高一数学下学期考点精讲+精练(人教A版2019必修第二册)第06练空间直线、平面的垂直(原卷版+解析)

第6练空间直线、平面的垂直eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，，，则（

）A． B． C． D．2．直三棱柱中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，交于点E．要使，则线段的长为（

）A． B．1 C． D．23．下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形，底面ABCD，是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．5．已知圆锥的顶点为点S，底面圆心为点O，高是底面半径r的倍，点A，B是底面圆周上的两点，若△SAB是等边三角形，则O到平面SAB的距离为（

）A． B． C． D．6．如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论错误的是（）A．CM与PN是异面直线B．CM>PNC．平面PAN⊥平面BDD1B1D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形8．如图，四边形为正方形，平面，，，则与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．9．已知三棱锥中，，，D是的中点，平面ABC，点P，A，B，C在球心为O的球面上，若三棱锥的体积是，则球O的半径为（

）A． B．1 C． D．10．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．11．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（

）（1）或

（2）（3）

（4）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个12．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（

）①②③④A．0个 B．1个 C．2个 D．3个13．设m，n是不同的直线，是平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则14．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列为假命题的是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，，则15．已知直线和平面满足：，则（

）A． B．或 C． D．16．如图所示，在正方体的棱上任取一点，作与点，则与平面的关系是（）A．平行B．平面C．相交但不垂直D．垂直17．如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：①平面；②三棱锥体积为定值；③平面；④平面平面；其中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④18．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是(

)A． B． C． D．19．如图，平行四边形的边⊥平面，且，则（

）A． B．C． D．20．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则（

）A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B与l异面但不垂直D．B1B与l相交但不垂直21．在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（

）A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD22．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（）A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面23．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（）A．20° B．70°C．90° D．110°24．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是（）A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α二、多选题25．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（

）A．直线与为异面直线B．平面C．D．三棱锥的体积为26．如图，在直三棱柱中，△ABC是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的点（不包括端点），则下列说法正确的是（

）A．平面ABMB．三棱锥的体积的取值范围是C．存在点P，使得BP与平面所成的角为60°D．存在点P，使得AP与BM垂直27．在正方体中，点Р在线段上运动，则下列结论正确的有（

）A．直线平面B．三棱锥体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为28．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是（）A．EF平面ABC1D1B．EF⊥B1CC．EF与AD1所成角为60°D．EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为29．下列说法，正确的有（

）A．a//b，b//α，则a//α B．aα，bα，则a//bC．a//α，b//α，则a//b D．α//，//，则α//30．是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（

）A． B．C． D．31．已知，是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则32．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（

）A． B．平面C．与平面所成角是 D．与所成的角等于与所成的角三、填空题33．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则___________.34．，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是__________.①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么.35．三棱锥D-ABC中，△BCD是边长为2的正三角形，△BCD与△ABC所在平面互相垂直，且AC=1，.则AD=___________.36．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论：①；②；③直线与底面所成角的正弦值为；④面积的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_________．37．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是________（填上所有正确的序号）．①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.38．如图，在棱长为1的正方体中，点E、F、G分别为棱、、的中点，P是底面ABCD上的一点，若平面GEF，则下面的4个判断①点P的轨迹是一段长度为的线段；②线段的最小值为；③；④与一定异面．其中正确判断的序号为__________．39．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是_______（填写序号）①平面

②三棱锥的体积的取值范围为③与为异面直线

④存在点P，使得与垂直40．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________．41．如图，在直三棱柱ABC­-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．42．如图所示，在正方体中，分别是棱和上的点，若是直角，则等于________．43．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A­-BD­-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为________．四、解答题44．如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，D是的中点，与交于点O，且平面(1)证明：；(2)若，求三棱柱的高.45．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.46．如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求直线与平面所成角的余弦值.47．如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，，，是上的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．48．如图，三棱柱中，底面ABC，，且．(1)求直线与平面ABC所成角的大小；(2)求证：平面．49．如图所示，直三棱柱ABC­A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，C点到AB1的距离为CE，D为AB的中点．求证：(1)CD⊥AA1；(2)AB1⊥平面CED.50．如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成角的大小．51．如图，已知三棱锥P­ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且是正三角形，PA⊥PC.求证：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.52．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：(1)AB∥平面A1B1C；(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.第6练空间直线、平面的垂直eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)一、单选题1．已知，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，，，则（

