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文档简介
第七章空间向量与立体几何7.2.1点线面的位置关系(题型战法)知识梳理一点线面的位置关系1.点与直线的位置关系:点在直线上,记作;点在直线外,记作:;2.点与平面的位置关系:点在平面内,记作;点在平面外,记作:;3.直线与平面的位置关系:直线在平面上,记作;直线不在平面上,记作:。二直线、平面平行的判定与性质1.线面平行的判定定理若,,,则2.线面平行的性质定理若,,α∩β=b,则3.面面平行的判定定理若,,a∩b=P,,则推论:,,a∩b=P,c∩d=Q,,则4.面面平行的性质定理=1\*GB3①若,,则。=2\*GB3②若,α∩γ=a,β∩γ=b,则三直线、平面垂直的判定与性质1.线面垂直的判定定理若,,b∩c=P,,,则2.线面垂直的性质定理=1\*GB3①若,,则=2\*GB3②若,,则3.面面垂直的判定定理若,,则4.面面垂直的性质定理若,α∩β=l,,,则题型战法题型战法一点线面的位置关系典例1.已知互不重合的直线m,n,互不重合的平面α,β,下列命题正确的是(
)A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则变式1-1.已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,表示不同的平面,则下列推理中错误的是(
)A. B.C. D.,变式1-2.设m、n是两条不同的直线,α是一个平面,下列选项中可以判定“的是(
)A.且 B.且C.且 D.且变式1-3.已知a、b是两条不相同的直线,、是两个不重合的平面,则下列命题为假命题的是(
)A.若,,则a与相交 B.若,,,则C.若,,,则a⊥b D.若,,,则a⊥b变式1-4.已知m,n是不同的直线,,是不同的平面,下列命题中,正确的是(
)A.若∥,∥,则∥B.若,,则C.若,∥,且,则D.若,,且,则题型战法二线面平行的判定典例2.如图,在四棱锥中,底面是正方形,若、分别为、的中点,求证:侧面.变式2-1.如图,在四棱锥中,底面为矩形,为中点,证明:平面变式2-2.如图,四棱锥中,点M、N分别为直线上的点,且满足,求证:平面.变式2-3.如图,四棱锥中,底面,,,,为的中点.证明:平面;变式2-4.在直三棱柱中,E,F分别是,的中点,求证:平面.题型战法三面面平行的判定典例3.如图所示,在正方体中,,,分别是,,的中点.求证:平面平面.变式3-1.如图,已知四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证:(1)平面PCD;(2)平面平面PBC.变式3-2.如图,在长方体中,,E,F,Q分别为的中点,求证:平面平面.变式3-3.如图,在正方体中,E,F分别为棱的中点.求证:平面平面BDF变式3-4.如图所示,在三棱柱中,、分别为,的中点,求证:平面平面.题型战法四线面平行的性质典例4.如图,在四棱锥中,平面PAD,,求证:.变式4-1.如图,在四面体中,,,点是的中点,,且直线面,求证:直线直线.变式4-2.如图,已知长方体中,为的中点,平面交棱于点,求证:变式4-3.如图,四棱锥中,底面为直角梯形,且,点在棱上,若直线平面,求的值变式4-4.如图,在四棱锥中,底面,底面是直角梯形,,,,是上的点.若平面,求的值;题型战法五面面平行的性质典例5.如图,是边长为的等边三角形,四边形为菱形,平面平面,,,.求证:平面变式5-1.如图,AD//BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG//AD且,且,DG⊥平面ABCD,,若M为的中点,N为的中点,求证:MN//平面.变式5-2.在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC.变式5-3.如图所示的几何体中,底面ABCD是等腰梯形,平面且E,F分别为,的中点.证明:面ABCD;变式5-4.