高三数学一轮复习题型与战法精准训练(新高考专用)7.2.1点线面的位置关系(题型战法)(原卷版+解析)

第七章空间向量与立体几何7.2.1点线面的位置关系（题型战法）知识梳理一点线面的位置关系1.点与直线的位置关系：点在直线上，记作；点在直线外，记作：；2.点与平面的位置关系：点在平面内，记作；点在平面外，记作：；3.直线与平面的位置关系：直线在平面上，记作；直线不在平面上，记作：。二直线、平面平行的判定与性质1.线面平行的判定定理若，，，则2.线面平行的性质定理若，，α∩β=b，则3.面面平行的判定定理若，，a∩b=P，，则推论：，，a∩b=P，c∩d=Q，，则4.面面平行的性质定理=1\*GB3①若，，则。=2\*GB3②若，α∩γ=a，β∩γ=b，则三直线、平面垂直的判定与性质1.线面垂直的判定定理若，，b∩c=P，，，则2.线面垂直的性质定理=1\*GB3①若，，则=2\*GB3②若，，则3.面面垂直的判定定理若，，则4.面面垂直的性质定理若，α∩β=l，，，则题型战法题型战法一点线面的位置关系典例1．已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面α，β，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则变式1-1．已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理中错误的是（

）A． B．C． D．，变式1-2．设m、n是两条不同的直线，α是一个平面，下列选项中可以判定“的是（

）A．且 B．且C．且 D．且变式1-3．已知a、b是两条不相同的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题为假命题的是（

）A．若，，则a与相交 B．若，，，则C．若，，，则a⊥b D．若，，，则a⊥b变式1-4．已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（

）A．若∥，∥，则∥B．若，，则C．若，∥，且，则D．若，，且，则题型战法二线面平行的判定典例2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，若、分别为、的中点，求证：侧面.变式2-1．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，证明：平面变式2-2．如图，四棱锥中，点M、N分别为直线上的点，且满足，求证：平面.变式2-3．如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点．证明：平面；变式2-4．在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面.题型战法三面面平行的判定典例3．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．变式3-1．如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证：(1)平面PCD；(2)平面平面PBC．变式3-2．如图，在长方体中，，E，F，Q分别为的中点，求证：平面平面．变式3-3．如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.求证：平面平面BDF变式3-4．如图所示，在三棱柱中，、分别为，的中点，求证：平面平面.题型战法四线面平行的性质典例4．如图，在四棱锥中，平面PAD，，求证：.变式4-1．如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面，求证：直线直线.变式4-2．如图，已知长方体中，为的中点，平面交棱于点，求证：变式4-3．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上，若直线平面，求的值变式4-4．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点．若平面，求的值；题型战法五面面平行的性质典例5．如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．求证：平面变式5-1．如图，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，DG⊥平面ABCD，，若M为的中点，N为的中点，求证：MN//平面．变式5-2．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.已知G，H分别为EC，FB的中点.求证：GH∥平面ABC.变式5-3．如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，平面且E，F分别为，的中点．证明：面ABCD；变式5-4．如图，已知平面α平面β，若点P在平面α，β之间(如图所示)，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α､β分别交于A､C，过点P的直线n与α､β分别交于B､D，且PA=6，AC=9，PD=8，求BD的长题型战法六线面垂直的判定典例6．如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC；变式6-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，.(1)若F为PA的中点，求证平面PCD(2)求证平面PCD.变式6-2．如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．变式6-3．如图四棱锥中，底面，四边形中，，，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：面.变式6-4．如图1，矩形中，，，为上一点且．现将沿着折起，使得，得到的图形如图2．证明：平面；题型战法七面面垂直的判定典例7．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点．求证：平面平面；变式7-1．如图，四面体中，，E为的中点．证明：平面平面变式7-2．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，与交于点O，E为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.变式7-3．如图，四面体中，E是的中点，点F在上，平面，平面与平面的交线为l，，，证明：(1)；(2)平面平面.变式7-4．如图所示，直三棱柱中，为中点．(1)求证：平面；(2)若三棱柱上下底面为正三角形，，，求证：平面平面．题型战法八线面垂直的性质典例8．如图，在直三棱柱中，E为的中点，且．证明：.变式8-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为的中点且．证明：.变式8-2．如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，．证明：.变式8-3．如图，四边形为矩形，且，，平面，，为的中点．(1)求证：；(2)若点为上的中点，证明平面．变式8-4．如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAC=90°，AB=BC，E，F分别为AC，PC的中点.(1)求证：平面；(2)求证：AC⊥BF.题型战法九面面垂直的性质典例9．如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.证明：平面变式9-1．如图，在四棱锥，底面为梯形，且，，等边三角形所在的平面垂直于底面，.求证：平面；变式9-2．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形，且平面底面，，＝＝，证明：.变式9-3．如图，四棱锥中，为矩形，平面平面.求证：.变式9-4．如图所示，已知菱形和矩形所在平面互相垂直，，，．证明：平面平面；第七章空间向量与立体几何7.2.1点线面的位置关系（题型战法）知识梳理一点线面的位置关系1.点与直线的位置关系：点在直线上，记作；点在直线外，记作：；2.点与平面的位置关系：点在平面内，记作；点在平面外，记作：；3.直线与平面的位置关系：直线在平面上，记作；直线不在平面上，记作：。二直线、平面平行的判定与性质1.线面平行的判定定理若，，，则2.线面平行的性质定理若，，α∩β=b，则3.面面平行的判定定理若，，a∩b=P，，则推论：，，a∩b=P，c∩d=Q，，则4.面面平行的性质定理=1\*GB3①若，，则。=2\*GB3②若，α∩γ=a，β∩γ=b，则三直线、平面垂直的判定与性质1.线面垂直的判定定理若，，b∩c=P，，，则2.线面垂直的性质定理=1\*GB3①若，，则=2\*GB3②若，，则3.面面垂直的判定定理若，，则4.面面垂直的性质定理若，α∩β=l，，，则题型战法题型战法一点线面的位置关系典例1．已知互不重合的直线m，n，互不重合的平面α，β，下列命题正确的是（