）A． B． C． D．【解析】因为，，则，又，，所以，而与可能平行、相交或异面.故选：D2．直三棱柱中，侧棱长为2，，，D是的中点，F是上的动点，，交于点E．要使，则线段的长为（

）A． B．1 C． D．2【解析】设，平面，，由已知可得，设斜边上的高为,则，对三角形使用等面积法得，,所以由中位线定理知，在中,，对使用等面积法得，解得，故选：B.3．下列命题中错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【解析】对于，设平面∩平面=直线a,设直线，且ba,则显然直线平面，根据线面平行的判定定理可得直线b，故正确；对于B，如果内存在直线与平行，则由面面垂直的判定定理可知平面⊥平面，与已知矛盾，故正确；对于C，设平面α平面，平面β平面γ,在内作直线，由面面垂直的性质定理可得，又∵直线,∴,又∵α∩β＝l，∴为相交直线，又∵平面，∴l⊥平面γ，故C正确；平面α⊥平面β，设平面α∩平面β，在平面α内与平行的直线都不与平面垂直，故D项错误．故选:D.4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形，底面ABCD，是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．【解析】∵底面ABCD为菱形，∴，又底面ABCD，∴，∴平面PBD，∴，即，取PC的中点M，如下图：连结BM，OM，在中，MB=MC=MP=PC，在中MO=PC，∴点M为三棱椎P-BOC的外接球的球心，在中，由于，O是AC的中点，所以是等腰三角形，

，外接球半径为，外接球的体积为；故选：B.5．已知圆锥的顶点为点S，底面圆心为点O，高是底面半径r的倍，点A，B是底面圆周上的两点，若△SAB是等边三角形，则O到平面SAB的距离为（

）A． B． C． D．【解析】由题意高，则，即解得故选：B6．如图，在四面体ABCD中，若AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是（

）A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC【解析】因AB=CB，AD=CD，E是AC的中点，则，而，平面，则有平面，又平面，所以平面ABC⊥平面BDE，C正确；在平面内取点P，作，垂足分别为M，N，如图，因平面ABC⊥平面BDE，平面ABC平面，则平面BDE，则有，若平面ABC⊥平面ABD，同理可得，而，平面，于是得平面，显然BD与平面不一定垂直，A不正确；过A作边上的高，连，由得，是边上的高，则是二面角的平面角，而不一定是直角，即平面ABD与平面BDC不一定垂直，B不正确；因平面，则是二面角的平面角，不一定是直角，平面ABC与平面ADC不一定垂直，D不正确.故选：C7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论错误的是（）A．CM与PN是异面直线B．CM>PNC．平面PAN⊥平面BDD1B1D．过P，A，C三点的正方体的截面一定是等腰梯形【解析】对于选项A，如图，连接NC，PC.在△PAC中，M为AP的中点，N为AC的中点，CN，PM交于点A，所以CM与PN共面，故A错误.对于选项B，因为P为线段A1D1上的动点（不包括两个端点），所以AC>AP.在△MAC中，CM2=AC2+AM2-2AC·AMcos∠MAC=AC2+AP2-AC·AP·cos∠MAC.在△PAN中，PN2=AP2+AN2-2AP·ANcos∠PAN=AP2+AC2-AP·ACcos∠PAN，则CM2-PN2=（AC2-AP2）>0，所以CM>PN，故B正确.对于选项C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，得AC⊥平面BDD1B1，即AN⊥平面BDD1B1，又AN⊂平面PAN，所以平面PAN⊥平面BDD1B1，故C正确.对于选项D，连接A1C1，在平面A1B1C1D1内作PK∥A1C1，交C1D1于K，连接KC.在正方体中，A1C1∥AC，所以PK∥AC，PK，AC共面，所以四边形PKCA就是过P，A，C三点的正方体的截面，AA1=CC1，A1P=C1K，所以AP=CK，即梯形PKCA为等腰梯形.故D正确.故选：A.8．如图，四边形为正方形，平面，，，则与所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【解析】由于平面，所以，由于，所以平面.设是的中点，连接，由于，所以四边形是平行四边形，所以，由于，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以是直线与所成角，设，所以，所以.故选：D9．已知三棱锥中，，，D是的中点，平面ABC，点P，A，B，C在球心为O的球面上，若三棱锥的体积是，则球O的半径为（