如图,已知平面α平面β,若点P在平面α,β之间(如图所示),P∉α且P∉β,过点P的直线m与α、β分别交于A、C,过点P的直线n与α、β分别交于B、D,且PA=6,AC=9,PD=8,求BD的长题型战法六线面垂直的判定典例6.如图,在三棱锥中,,,O为AC的中点.证明:PO⊥平面ABC;变式6-1.如图,在四棱锥中,底面ABCD是梯形,,且,,.(1)若F为PA的中点,求证平面PCD(2)求证平面PCD.变式6-2.如图,和都垂直于平面,且,,是的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面.变式6-3.如图四棱锥中,底面,四边形中,,,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求证:面.变式6-4.如图1,矩形中,,,为上一点且.现将沿着折起,使得,得到的图形如图2.证明:平面;题型战法七面面垂直的判定典例7.如图,在四棱锥中,底面,,,,,为棱的中点,是线段上一动点.求证:平面平面;变式7-1.如图,四面体中,,E为的中点.证明:平面平面变式7-2.如图,在四棱锥中,平面,底面是正方形,与交于点O,E为的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.变式7-3.如图,四面体中,E是的中点,点F在上,平面,平面与平面的交线为l,,,证明:(1);(2)平面平面.变式7-4.如图所示,直三棱柱中,为中点.(1)求证:平面;(2)若三棱柱上下底面为正三角形,,,求证:平面平面.题型战法八线面垂直的性质典例8.如图,在直三棱柱中,E为的中点,且.证明:.变式8-1.如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,平面,为的中点且.证明:.变式8-2.如图,在三棱柱中,平面平面,,四边形是边长为的菱形,.证明:.变式8-3.如图,四边形为矩形,且,,平面,,为的中点.(1)求证:;(2)若点为上的中点,证明平面.变式8-4.如图,在三棱锥P-ABC中,∠PAC=90°,AB=BC,E,F分别为AC,PC的中点.(1)求证:平面;(2)求证:AC⊥BF.题型战法九面面垂直的性质典例9.如图,在四棱锥中,,,,,,平面平面.证明:平面变式9-1.如图,在四棱锥,底面为梯形,且,,等边三角形所在的平面垂直于底面,.求证:平面;变式9-2.如图,四棱锥中,侧面为等边三角形,且平面底面,,==,证明:.变式9-3.如图,四棱锥中,为矩形,平面平面.求证:.变式9-4.如图所示,已知菱形和矩形所在平面互相垂直,,,.证明:平面平面;第七章空间向量与立体几何7.2.1点线面的位置关系(题型战法)知识梳理一点线面的位置关系1.点与直线的位置关系:点在直线上,记作;点在直线外,记作:;2.点与平面的位置关系:点在平面内,记作;点在平面外,记作:;3.直线与平面的位置关系:直线在平面上,记作;直线不在平面上,记作:。二直线、平面平行的判定与性质1.线面平行的判定定理若,,,则2.线面平行的性质定理若,,α∩β=b,则3.面面平行的判定定理若,,a∩b=P,,则推论:,,a∩b=P,c∩d=Q,,则4.面面平行的性质定理=1\*GB3①若,,则。=2\*GB3②若,α∩γ=a,β∩γ=b,则三直线、平面垂直的判定与性质1.线面垂直的判定定理若,,b∩c=P,,,则2.线面垂直的性质定理=1\*GB3①若,,则=2\*GB3②若,,则3.面面垂直的判定定理若,,则4.面面垂直的性质定理若,α∩β=l,,,则题型战法题型战法一点线面的位置关系典例1.已知互不重合的直线m,n,互不重合的平面α,β,下列命题正确的是(
)A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则【答案】D【分析】ABC选项,可举出反例,D选项,可证明面面平行的性质证得.【详解】对于A选项,,,则或,故A错误;对于B选项,,,则或或与斜交,故B错误;对于C选项,,,则或,故C错误;对于D选项,,,根据面面平行,可证得线面平行,即故选:D.变式1-1.已知A,B,C表示不同的点,l表示直线,表示不同的平面,则下列推理中错误的是(
