高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.7函数的图象(精讲)(原卷版+解析)

2.7函数的图象【题型解读】【知识储备】利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0，右移a个单位),\s\do5(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0，上移b个单位),\s\do5(b<0，下移|b|个单位))y＝f(x)＋b.(2)伸缩变换：f(ωx)．y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍),\s\do5(0<A<1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A倍))y＝Af(x)．(3)对称变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称),\s\do5())y＝－f(x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称),\s\do5())y＝f(－x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称),\s\do5())y＝－f(－x)．(4)翻折变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\do5(将y轴右边的图象翻折到左边去))y＝f(|x|)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图),\s\do5(将x轴下方的图象翻折到上方去))y＝|f(x)|.【题型精讲】【题型一函数图象的画法】必备技巧图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．例1(2023·济南市历城二中·月考）作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1－1；(2)y＝|lg(x－1)|；(3)y＝x2－|x|－2.【题型精练】1．(2023·全国·高三课时练习）根据的图像，作出下列函数的图像：(1)；(2)；(3)；(4)．2．(2023·安徽·安庆市高三课时练习）作出下列函数的图象：(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(2)y＝|x2－4x＋3|.(3)y＝2－|x|；(4)y＝sin|x|.【题型二函数图象的识别】必备技巧识别函数的图象的主要方法(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义域等判断．(2)利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．例2(2023·浙江镇海中学高三3月模拟）函数的图象可能是（）A． B．C． D．例3(2023·江苏苏州市·高三期末）在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（）A． B． C． D．例4(2023·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（）A． B．C． D．【题型精练】1.(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．2.(2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为(

)A． B．C． D．3.(2023·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（）A． B．C． D．【题型三利用图象研究函数性质】例5(2023·河南·林州一中高三开学考试）已知函数，则（

）A．的最大值为3，最小值为1B．的最大值为，无最小值C．的最大值为，最小值为1D．的最大值为3，最小值为-1例6(2023·全国高三专题练习）函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【题型精练】1.(2023·北京丰台·一模）已知函数无最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．(2023·甘肃省武威第一中学模拟预测）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（

）A．且 B．且C．且 D．且【题型四利用图象解不等式】例7(2023·河北·高三阶段练习）已知函数，则的解集为（

）A． B． C． D．例8(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数，若不等式的解集为，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【题型精练】1．(2023·北京·模拟预测）已知函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．2.（2023·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（

）．A． B．C． D．【题型五利用图象求参】例9(2023·安徽·巢湖市第一中学高三期中（理））已知函数，若函数有4个零点，则实数k的取值范围为_______________.【题型精练】1．(2023·山西·灵丘县第一中学校高三阶段练习）已知函数若直线与有三个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2.(2023·山西临汾·二模）已知函数有2个不同的零点，则k的取值范围是____________．2.7函数的图象【题型解读】【知识储备】利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0，右移a个单位),\s\do5(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x－a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0，上移b个单位),\s\do5(b<0，下移|b|个单位))y＝f(x)＋b.(2)伸缩变换：f(ωx)．y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍),\s\do5(0<A<1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A倍))y＝Af(x)．(3)对称变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称),\s\do5())y＝－f(x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称),\s\do5())y＝f(－x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称),\s\do5())y＝－f(－x)．(4)翻折变换：y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\do5(将y轴右边的图象翻折到左边去))y＝f(|x|)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图),\s\do5(将x轴下方的图象翻折到上方去))y＝|f(x)|.【题型精讲】【题型一函数图象的画法】必备技巧图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．例1(2023·济南市历城二中·月考）作出下列函数的图象：(1)y＝2x＋1－1；(2)y＝|lg(x－1)|；(3)y＝x2－|x|－2.【解析】(1)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图①所示．(2)首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图②所示(实线部分)．(3)y＝x2－|x|－2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x－2，x≥0，,x2＋x－2，x<0，))函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，其图象如图③所示．【题型精练】1．(2023·全国·高三课时练习）根据的图像，作出下列函数的图像：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】(1)作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像，就是该函数的图像，如下图所示：(2)把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，函数图像如下图所示：(3)作出函数关于纵轴对称的图像，连同函数的图像一起向右平移一个单位即可，如下图所示：(4)把函数的图像中纵轴下面的部分，做关于横轴对称，擦掉纵轴下面的部分，然后再向右平移一个单位，如下图所示：2．(2023·安徽·安庆市高三课时练习）作出下列函数的图象：(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(2)y＝|x2－4x＋3|.(3)y＝2－|x|；(4)y＝sin|x|.【解析】(1)y＝eq\f(2x－1,x－1)＝2＋eq\f(1,x－1)，故函数的图象可由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图①所示．(2)先用描点法作出函数y＝x2－4x＋3的图象，再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折，x轴上方的图象不变，如图②实线部分所示．(3)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x图象中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的图象，如图①实线部分．图①图②(4)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.【题型二函数图象的识别】必备技巧识别函数的图象的主要方法(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义域等判断．(2)利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．例2(2023·浙江镇海中学高三3月模拟）函数的图象可能是（）A． B．C． D．答案：D【解析】由于，所以的定义域为，因为所以为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除A，B因为，，所以排除C故选：D例3(2023·江苏苏州市·高三期末）在数学的研究性学习中，常利用函数的图象研究函数的性质，也利用函数的解析式研究函数的性质，下列函数的解析式（其中为自然对数的底数）与所给图象最契合的是（）A． B． C． D．答案：B【解析】对于A选项，当时，，与题中函数图象不符；对于B选项，设，该函数的定义域为，，函数为奇函数，当时，，，由，可得；由，可得或.所以，函数的单调递减区间为、，单调递增区间为，与题中函数图象相符；对于C选项，，所以，函数为上的增函数，与题中函数图象不符；对于D选项，对于函数，，可得，该函数的定义域为，与题中函数图象不符.故选：B.例4(2023·天津高三三模）意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》（如图所示）中，女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出，悬链线并不是抛物线，而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是（）A． B．C． D．答案：C【解析】令，则该函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，排除B选项.由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，函数的最小值为，排除AD选项.故选：C.【题型精练】1.(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测）函数的图象可能是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因为的定义域为，又因为，所以不是奇函数，排除A，B.，所以排除C.故选：D.2.(2023·全国·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为(