）A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则【答案】D【分析】ABC选项，可举出反例，D选项，可证明面面平行的性质证得.【详解】对于A选项，，，则或，故A错误；对于B选项，，，则或或与斜交，故B错误；对于C选项，，，则或，故C错误；对于D选项，，，根据面面平行，可证得线面平行，即故选：D.变式1-1．已知A，B，C表示不同的点，l表示直线，表示不同的平面，则下列推理中错误的是（

）A． B．C． D．，【答案】C【分析】根据平面性质及符号表示的意义逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A，表示既在直线上，也在平面内，故，故A正确.对于B，表示既在平面内，也在平面内，故，故B正确.对于C，表示或有一个交点，若该交点为，则，故C错误.对于D，表示有一个公共点，而表示或有一个交点，故，故D正确.故选：C.变式1-2．设m、n是两条不同的直线，α是一个平面，下列选项中可以判定“的是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【分析】对于选项A、B、C通过举例可排除，对于选项D，根据线面垂直的关系可判断.【详解】如图所示：正方体中，对于A，取直线为，直线为，平面为面，显然不成立，故A错误；对于B，取直线为，直线为，平面为面，显然不成立，故B错误；对于C，取直线为，直线为，平面为面，显然不成立，故C错误；对于D，根据垂直于同一平面的两条不同直线平行可知D正确.故选：D.变式1-3．已知a、b是两条不相同的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题为假命题的是（

）A．若，，则a与相交 B．若，，，则C．若，，，则a⊥b D．若，，，则a⊥b【答案】A【分析】根据空间线线、线面、面面关系逐一判断可得选项.【详解】解：对于A，若，，则a与可能相交，也可能平行，所以A是假命题；对于B，由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知，再结合，推出，故B是真命题；对于C，由于，，所以或，而，则a⊥b，故C是真命题；对于D，由于，，所以，而，则a⊥b，故D是真命题.故选：A.变式1-4．已知m，n是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中，正确的是（