)A. B.C. D.,【答案】C【分析】根据平面性质及符号表示的意义逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A,表示既在直线上,也在平面内,故,故A正确.对于B,表示既在平面内,也在平面内,故,故B正确.对于C,表示或有一个交点,若该交点为,则,故C错误.对于D,表示有一个公共点,而表示或有一个交点,故,故D正确.故选:C.变式1-2.设m、n是两条不同的直线,α是一个平面,下列选项中可以判定“的是(
)A.且 B.且C.且 D.且【答案】D【分析】对于选项A、B、C通过举例可排除,对于选项D,根据线面垂直的关系可判断.【详解】如图所示:正方体中,对于A,取直线为,直线为,平面为面,显然不成立,故A错误;对于B,取直线为,直线为,平面为面,显然不成立,故B错误;对于C,取直线为,直线为,平面为面,显然不成立,故C错误;对于D,根据垂直于同一平面的两条不同直线平行可知D正确.故选:D.变式1-3.已知a、b是两条不相同的直线,、是两个不重合的平面,则下列命题为假命题的是(
)A.若,,则a与相交 B.若,,,则C.若,,,则a⊥b D.若,,,则a⊥b【答案】A【分析】根据空间线线、线面、面面关系逐一判断可得选项.【详解】解:对于A,若,,则a与可能相交,也可能平行,所以A是假命题;对于B,由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知,再结合,推出,故B是真命题;对于C,由于,,所以或,而,则a⊥b,故C是真命题;对于D,由于,,所以,而,则a⊥b,故D是真命题.故选:A.变式1-4.已知m,n是不同的直线,,是不同的平面,下列命题中,正确的是(
)A.若∥,∥,则∥B.若,,则C.若,∥,且,则D.若,,且,则【答案】D【分析】根据线面平行,面面平行,线面垂直和面面垂直的性质与判定定理分析判断即可【详解】若∥,∥,则∥,或m与n相交或异面,故A不正确.若,,则∥,故B不正确.若,∥,且,则有可能∥,不一定,故C不正确.若,,且,可以判断,故D正确.故选:D题型战法二线面平行的判定典例2.如图,在四棱锥中,底面是正方形,若、分别为、的中点,求证:侧面.【答案】证明见解析.【分析】连接,则为的中点,又因为为的中点,则,由线面平行的判定定理即可证明【详解】证明:连接,因为四边形为正方形,且为的中点,所以,为的中点,又因为为的中点,则,平面,平面,平面.变式2-1.如图,在四棱锥中,底面为矩形,为中点,证明:平面【答案】证明见解析【分析】作出辅助线,得到线线平行,证明线面平行.【详解】证明:设,连接,因为分别为中点,所以//,因为平面,平面,所以//平面.变式2-2.如图,四棱锥中,点M、N分别为直线上的点,且满足,求证:平面.【答案】证明见解析【分析】通过线线平行来证得平面.【详解】连接BD,∵,∴,∵平面ABCD,平面ABCD,∴平面.变式2-3.如图,四棱锥中,底面,,,,为的中点.证明:平面;【答案】证明见解析【分析】取的中点,连接,易知四边形为平行四边形,则有,利用线面平行的判定可证结论.【详解】证明:取的中点,连接,∵分别为的中点,则且,又且,∴且,故四边形为平行四边形,即,∵面,面,∴平面.变式2-4.在直三棱柱中,E,F分别是,的中点,求证:平面.【答案】证明见解析【分析】取的中点,连接,,证明四边形是平行四边形,进而可得,从而利用线面平行的判断定理即可证明.【详解】证明:取的中点,连接,,因为在直三棱柱中,E,F分别是,的中点,所以且,又且,所以且,所以四边形是平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面.题型战法三面面平行的判定典例3.如图所示,在正方体中,,,分别是,,的中点.求证:平面平面.【答案】证明见解析【分析】连接,由三角形中位线定理可得,再由正方形的性质可证得,则,利用线面平行的判定定理可证得平面,同理可证得平面,再利用面面平行的判定定理可证得结论.【详解】证明:如图,连接.