）A． B．1 C． D．【解析】三棱锥的体积,则，则的外接圆的圆心为的中点,又平面ABC，所以三棱锥的外接球的球心在直线上如图，三棱锥的外接球的半径为，连接,则,在直角三角形中，，即，解得故选：D10．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的余弦值为（

）A． B．C． D．【解析】连接交于点，连接，由，可得为正方形即，由长方体的性质可知面，面，所以，且，∴平面，则为则与平面所成角，在中，，，∴，即与平面所成角的余弦值为.故选：C.11．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（

）（1）或

（2）（3）

（4）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解析】对于（1），由可得或，故（1）正确；对于（2），由可得，故（2）正确；对于（3），由可得或异面，故（3）错误；对于（4），由于，缺少相交的条件，故不一定成立.故（4）错误.故四个命题中正确的有2个.故选：C.12．已知m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的有（

）①②③④A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解析】对于①，若，由于m，n不一定相交，故也不一定成立，故①错误；对于②，若，则，故②正确；对于③，若，则m，n可能平行也可能异面，故③错误；对于④，若，则或nα，故④错误；.综上得命题中正确的是②，共1个，故选：B.13．设m，n是不同的直线，是平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【解析】对于A，当时，或在平面内，所以A错误，对于B，当时，可能平行，可能相交，也可能异面，所以B错误，对于C，当时，或在平面内，所以C错误，对于D，当时，由垂直于同一平面的两条直线平行，可得，所以D正确．故选：D14．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列为假命题的是（

）A．若，，则 B．若，，，则C．若，，则 D．若，，，则【解析】对于A，，存在直线，使得；又，，，A正确；对于B，，存在直线，使得，又，，，B正确；对于C，若，，则或，C错误；对于D，，，，又，，D正确.故选：C.15．已知直线和平面满足：，则（

）A． B．或 C． D．【解析】当，时，，故由，可得；当，，则，故由，可得或.故选：B.16．如图所示，在正方体的棱上任取一点，作与点，则与平面的关系是（）A．平行B．平面C．相交但不垂直D．垂直【解析】由正方体的结构特征可知，平面平面，又平面平面，且平面，，由平面与平面垂直的性质可得，平面．故与平面的关系是相交且垂直．故选：D．17．如图，设分别是长方体棱上的两个动点，点在点的左边，且满足，有下列结论：①平面；②三棱锥体积为定值；③平面；④平面平面；其中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【解析】与显然不垂直，而，因此与显然不垂直，从而平面是错误的，①错；，三棱锥中，平面即平面，到平面的距离为是定值，中，的长不变，到的距离不变，面积为定值，因此三棱锥体积是定值，②正确；平面就是平面，而与平面相交，③错；长方体中平面，平面，所以平面平面，即平面平面，④正确．故选：C．18．如图，棱长为2正方体，为底面的中心，点在侧面内运动且，则点到底面的距离与它到点的距离之和最小是(

