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文档简介
2.7函数的图象【题型解读】【知识储备】利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换:y=f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0,右移a个单位),\s\do5(a<0,左移|a|个单位))y=f(x-a);y=f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0,上移b个单位),\s\do5(b<0,下移|b|个单位))y=f(x)+b.(2)伸缩变换:f(ωx).y=f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1,横坐标不变,纵坐标伸长为原来的A倍),\s\do5(0<A<1,横坐标不变,纵坐标缩短为原来的A倍))y=Af(x).(3)对称变换:y=f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称),\s\do5())y=-f(x);y=f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称),\s\do5())y=f(-x);y=f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称),\s\do5())y=-f(-x).(4)翻折变换:y=f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y轴左边图,保留y轴右边图),\s\do5(将y轴右边的图象翻折到左边去))y=f(|x|);y=f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图),\s\do5(将x轴下方的图象翻折到上方去))y=|f(x)|.【题型精讲】【题型一函数图象的画法】必备技巧图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象.(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.例1(2023·济南市历城二中·月考)作出下列函数的图象:(1)y=2x+1-1;(2)y=|lg(x-1)|;(3)y=x2-|x|-2.【题型精练】1.(2023·全国·高三课时练习)根据的图像,作出下列函数的图像:(1);(2);(3);(4).2.(2023·安徽·安庆市高三课时练习)作出下列函数的图象:(1)y=eq\f(2x-1,x-1);(2)y=|x2-4x+3|.(3)y=2-|x|;(4)y=sin|x|.【题型二函数图象的识别】必备技巧识别函数的图象的主要方法(1)利用函数的性质.如奇偶性、单调性、定义域等判断.(2)利用函数的零点、极值点等判断.(3)利用特殊函数值判断.例2(2023·浙江镇海中学高三3月模拟)函数的图象可能是()A. B.C. D.例3(2023·江苏苏州市·高三期末)在数学的研究性学习中,常利用函数的图象研究函数的性质,也利用函数的解析式研究函数的性质,下列函数的解析式(其中为自然对数的底数)与所给图象最契合的是()A. B. C. D.例4(2023·天津高三三模)意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》(如图所示)中,女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出,悬链线并不是抛物线,而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是()A. B.C. D.【题型精练】1.(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测)函数的图象可能是(
)A. B.C. D.2.(2023·全国·模拟预测)已知函数的部分图象如图所示,则的解析式可能为(
)A. B.C. D.3.(2023·全国·高三专题练习)如图,正△ABC的边长为2,点D为边AB的中点,点P沿着边AC,CB运动到点B,记∠ADP=x.函数f(x)=|PB|2﹣|PA|2,则y=f(x)的图象大致为()A. B.C. D.【题型三利用图象研究函数性质】例5(2023·河南·林州一中高三开学考试)已知函数,则(
)A.的最大值为3,最小值为1B.的最大值为,无最小值C.的最大值为,最小值为1D.的最大值为3,最小值为-1例6(2023·全国高三专题练习)函数,若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是()A. B. C. D.【题型精练】1.(2023·北京丰台·一模)已知函数无最小值,则的取值范围是(
)A. B. C. D.2.(2023·甘肃省武威第一中学模拟预测)已知函数,则关于的方程有个不同实数解,则实数满足(
)A.且 B.且C.且 D.且【题型四利用图象解不等式】例7(2023·河北·高三阶段练习)已知函数,则的解集为(
)A. B. C. D.例8(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测)已知函数,若不等式的解集为,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.【题型精练】1.(2023·北京·模拟预测)已知函数,则不等式的解集是(
)A. B. C. D.2.(2023·北京·高考真题)已知函数,则不等式的解集是(