因为,分别是,的中点,所以.因为∥,,所以四边形为平行四边形,所以,所以.因为平面,平面,所以平面.同理可证平面.又因为,,平面,所以平面平面.变式3-1.如图,已知四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证:(1)平面PCD;(2)平面平面PBC.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析﹒【分析】(1)利用三角形中位线证明MN∥PC即可;(2)利用中位线证明NQ∥PB,结合(1)中结论即可证明.(1)由题意,四棱锥的底面ABCD为平行四边形,点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点,∴N是AC的中点,∴,∵平面PCD,平面PCD,∴平面PCD;(2)由(1)知,平面PBC,平面PBC,∴MN∥平面PBC,∵ABCD为平行四边形,∴N是BD中点,又∵Q是PD中点,∴在△PBD中,NQ∥PB,∵PB平面PBC,NQ平面PBC,∴NQ∥平面PBC,∵MN∩NQ=N,MN、NQ平面MNQ,∴平面平面PBC.变式3-2.如图,在长方体中,,E,F,Q分别为的中点,求证:平面平面.【答案】证明见解析【分析】通过条件分别证明平面,平面两组线面平行,从而证出面面平行即可.【详解】因为E是的中点,Q是的中点,所以,所以四边形是平行四边形,所以.又因为平面平面,所以平面.又因为F是的中点,所以,因为平面平面,所以平面.因为平面平面,所以平面平面.变式3-3.如图,在正方体中,E,F分别为棱的中点.求证:平面平面BDF【答案】证明见解析【分析】根据,可证明平面;又,可得平面.进而根据线面平行证明面面平行.【详解】证明:在正方体中,E,F分别为棱的中点,所以.因为,且,所以,且,所以四边形是平行四边形,所以又平面BDF,平面BDF,所以平面.同理,,又平面BDF,平面BDF,所以平面.又,平面,所以平面平面变式3-4.如图所示,在三棱柱中,、分别为,的中点,求证:平面平面.【答案】证明见解析【分析】由得到平面,连接、,,再连接,即可得到,从而得到平面,即可得证.【详解】证明:在三棱柱中,四边形、为平行四边形,又、分别为,的中点,所以且,所以四边形为平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面,连接、,,再连接,由四边形为平行四边形,所以为的中点,所以,因为平面,平面,所以平面,又,平面,所以平面平面.题型战法四线面平行的性质典例4.如图,在四棱锥中,平面PAD,,求证:.【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件,利用线面平行的性质推理作答.【详解】在四棱锥中,平面,平面,平面平面,所以.变式4-1.如图,在四面体中,,,点是的中点,,且直线面,求证:直线直线.【答案】证明见解析.【分析】根据给定条件,利用线面平行的性质推理作答.【详解】因直线平面,平面,平面平面,所以.变式4-2.如图,已知长方体中,为的中点,平面交棱于点,求证:【答案】证明见解析【分析】由题知平面平面,进而得平面,再根据线面平行性质定理即可证明.【详解】解:由长方体的性质知:平面平面,又面,所以平面,又因为面面,且面,所以.变式4-3.如图,四棱锥中,底面为直角梯形,且,点在棱上,若直线平面,求的值【答案】1∶2【分析】连接与交于点,连接,进而根据线面平行性质定理得.【详解】解:连接与交于点,连接,∵,,∽,,又∵平面,平面,且平面平面∴,即变式4-4.如图,在四棱锥中,底面,底面是直角梯形,,,,是上的点.若平面,求的值;【答案】.【分析】连接,交于点,连接,由线面平行的性质定理得线线平行,由平行线得比例线段.【详解】连接,交于点,连接;平面,平面,平面平面,,;,,,,即的值为.题型战法五面面平行的性质典例5.如图,是边长为的等边三角形,四边形为菱形,平面平面,,,.求证:平面【答案】证明见解析【分析】根据线线平行可证明线面平行,根据线面平行进一步证明面面平行,根据平面与平面平行的性质可证明线面平行.