)A． B．C． D．答案：B【解析】对于A，，故为偶函数，图象应该关于y轴对称，与已知图象不符；对于C，也为偶函数，故排除AC；对于D，，与已知图象不符，故排除D．对于B，，故f(x)关于x=1对称，f(0)=0，均与已知图象符合，故B正确．故选：B．3.(2023·全国·高三专题练习）如图，正△ABC的边长为2，点D为边AB的中点，点P沿着边AC，CB运动到点B，记∠ADP＝x．函数f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，则y＝f（x）的图象大致为（）A． B．C． D．答案：A【解析】根据题意，f（x）＝|PB|2﹣|PA|2，∠ADP＝x．在区间（0，）上，P在边AC上，|PB|＞|PA|，则f（x）＞0，排除C；在区间（，π）上，P在边BC上，|PB|＜|PA|，则f（x）＜0，排除B，又由当x1+x2＝π时，有f（x1）＝﹣f（x2），f（x）的图象关于点（，0）对称，排除D，故选：A【题型三利用图象研究函数性质】例5(2023·河南·林州一中高三开学考试）已知函数，则（

）A．的最大值为3，最小值为1B．的最大值为，无最小值C．的最大值为，最小值为1D．的最大值为3，最小值为-1答案：B【解析】，由与，解得；解得；所以与的交点坐标为，，因为，所以，所以的图象如下图所示：由图象，可知最大值为，无最小值，故选：B．例6(2023·全国高三专题练习）函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．答案：A【解析】令,画出与的图象,平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故故选：A【题型精练】1.(2023·北京丰台·一模）已知函数无最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】对于函数，可得，由，得或，由，得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，∴函数在时有极大值2，在时有极小值，作出函数与直线的图象，由图可知，当时，函数有最小值，当时，函数没有最小值.故选：D.2．(2023·甘肃省武威第一中学模拟预测）已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（

）A．且 B．且C．且 D．且答案：C【解析】令，作出函数的图象如下图所示：由于方程至多两个实根，设为和，由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x的方程有7个不同实数解，则关于u的二次方程的一根为，则，则方程的另一根为，直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得.所以且.故选：C.【题型四利用图象解不等式】例7(2023·河北·高三阶段练习）已知函数，则的解集为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】作出函数与的图象，如图，当时，，作出函数与的图象，由图象可知，此时解得；当时，，作出函数与的图象，它们的交点坐标为、，结合图象知此时.所以不等式的解集为.故选：C例8(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测）已知函数，若不等式的解集为，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．答案：D【解析】不等式的解集为,等价于在上恒成立.当时,此时在上单调递增,当则当时,,故在上单调递减.当与相切时,设切点为,所以,解得,,此时切线方程为,该切线与轴的交点为,同理可得当与相切时,切线与轴的交点为,又因为与轴的交点为要使在上恒成立,则点在之间移动即可.故,解得故选:D【题型精练】1．(202