)A． B． C． D．【解析】取中点，连接，由，，可知，则，∴由知，即.∵平面ABCD，⊥平面ABCD，∴AC⊥，又AC⊥BD，BD∩＝B，∴平面，∵平面，∴，∵，∴平面，∵，∴平面，平面，∵在侧面内，∴平面平面，即P在CF上；∵平面⊥平面ABCD，且交线为BC，∴P到平面ABCD的距离即为P到BC的距离，将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面，如图：将B关于CF对称到，过作与E，则即为点到底面的距离与它到点的距离之和的最小值.以B为原点，建立如图所示坐标系，则B(0，0)，F(1，0)，C(0，2)，直线CF方程为，即，设，则，∴.故选：A﹒19．如图，平行四边形的边⊥平面，且，则（

）A． B．C． D．【解析】因为四边形为平行四边形，所以，且．因为⊥平面，所以⊥平面，所以⊥．因为，所以．又，所以．故选：D20．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则（

）A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B与l异面但不垂直D．B1B与l相交但不垂直【解析】因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以，l∥B1B．故选：B21．在四棱锥P­ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是（

）A．平面PAB⊥平面PADB．平面PAB⊥平面PBCC．平面PBC⊥平面PCDD．平面PCD⊥平面PAD【解析】已知PA⊥底面ABCD，可得，又底面ABCD为矩形而平面，平面平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PAD又平面，平面PBC⊥平面PAB选项A，B，D可证明故选：C22．如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（）A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．HG⊥△AEF所在平面【解析】原图中AD⊥DF，AB⊥BE，所以折起后AH⊥FH，AH⊥EH，FH∩EH＝H，又FH平面EFH，EH平面EFH，所以AH⊥△EFH所在平面．故A正确，B错误；由上知，，故D错误；由原图知与不垂直，故C错误.故选：A.23．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于（）A．20° B．70°C．90° D．110°【解析】∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角，又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°故选：B24．已知平面α，β，γ，则下列命题中正确的是（）A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥β，β⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α【解析】A中α，γ可以相交.如图所示:设直线a⊥平面β，过a任作两平面和，则，，而直线a，故A错误；对于B,由β⊥γ，设,在内作a的垂线b,如图所示：由面面垂直的性质定理可得，由于α∥β,∴，又∵，∴,故B正确.C中如图：a与b不一定垂直,直线a,b可能垂直，也可能不垂直，甚至平行，故C错误；D中当时，才能利用面面垂直的性质定理得到，没有此条件，则b可能与成任意的角度，甚至在内，不能判定b⊥α，如图所示：故D错误.故选：B.二、多选题25．如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（

）A．直线与为异面直线B．平面C．D．三棱锥的体积为【解析】对于A，直线平面，平面，直线，则易得直线与为异面直线，故A正确；对于B，因为平面平面，所以平面，故B正确；对于C，连接，因为正方体中，，所以平面，所以，故C正确；对于D，三棱锥的体积，故D错误．故选:ABC.26．如图，在直三棱柱中，△ABC是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的点（不包括端点），则下列说法正确的是（

）A．平面ABMB．三棱锥的体积的取值范围是C．存在点P，使得BP与平面所成的角为60°D．存在点P，使得AP与BM垂直【解析】由题意得．则，，所以与不垂直．故A错误；，点B到平面的距离为，由，所以，所以，又，则，故B正确；BP与平面所成的角即为BP与平面ABC所成的角，设为，易知当点P与M重合时，最小，此时，当点P与重合时，最大，此时，，此时，故存在点P，使得BP与平面所成的角为60°，故C正确；若，设中点为，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，则平面，因为平面，所以，因为，，故与不垂直，故不合题意，故D错误．故选：BC27．在正方体中，点Р在线段上运动，则下列结论正确的有（