【详解】因为四边形为菱形,则,平面,平面,平面,,平面,平面,平面,,所以,平面平面,因为平面,平面.变式5-1.如图,AD//BC且AD=2BC,AD⊥CD,EG//AD且,且,DG⊥平面ABCD,,若M为的中点,N为的中点,求证:MN//平面.【答案】证明见解析【分析】取H是DG的中点,连接NH,MH,证明NH,MH都与平面平行,得面面平行,从而再得线面平行.【详解】证明:设H是DG的中点,连接NH,MH,由于M是CF的中点,所以MH∥CD,由于MH平面CDE,CD⊂平面CDE,所以MH∥平面CDE.由于N是EG的中点,所以NH∥DE,由于由于NH平面CDE,DE⊂平面CDE,所以NH∥平面CDE.由于NH⋂MH=H,平面,所以平面MNH∥平面CDE,由于MN⊂平面MNH,所以MN∥平面CDE.变式5-2.在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O′的直径,FB是圆台的一条母线.已知G,H分别为EC,FB的中点.求证:GH∥平面ABC.【答案】证明见解析.【分析】取中点,连结、,推导出平面平面,由此能证明平面.【详解】证明:取中点,连结、,、为、的中点,且,且,由线面平行的判定定理得平面,又,,由线面平行的判定定理得平面,,,平面,平面平面平面,面,平面.变式5-3.如图所示的几何体中,底面ABCD是等腰梯形,平面且E,F分别为,的中点.证明:面ABCD;【答案】证明见解析【分析】根据线面平行的判定定理可得平面ABCD,平面ABCD,再根据面面平行的判定定理及性质可证明.【详解】解:证明:取的中点G,连接EG,FG,AC,因为,平面ABCD,平面ABCD,所以平面ABCD.因为,,所以四边形AGFC是平行四边形,,又平面ABCD,平面ABCD,所以平面ABCD.因为,平面,所以平面平面ABCD.因为平面ABCD,所以平面ABCD.变式5-4.如图,已知平面α平面β,若点P在平面α,β之间(如图所示),P∉α且P∉β,过点P的直线m与α、β分别交于A、C,过点P的直线n与α、β分别交于B、D,且PA=6,AC=9,PD=8,求BD的长【答案】24【分析】由面面平行的性质定理可得,则,进而可求得.【详解】设由相交直线确定的平面为,依题意可知,,因为,所以,则,即,解得.题型战法六线面垂直的判定典例6.如图,在三棱锥中,,,O为AC的中点.证明:PO⊥平面ABC;【答案】证明见解析【分析】连接OB,证明得,即得线线垂直,由此得线面垂直.【详解】证明:连接OB.∵,∴,即ABC是直角三角形,又O为AC的中点,∴又∵,则∴∴.∴,OB、AC平面ABC∴PO⊥平面ABC.变式6-1.如图,在四棱锥中,底面ABCD是梯形,,且,,.(1)若F为PA的中点,求证平面PCD(2)求证平面PCD.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)取PD中点E,连接EF、EC,可得且,则四边形EFBC为平行四边形,则,根据线面平行的判定定理,即可得证(2)根据三角形性质,可证,结合(1)可得,根据线面垂直的判定定理,即可得证(1)取PD中点E,连接EF、EC,如图所示因为E、F分别为PD、PA中点,所以,且,又因为,且,所以且,所以四边形EFBC为平行四边形,所以,因为平面PCD,平面PCD,所以平面PCD(2)因为,F为PA中点,所以,则,因为,平面PCD,所以平面PCD.变式6-2.如图,和都垂直于平面,且,,是的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明;(2)利用线面垂直可得线线垂直,再利用线面垂直的判定定理证明即可;(1)证明:(1)取的中点,连接,,∵是的中点,∴,,∵和都垂直于平面,∴,∵,∴,,∴四边形为平行四边形,从而,∵平面,平面,∴平面.(2)证明∵垂直于平面,平面,∴,∵,∴,∵,平面,∴平面,由(1)可知:,∴平面.变式6-3.如图四棱锥中,底面,四边形中,,,,为的中点.