）A．若∥，∥，则∥B．若，，则C．若，∥，且，则D．若，，且，则【答案】D【分析】根据线面平行，面面平行，线面垂直和面面垂直的性质与判定定理分析判断即可【详解】若∥，∥，则∥，或m与n相交或异面，故A不正确．若，，则∥，故B不正确．若，∥，且，则有可能∥，不一定，故C不正确．若，，且，可以判断，故D正确．故选：D题型战法二线面平行的判定典例2．如图，在四棱锥中，底面是正方形，若、分别为、的中点，求证：侧面.【答案】证明见解析.【分析】连接，则为的中点，又因为为的中点，则，由线面平行的判定定理即可证明【详解】证明：连接，因为四边形为正方形，且为的中点，所以，为的中点，又因为为的中点，则，平面，平面，平面.变式2-1．如图，在四棱锥中，底面为矩形，为中点，证明：平面【答案】证明见解析【分析】作出辅助线，得到线线平行，证明线面平行.【详解】证明：设，连接，因为分别为中点，所以//，因为平面，平面，所以//平面．变式2-2．如图，四棱锥中，点M、N分别为直线上的点，且满足，求证：平面.【答案】证明见解析【分析】通过线线平行来证得平面.【详解】连接BD，∵，∴，∵平面ABCD，平面ABCD，∴平面.变式2-3．如图，四棱锥中，底面，，，，为的中点．证明：平面；【答案】证明见解析【分析】取的中点，连接，易知四边形为平行四边形，则有，利用线面平行的判定可证结论.【详解】证明：取的中点，连接，∵分别为的中点，则且，又且，∴且，故四边形为平行四边形，即，∵面，面，∴平面.变式2-4．在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，求证：平面.【答案】证明见解析【分析】取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，进而可得，从而利用线面平行的判断定理即可证明.【详解】证明：取的中点，连接，，因为在直三棱柱中，E，F分别是，的中点，所以且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.题型战法三面面平行的判定典例3．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．【答案】证明见解析【分析】连接，由三角形中位线定理可得，再由正方形的性质可证得，则，利用线面平行的判定定理可证得平面，同理可证得平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论.【详解】证明：如图，连接．因为，分别是，的中点，所以．因为∥，，所以四边形为平行四边形，所以，所以．因为平面，平面，所以平面．同理可证平面．又因为，，平面，所以平面平面．变式3-1．如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证：(1)平面PCD；(2)平面平面PBC．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析﹒【分析】(1)利用三角形中位线证明MN∥PC即可；(2)利用中位线证明NQ∥PB，结合(1)中结论即可证明．（1）由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点，∴N是AC的中点，∴，∵平面PCD，平面PCD，∴平面PCD；（2）由(1)知，平面PBC，平面PBC，∴MN∥平面PBC，∵ABCD为平行四边形，∴N是BD中点，又∵Q是PD中点，∴在△PBD中，NQ∥PB，∵PB平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC，∵MN∩NQ=N，MN、NQ平面MNQ，∴平面平面PBC．变式3-2．如图，在长方体中，，E，F，Q分别为的中点，求证：平面平面．【答案】证明见解析【分析】通过条件分别证明平面，平面两组线面平行，从而证出面面平行即可.【详解】因为E是的中点，Q是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以．又因为平面平面，所以平面．又因为F是的中点，所以，因为平面平面，所以平面．因为平面平面，所以平面平面．变式3-3．如图，在正方体中，E，F分别为棱的中点.求证：平面平面BDF【答案】证明见解析【分析】根据，可证明平面；又，可得平面.进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明：在正方体中，E，F分别为棱的中点，所以.因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以又平面BDF，平面BDF，所以平面.同理，，又平面BDF，平面BDF，所以平面.又，平面，所以平面平面变式3-4．如图所示，在三棱柱中，、分别为，的中点，求证：平面平面.【答案】证明见解析【分析】由得到平面，连接、，，再连接，即可得到，从而得到平面，即可得证.【详解】证明：在三棱柱中，四边形、为平行四边形，又、分别为，的中点，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，连接、，，再连接，由四边形为平行四边形，所以为的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，又，平面，所以平面平面.题型战法四线面平行的性质典例4．如图，在四棱锥中，平面PAD，，求证：.