）A．直线平面B．三棱锥体积为定值C．异面直线与所成角的取值范围是D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为【解析】对A，连接，由正方体可得，且平面，则，又，所以平面，故，同理，连接，因为平面，所以，又因为，，所以，且，所以平面，故，又，所以平面，故A正确；对B，，因为点Р在线段上运动，所以，面积为定值，又到平面的距离即到平面的距离，也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；对C，当点Р与重合时，与所成角分别为，此时与所成角最小，因为为正三角形，所以与所成角的最小值为，故C错误；对D，因为平面，所以当与平面所成角的正弦值最大时，与所成角的余弦值最大，此时所成角为，设棱长为，在中，，故D正确.故选：ABD28．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是（）A．EF平面ABC1D1B．EF⊥B1CC．EF与AD1所成角为60°D．EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为【解析】对于A，连结BD1，在DD1B中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B，又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，∴EF平面ABC1D1，故A正确；对于B，∵平面，且平面，平面，∴B1C⊥AB，又B1C⊥BC1又AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B∴B1C⊥平面ABC1D1又∵BD1平面ABC1D1∴B1C⊥BD1，而EFBD1∴EF⊥B1C，故B正确；对于C，由选项A，可知，在中，可知，所以，所以EF与AD1所成角不为60°，故C不正确；对于D，由选项A，可知，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中，可知，所以，故D正确.故选：ABD29．下列说法，正确的有（

）A．a//b，b//α，则a//α B．aα，bα，则a//bC．a//α，b//α，则a//b D．α//，//，则α//【解析】选项A，由a//b，b//α，则或，错误；选项B，由线面垂直的性质，正确；选项C，a//α，b//α，则可能平行、相交、异面，错误；选项D，由面面平行的性质，正确故选：BD30．是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（

）A． B．C． D．【解析】对于A：由、，可得，又，所以，故A正确；对于B：由、，可得，又，则或，故B错误；对于C：由，则或，又，则或或与相交（不垂直）或，故C错误；对于D：由、，可得，又，所以，故D正确；故选：AD31．已知，是两个不同的平面，是一条直线，则下列命题中正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【解析】对于A，若，，则或，故A不正确；对于B，若，，则，故B正确；对于C，若，，过的平面与相交，设交线为，，，，则，，则，，故，故C正确；对于D，若，，则与不一定垂直，故D不正确；故选：BC．32．如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中正确的有（

）A． B．平面C．与平面所成角是 D．与所成的角等于与所成的角【解析】A选项，为正方形，，又平面，，又，平面，，A选项正确；B选项，为正方形，，又平面，且平面，平面，B选项正确；C选项，底面，与平面所成角是，C选项错误；D选项，为正方形，则与所成的角，又底面，则，所以与所成的角，D选项错误；故选：AB.三、填空题33．在四棱锥中，底面是矩形，底面，且，，则___________.【解析】因为底面，底面，所以，设，则，，.故.故答案为：34．，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是__________.①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么.【解析】对于①：如果，，那么或.因为，那么可能相交，也可能平行.故①错误.对于②：如果，所以过n的平面，.因为根据线面垂直的性质可得，所以.故②正确；对于③：如果，，那么m、n没有公共点，所以或m、n异面.故③错误；对于④：如果，，根据线面垂直的性质可得：.故④正确.故答案为：②④35．三棱锥D-ABC中，△BCD是边长为2的正三角形，△BCD与△ABC所在平面互相垂直，且AC=1，.则AD=___________.【解析】取中点，连接，是正三角形，则，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，，则，又，所以，，所以，所以．故答案为：2．36．如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，且，，，，分别是，的中点，是线段上的动点，给出下列四个结论：①；②；③直线与底面所成角的正弦值为；④面积的取值范围是.其中所有正确结论的序号是_________．【解析】由，得平面，因为平面，所以，①正确计算可得,，，所以，②不正确；由线面角定义知，就是直线与底面所成的角，，③不正确；由得，，，时最小，④正确．故答案为：①④37．如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是________（填上所有正确的序号）．①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.【解析】连接MN交AE于点P，则MP∥DE，NP∥AB，∵AB∥CD，∴NP∥CD.对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正确；对于②，∵AE⊥MP，AE⊥NP，∴AE⊥平面MNP，∴AE⊥MN，故②正确；对于③，∵NP∥AB，∴不论D折至何位置（不在平面ABC内）都不可能有MN∥AB，故③不正确；对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时，EC⊥平面ADE，∴EC⊥AD，故④正确．故答案为：①②④.38．如图，在棱长为1的正方体中，点E、F、G分别为棱、、的中点，P是底面ABCD上的一点，若平面GEF，则下面的4个判断①点P的轨迹是一段长度为的线段；②线段的最小值为；③；④与一定异面．其中正确判断的序号为__________．【解析】分别连接，所以，又因为，则，同理，，故平面平面，又因为平面GEF，且P是底面ABCD上的一点，所以点在上．所以点P的轨迹是一段长度为，故①正确；当为中点时，线段最小，最小值为，故②错；因为在正方体中，平面，又平面，则，故③正确；当与重合时，与平行，则④错．故答案为：①③39．如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，M为的中点，P为线段上的动点（不包含端点），则下列说法正确的是_______（填写序号）①平面