(1)求证:平面;(2)求证:面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)取的中点,连接,,即可得到且,从而得到,即可得证;(2)利用勾股定理逆定理得到,再由线面垂直的性质得到,即可得证;(1)证明:取的中点,连接,,因为为的中点,所以且,又且,所以且,四边形是平行四边形,,平面,平面平面.(2)证明:设,则,,所以,即,所以.平面,平面,所以,又,平面,∴CD⊥平面.变式6-4.如图1,矩形中,,,为上一点且.现将沿着折起,使得,得到的图形如图2.证明:平面;【答案】证明见解析【分析】用勾股定理逆定理证明,然后由线面垂直的判定定理得证线面垂直.【详解】∵四边形为矩形,,且,则,,∴,∵,∴,∵,,∴,∴,∵四边形为矩形,∴,∵,平面,∴平面.题型战法七面面垂直的判定典例7.如图,在四棱锥中,底面,,,,,为棱的中点,是线段上一动点.求证:平面平面;【答案】证明见解析【分析】利用线面垂直的判定定理可得平面,再由面面垂直的判定定理可得答案.【详解】因为,,则,平面,平面,,,、AB⊂平面,平面,平面,因此,平面平面.变式7-1.如图,四面体中,,E为的中点.证明:平面平面【答案】证明见解析【分析】依题意可得,再由三角形全等得到,即可得到,从而得到平面,即可得证;【详解】证明:因为,为的中点,所以;在和中,因为,所以,所以,又因为为的中点,所以;又因为平面,,所以平面,因为平面,所以平面平面.变式7-2.如图,在四棱锥中,平面,底面是正方形,与交于点O,E为的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)证明:∵四边形为正方形,∴O为的中点,∵E为的中点,∴,又∵平面平面,∴平面;(2)证明:∵四边形为正方形,∴,∵平面,且平面,所以,又∵平面,且,∴平面,又∵平面,∴平面平面.变式7-3.如图,四面体中,E是的中点,点F在上,平面,平面与平面的交线为l,,,证明:(1);(2)平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由线面平行的性质得到、,根据平行公理即可证明;(2)依题意可得、,即可得到平面,从而得证.(1)证明:因为平面,平面平面,平面,所以,又平面平面,平面,所以,所以.(2)证明:,,,,是的中点,又,平面,平面,平面,平面平面.变式7-4.如图所示,直三棱柱中,为中点.(1)求证:平面;(2)若三棱柱上下底面为正三角形,,,求证:平面平面.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】作出辅助线,得到,从而证明线面平行;(2)先证明与,得到平面,结合平面,得到平面平面(1)连接,与相交于点F,连接MF,则为的中点,因为为中点,所以MF是的中位线,所以,因为平面,平面,所以平面(2)因为直三棱柱上下底面为正三角形,,,所以,所以,所以,即,由三线合一可得:,又因为平面ABC,平面ABC,所以,因为,所以平面,因为平面,所以因为所以平面,因为平面,所以平面平面题型战法八线面垂直的性质典例8.如图,在直三棱柱中,E为的中点,且.证明:.【答案】证明见解析【分析】由线面垂直的判定定理可得平面,再由线面垂直的性质定理可得答案.【详解】因为,且,所以,因为是直三棱柱,所以平面,所以,又因为,且平面,平面,所以平面,因为平面,所以.变式8-1.如图,在四棱锥中,底面ABCD是矩形,平面,为的中点且.证明:.【答案】证明见解析【分析】由底面,证得,结合,证得平面,进而证得.【详解】证明:因为底面,平面,所以,又因为,且,平面,所以平面,因为平面,所以.变式8-2.如图,在三棱柱中,平面平面,,四边形是边长为的菱形,.证明:.【答案】证明见解析【分析】取中点,连接,根据正三角形的性质,结合线面垂直的判定与性质证明即可.【详解】取中点,连接,,为正三角形,..又面,面,又面,变式8-3.如图,四边形为矩形,且,,平面,,为的中点.(1)求证:;(2)若点为上的
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