最小值为(
)A. B.2 C. D.【答案】A【解析】如图,为单位圆,、、在上,,,在的延长线上,,为中点,为中点,在的延长线上,,设,,为上一点,,则,△,,同理,,故选:A.1.已知平面向量满足,则的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】建立平面直角坐标系,设,由,不妨设,又,不妨设在直线上,又可得,即,则,设,则,则,即,则在以为圆心,1为半径的圆上;又,则的最小值等价于的最小值,即以为圆心,1为半径的圆上一点到直线上一点距离的最小值,即圆心到直线的距离减去半径,即,则的最小值是.故选:D.2.已知是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是()A. B.C. D.2【答案】A【解析】是平面内两个互相垂直的单位向量,如图所示,设,,,则,,由可知,所以C点在以AB为直径的圆上,即四点共圆当为圆的直径时,最大,此时故选:A3.(2024·高三·黑龙江哈尔滨·期中)已知向量,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】因为,是平面内两个互相垂直的单位向量,故可设,,,则,,因为,所以,整理得到,即,故的最大值为,故选:B.4.已知,是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量满足,则的最大值是(
)A. B.2 C. D.【答案】C【解析】如图,设,,,,则,,因为,故,故,所以在以为直径的圆上,故的最大值为圆的直径,故选:C.5.已知是平面内的三个单位向量,若,则的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】均为单位向量且,不妨设,,且,,,,的几何意义表示的是点到和两点的距离之和,和两点确定的直线为,即,原点到的距离,与相交,则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离,所求最小值为.故选:B.6.(2024·北京朝阳·一模)在中,,,点在线段上.当取得最小值时,(
)A. B. C. D.【答案】B【解析】如图,以所在直线为轴,以的垂直平分线建立轴,建立平面直角坐标系,由,,则,所以,,,设,则,,则,当时,取得最小值,此时,.故选:B7.(2024·高三·重庆·开学考试)在同一直角坐标平面内,已知点,点P满足,则的最小值为(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】设,,所以,即,所以,,所以的最小值为.故选:A8.已知向量,,满足,,,,则的最小值等于(
)A. B. C.4 D.【答案】C【解析】如图,建立平面直角坐标系,依题意令,,,,因为,所以,即,,则,则,则的最小值为4.故选:C.9.已知,,是平面向量,是单位向量,若非零向量与的夹角为,向量满足,则的最小值是(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】设,共起点,由,可得,所以与垂直,如图由向量减法的几何意义可知,向量的终点落在图中的圆上,由题意可知的终点在图中所示的射线上,所以的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量,要求的最小值,只需求圆心到射线的距离减去圆的半径,故的最小值为.故选:.10.(2024·全国·模拟预测)已知向量,满足,,则的最小值为(
)A. B. C.8 D.2【答案】A【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,设且,因为,可得,则,所以,又因为向量满足,可得,解得,所以,,则,设,因为,当且仅当,所以,又因为在上为单调递增函数,所以,即的最小值为.故选:A.11.已知是平面内的三个单位向量,若,则的最小值是.【答案】【解析】均为单位向量且,不妨设,,且,,,,的几何意义表示的是点到和两点的距离之和的2倍,点在单位圆内,点在单位圆外,则点到和两点的距离之和的最小值即为和两点间距离,所求最小值为.故答案为:.12.已知是平面中的三个单位向量,且,则的最小值是.【答案】【解析】根据题意可设,,设,则,,又为单位向量,所以,所以表示单位圆上的点到点,的距离之和,又过点,两点的直线方程为,即,所以圆心到直线的距离,所以直线与圆相交,所以的最小值距离为点,之间的距离.即的最小值为.故答案为:13.在平面内,已知非零向量与单位向量的夹角为,若向量满足,则的最小值为.【答案】【解析】设,,,由得:,即,所以向量的末端落在以为圆心,以为半径的圆上,即图中的虚线圆上.因为非零向量与单位向量的夹角为,所以向量的末端落在如图所示的射线上.由向量减法的三角形法则可知,向量是从圆上的点到射线上的点形成的向量.由图形的对称性可知,只需考虑上半部分即可.由几何分析可知,如图:圆心到射线的距离减去圆的半径即为最小值.所以.故答案为:14.(2024·高三·浙江·开学考试)平面中存在三个向量,,,若,,且,且满足,则的最小值.【答案】【解析】由,得与之间的夹角为90°.由,得,即与夹角为90°.数形结合得点在以点为圆心,1为半径的圆上运动.再根据阿波罗尼斯圆的性质求出的最小值.,且,则与之间的夹角为90°.将可以改写成,因此与夹角为90°.因此综上条件我们可以做出如下图象点在以点为圆心,1为半径的圆上动.根据阿波罗尼斯圆的性质可知该圆可以看成由所构成的圆(以为原点,分别以所在直线为轴,建立平面直角坐标系,则).,,.故答案为:.15.已知圆,点,M、N为圆O上两个不同的点,且若,则的最小值为.【答案】/【解析】解法1:如图,因为,所以,故四边形为矩形,设的中点为S,连接,则,所以,又为直角三角形,所以,故①,设,则由①可得,整理得:,从而点S的轨迹为以为圆心,为半径的圆,显然点P在该圆内部,所以,因为,所以;解法2:如图,因为,所以,故四边形为矩形,由矩形性质,,所以,从而,故Q点的轨迹是以O为圆心,为半径的圆,显然点P在该圆内,所以.故答案为:.16.已知是边长为2的正三角形,点在平面内且,则的最大值为,最小值为.【答案】3【解析】因为,所以点在以为直径的圆上,记的中点分别为,则,因为是边长为2的正三角形,,所以,易知,当三点共线时取得最大值,此时,所以的最大值为,当重合时取得最小值,此时的最小值为.故答案为:3;.17.已知为单位向量,且,则的最小值为.【答案】【解析】因为为单位向量,有,得,由,得,得,所以,又,所以,而,则当且仅当与方向相反时“=”成立所以的最小值为;故答案为:18.设向量满足,与的
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