【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理作答.【详解】在四棱锥中，平面，平面，平面平面，所以.变式4-1．如图，在四面体中，，，点是的中点，，且直线面，求证：直线直线.【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件，利用线面平行的性质推理作答.【详解】因直线平面，平面，平面平面，所以．变式4-2．如图，已知长方体中，为的中点，平面交棱于点，求证：【答案】证明见解析【分析】由题知平面平面，进而得平面，再根据线面平行性质定理即可证明.【详解】解：由长方体的性质知：平面平面，又面，所以平面，又因为面面，且面，所以.变式4-3．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，且，点在棱上，若直线平面，求的值【答案】1∶2【分析】连接与交于点，连接，进而根据线面平行性质定理得.【详解】解：连接与交于点，连接，∵，，∽，，又∵平面，平面，且平面平面∴，即变式4-4．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，是上的点．若平面，求的值；【答案】．【分析】连接，交于点，连接，由线面平行的性质定理得线线平行，由平行线得比例线段．【详解】连接，交于点，连接；平面，平面，平面平面，，；，，，，即的值为．题型战法五面面平行的性质典例5．如图，是边长为的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．求证：平面【答案】证明见解析【分析】根据线线平行可证明线面平行，根据线面平行进一步证明面面平行，根据平面与平面平行的性质可证明线面平行.【详解】因为四边形为菱形，则，平面，平面，平面，，平面，平面，平面，，所以，平面平面，因为平面，平面.变式5-1．如图，AD//BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG//AD且，且，DG⊥平面ABCD，，若M为的中点，N为的中点，求证：MN//平面．【答案】证明见解析【分析】取H是DG的中点，连接NH，MH，证明NH，MH都与平面平行，得面面平行，从而再得线面平行.【详解】证明：设H是DG的中点，连接NH，MH，由于M是CF的中点，所以MH∥CD，由于MH平面CDE，CD⊂平面CDE，所以MH∥平面CDE．由于N是EG的中点，所以NH∥DE，由于由于NH平面CDE，DE⊂平面CDE，所以NH∥平面CDE．由于NH⋂MH＝H，平面，所以平面MNH∥平面CDE，由于MN⊂平面MNH，所以MN∥平面CDE．变式5-2．在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线.已知G，H分别为EC，FB的中点.求证：GH∥平面ABC.【答案】证明见解析.【分析】取中点，连结、，推导出平面平面，由此能证明平面．【详解】证明：取中点，连结、，、为、的中点，且，且，由线面平行的判定定理得平面，又，，由线面平行的判定定理得平面，，，平面，平面平面平面，面，平面．变式5-3．如图所示的几何体中，底面ABCD是等腰梯形，平面且E，F分别为，的中点．证明：面ABCD；【答案】证明见解析【分析】根据线面平行的判定定理可得平面ABCD，平面ABCD，再根据面面平行的判定定理及性质可证明.【详解】解：证明：取的中点G，连接EG，FG，AC，因为，平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.因为，，所以四边形AGFC是平行四边形，，又平面ABCD，平面ABCD，所以平面ABCD.因为，平面，所以平面平面ABCD.因为平面ABCD，所以平面ABCD．变式5-4．如图，已知平面α平面β，若点P在平面α，β之间(如图所示)，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α､β分别交于A､C，过点P的直线n与α､β分别交于B､D，且PA=6，AC=9，PD=8，求BD的长【答案】24【分析】由面面平行的性质定理可得，则，进而可求得.【详解】设由相交直线确定的平面为，依题意可知，，因为，所以，则，即，解得.题型战法六线面垂直的判定典例6．如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点．证明：PO⊥平面ABC；【答案】证明见解析【分析】连接OB，证明得，即得线线垂直，由此得线面垂直．【详解】证明：连接OB．∵，∴，即ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴又∵，则∴∴．∴，OB、AC平面ABC∴PO⊥平面ABC．变式6-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，，且，，.(1)若F为PA的中点，求证平面PCD(2)求证平面PCD.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取PD中点E，连接EF、EC，可得且，则四边形EFBC为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理，即可得证（2）根据三角形性质，可证，结合（1）可得，根据线面垂直的判定定理，即可得证（1）取PD中点E，连接EF、EC，如图所示因为E、F分别为PD、PA中点，所以，且，又因为，且，所以且，所以四边形EFBC为平行四边形，所以，因为平面PCD，平面PCD，所以平面PCD（2）因为，F为PA中点，所以，则，因为，平面PCD，所以平面PCD.