②三棱锥的体积的取值范围为③与为异面直线

④存在点P，使得与垂直【解析】由题意得．则，，所以与不垂直．故①错误；，点B到平面的距离为，由，所以，所以，又，则，故②正确；P为线段上的点（不包括端点），故与为异面直线，故③正确；若，设中点为N，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，又，则平面，即平面，又因为平面，故点P与点重合，不合题意，故④错误．故答案为：②③40．如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中D∉PC，则DE与平面PAC的位置关系是________．【解析】因为DE⊥平面ABC，PA⊥平面ABC，所以DE∥PA．又DE⊄平面PAC，PA⊂平面PAC，所以DE∥平面PAC．故答案为：平行41．如图，在直三棱柱ABC­-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．【解析】设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.由已知可得A1B1＝，设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，则DE＝h.又2×＝h，所以h＝，DE＝.在Rt△DB1E中，B1E＝.在Rt△DB1F中，由面积相等得：，解得：x＝.即线段B1F的长为.故答案为：42．如图所示，在正方体中，分别是棱和上的点，若是直角，则等于________．【解析】因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN⊂平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN.又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1⊂平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，又面，所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°.故答案为：90°.43．已知菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，沿对角线BD将△ABD折起，使二面角A­-BD­-C为120°，则点A到△BCD所在平面的距离为________．【解析】设AC∩BD＝O，则翻折后AO⊥BD，CO⊥BD，∴∠AOC即为二面角的平面角，则∠AOC＝120°，且AO＝1.∴d＝1·sin60°＝.故答案为：四、解答题44．如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，D是的中点，与交于点O，且平面(1)证明：；(2)若，求三棱柱的高.【解析】（1）证明：由题意且,

,所以,又侧面，,又与交于点，所以,平面

又因为平面,所以．(2)在矩形中，由平面几何知识可知∵，∴，∴设三棱柱的高为，即三棱锥的高为又，由得，∴45．如图所示，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D、E分别是VB、VC的中点，求异面直线DE与AB所成的角.【解析】因为D、E分别是VB、VC的中点，所以BC∥DE，因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角，又因为AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形，于是∠ABC＝45°，故异面直线DE与AB所成的角为45°.46．如图，三棱柱，侧面底面，侧棱，，，点、分别是棱、的中点，点为棱上一点，且满足，.（1）求证：平面；（2）求证：；（3）求直线与平面所成角的余弦值.【解析】（1）证明：设，连接，，因为，分别为，的中点，则，，因为为的中点，所以，且，所以，，则四边形为平行四边形，故，因为平面，平面，故平面；（2）证明：因为，，，所以，即，因为平面平面，且平面底面，所以平面，又平面，故；（3）解：因为，，又，，平面，故平面，连接，则为在平面内的射影，所以为与平面所