).A. B.C. D.【题型五利用图象求参】例9(2023·安徽·巢湖市第一中学高三期中(理))已知函数,若函数有4个零点,则实数k的取值范围为_______________.【题型精练】1.(2023·山西·灵丘县第一中学校高三阶段练习)已知函数若直线与有三个不同的交点,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.2.(2023·山西临汾·二模)已知函数有2个不同的零点,则k的取值范围是____________.2.7函数的图象【题型解读】【知识储备】利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换:y=f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0,右移a个单位),\s\do5(a<0,左移|a|个单位))y=f(x-a);y=f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0,上移b个单位),\s\do5(b<0,下移|b|个单位))y=f(x)+b.(2)伸缩变换:f(ωx).y=f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1,横坐标不变,纵坐标伸长为原来的A倍),\s\do5(0<A<1,横坐标不变,纵坐标缩短为原来的A倍))y=Af(x).(3)对称变换:y=f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称),\s\do5())y=-f(x);y=f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称),\s\do5())y=f(-x);y=f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称),\s\do5())y=-f(-x).(4)翻折变换:y=f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y轴左边图,保留y轴右边图),\s\do5(将y轴右边的图象翻折到左边去))y=f(|x|);y=f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图),\s\do5(将x轴下方的图象翻折到上方去))y=|f(x)|.【题型精讲】【题型一函数图象的画法】必备技巧图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象.(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.例1(2023·济南市历城二中·月考)作出下列函数的图象:(1)y=2x+1-1;(2)y=|lg(x-1)|;(3)y=x2-|x|-2.【解析】(1)将y=2x的图象向左平移1个单位长度,得到y=2x+1的图象,再将所得图象向下平移1个单位长度,得到y=2x+1-1的图象,如图①所示.(2)首先作出y=lgx的图象,然后将其向右平移1个单位长度,得到y=lg(x-1)的图象,再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方,即得所求函数y=|lg(x-1)|的图象,如图②所示(实线部分).(3)y=x2-|x|-2=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2-x-2,x≥0,,x2+x-2,x<0,))函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,其图象如图③所示.【题型精练】1.(2023·全国·高三课时练习)根据的图像,作出下列函数的图像:(1);(2);(3);(4).【解析】(1)作出函数关于纵轴对称的图像,连同函数的图像,就是该函数的图像,如下图所示:(2)把函数的图像中纵轴下面的部分,做关于横轴对称,擦掉纵轴下面的部分,函数图像如下图所示:(3)作出函数关于纵轴对称的图像,连同函数的图像一起向右平移一个单位即可,如下图所示:(4)把函数的图像中纵轴下面的部分,做关于横轴对称,擦掉纵轴下面的部分,然后再向右平移一个单位,如下图所示:2.(2023·安徽·安庆市高三课时练习)作出下列函数的图象:(1)y=eq\f(2x-1,x-1);(2)y=|x2-4x+3|.(3)y=2-|x|;(4)y=sin|x|.【解析】(1)y=eq\f(2x-1,x-1)=2+eq\f(1,x-1),故函数的图象可由y=eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图①所示.(2)先用描点法作出函数y=x2-4x+3的图象,再把x轴下方的图象沿x轴向上翻折,x轴上方的图象不变,如图②实线部分所示.(3)先作出y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象,保留y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x图象中x≥0的部分,再作出y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))|x|的图象,如图①实线部分.图①图②(4)当x≥0时,y=sin|x|与y=sinx的图象完全相同,又y=sin|x|为偶函数,图象关于y轴对称,其图象如图②.【题型二函数图象的识别】必备技巧识别函数的图象的主要方法(1)利用函数的性质.如奇偶性、单调性、定义域等判断.(2)利用函数的零点、极值点等判断.(3)利用特殊函数值判断.