变式6-2．如图，和都垂直于平面，且，，是的中点．(1)求证：平面；(2)求证：平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明；（2）利用线面垂直可得线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明即可；（1）证明：（1）取的中点，连接，，∵是的中点，∴，，∵和都垂直于平面，∴，∵，∴，，∴四边形为平行四边形，从而，∵平面，平面，∴平面．（2）证明∵垂直于平面，平面，∴，∵，∴，∵，平面，∴平面，由（1）可知：，∴平面．变式6-3．如图四棱锥中，底面，四边形中，，，，为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）取的中点，连接，，即可得到且，从而得到，即可得证；（2）利用勾股定理逆定理得到，再由线面垂直的性质得到，即可得证；(1)证明：取的中点，连接，，因为为的中点，所以且，又且，所以且，四边形是平行四边形，，平面，平面平面.(2)证明：设，则，，所以，即，所以．平面，平面，所以，又，平面，∴CD⊥平面．变式6-4．如图1，矩形中，，，为上一点且．现将沿着折起，使得，得到的图形如图2．证明：平面；【答案】证明见解析【分析】用勾股定理逆定理证明，然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直．【详解】∵四边形为矩形，，且，则,,∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵四边形为矩形，∴，∵，平面，∴平面．题型战法七面面垂直的判定典例7．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点，是线段上一动点．求证：平面平面；【答案】证明见解析【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得答案.【详解】因为，，则，平面，平面，，，、AB⊂平面，平面，平面，因此，平面平面．变式7-1．如图，四面体中，，E为的中点．证明：平面平面【答案】证明见解析【分析】依题意可得，再由三角形全等得到，即可得到，从而得到平面，即可得证；【详解】证明：因为，为的中点，所以；在和中，因为，所以，所以，又因为为的中点，所以；又因为平面，，所以平面，因为平面，所以平面平面.变式7-2．如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，与交于点O，E为的中点.(1)求证：平面；(2)求证：平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）证明：∵四边形为正方形，∴O为的中点，∵E为的中点，∴，又∵平面平面，∴平面；（2）证明：∵四边形为正方形，∴，∵平面，且平面，所以，又∵平面，且，∴平面，又∵平面，∴平面平面.变式7-3．如图，四面体中，E是的中点，点F在上，平面，平面与平面的交线为l，，，证明：(1)；(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）由线面平行的性质得到、，根据平行公理即可证明；（2）依题意可得、，即可得到平面，从而得证.(1)证明：因为平面，平面平面，平面，所以，又平面平面，平面，所以，所以.(2)证明：，，，，是的中点，又，平面，平面，平面，平面平面.变式7-4．如图所示，直三棱柱中，为中点．(1)求证：平面；(2)若三棱柱上下底面为正三角形，，，求证：平面平面．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】作出辅助线，得到，从而证明线面平行；（2）先证明与，得到平面，结合平面，得到平面平面（1）连接，与相交于点F，连接MF，则为的中点，因为为中点，所以MF是的中位线，所以，因为平面，平面，所以平面（2）因为直三棱柱上下底面为正三角形，，，所以，所以，所以，即，由三线合一可得：，又因为平面ABC，平面ABC，所以，因为，所以平面，因为平面，所以因为所以平面，因为平面，所以平面平面题型战法八线面垂直的性质典例8．如图，在直三棱柱中，E为的中点，且．证明：.【答案】证明见解析【分析】由线面垂直的判定定理可得平面，再由线面垂直的性质定理可得答案.【详解】因为，且，所以，因为是直三棱柱，所以平面，所以，又因为，且平面，平面，所以平面，因为平面，所以．变式8-1．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为的中点且．证明：.【答案】证明见解析【分析】由底面，证得，结合，证得平面，进而证得.【详解】证明：因为底面，平面，所以，又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以.变式8-2．如图，在三棱柱中，平面平面，，四边形是边长为的菱形，．证明：.【答案】证明见解析【分析】取中点，连接，根据正三角形的性质，结合线面垂直的判定与性质证明即可.【详解】取中点，连接，，为正三角形，..又面，面，又面，变式8-3．如图，四边形为矩形，且，，平面，，为的中点．(1)求证：；(2)若点为上的