例2(2023·浙江镇海中学高三3月模拟)函数的图象可能是()A. B.C. D.答案:D【解析】由于,所以的定义域为,因为所以为奇函数,其图象关于原点对称,所以排除A,B因为,,所以排除C故选:D例3(2023·江苏苏州市·高三期末)在数学的研究性学习中,常利用函数的图象研究函数的性质,也利用函数的解析式研究函数的性质,下列函数的解析式(其中为自然对数的底数)与所给图象最契合的是()A. B. C. D.答案:B【解析】对于A选项,当时,,与题中函数图象不符;对于B选项,设,该函数的定义域为,,函数为奇函数,当时,,,由,可得;由,可得或.所以,函数的单调递减区间为、,单调递增区间为,与题中函数图象相符;对于C选项,,所以,函数为上的增函数,与题中函数图象不符;对于D选项,对于函数,,可得,该函数的定义域为,与题中函数图象不符.故选:B.例4(2023·天津高三三模)意大利画家列奥纳多·达·芬奇的画作《抱银鼠的女子》(如图所示)中,女士颈部的黑色珍珠项链与她怀中的白貂形成对比.光线和阴影衬托出人物的优雅和柔美.达·芬奇提出:固定项链的两端,使其在重力的作用下自然下垂,形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”.后人研究得出,悬链线并不是抛物线,而是与解析式为的“双曲余弦函数”相关.下列选项为“双曲余弦函数”图象的是()A. B.C. D.答案:C【解析】令,则该函数的定义域为,,所以,函数为偶函数,排除B选项.由基本不等式可得,当且仅当时,等号成立,所以,函数的最小值为,排除AD选项.故选:C.【题型精练】1.(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟预测)函数的图象可能是(
)A. B.C. D.答案:D【解析】因为的定义域为,又因为,所以不是奇函数,排除A,B.,所以排除C.故选:D.2.(2023·全国·模拟预测)已知函数的部分图象如图所示,则的解析式可能为(
)A. B.C. D.答案:B【解析】对于A,,故为偶函数,图象应该关于y轴对称,与已知图象不符;对于C,也为偶函数,故排除AC;对于D,,与已知图象不符,故排除D.对于B,,故f(x)关于x=1对称,f(0)=0,均与已知图象符合,故B正确.故选:B.3.(2023·全国·高三专题练习)如图,正△ABC的边长为2,点D为边AB的中点,点P沿着边AC,CB运动到点B,记∠ADP=x.函数f(x)=|PB|2﹣|PA|2,则y=f(x)的图象大致为()A. B.C. D.答案:A【解析】根据题意,f(x)=|PB|2﹣|PA|2,∠ADP=x.在区间(0,)上,P在边AC上,|PB|>|PA|,则f(x)>0,排除C;在区间(,π)上,P在边BC上,|PB|<|PA|,则f(x)<0,排除B,又由当x1+x2=π时,有f(x1)=﹣f(x2),f(x)的图象关于点(,0)对称,排除D,故选:A【题型三利用图象研究函数性质】例5(2023·河南·林州一中高三开学考试)已知函数,则(
)A.的最大值为3,最小值为1B.的最大值为,无最小值C.的最大值为,最小值为1D.的最大值为3,最小值为-1答案:B【解析】,由与,解得;解得;所以与的交点坐标为,,因为,所以,所以的图象如下图所示:由图象,可知最大值为,无最小值,故选:B.例6(2023·全国高三专题练习)函数,若方程有且只有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是()A. B. C. D.答案:A【解析】令,画出与的图象,平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故故选:A【题型精练】1.(2023·北京丰台·一模)已知函数无最小值,则的取值范围是(
)A. B. C. D.答案:D【解析】对于函数,可得,由,得或,由,得,∴函数在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,∴函数在时有极大值2,在时有极小值,作出函数与直线的图象,由图可知,当时,函数有最小值,当时,函数没有最小值.故选:D.2.(2023·甘肃省武威第一中学模拟预测)已知函数,则关于的方程有个不同实数解,则实数满足(
)A.且 B.且C.且 D.且答案:C【解析】令,作出函数的图象如下图所示:由于方程至多两个实根,设为和,由图象可知,直线与函数图象的交点个数可能为0、2、3、4,由于关于x的方程有7个不同实数解,则关于u的二次方程的一根为,则,则方程的另一根为,直线与函数图象的交点个数必为4,则,解得.所以且.故选:C.【题型四利用图象解不等式】例7(2023·河北·高三阶段练习)已知函数,则的解集为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】作出函数与的图象,如图,当时,,作出函数与的图象,由图象可知,此时解得;当时,,作出函数与的图象,它们的交点坐标为、,结合图象知此时.所以不等式的解集为.故选:C例8(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学模拟预测)已知函数,若不等式的解集为,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.答案:D【解析】不等式的解集为,等价于在上恒成立.当时,此时在上单调递增,当则当时,,故在上单调递减.当与相切时,设切点为,所以,解得,,此时切线方程为,该切线与轴的交点为,同理可得当与相切时,切线与轴的交点为,又因为与轴的交点为要使在上恒成立,则点在之间移动即可.故,解得故选:D【题型精练】1.(202
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