高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.10圆锥曲线中最值、范围模型(精讲)(原卷版+解析)

8.10圆锥曲线中最值、范围模型【题型解读】【知识必备】1．圆锥曲线中范围问题求解的基本思路解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围；建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系．2．圆锥曲线中范围问题建立不等关系的基本方法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．【题型精讲】【题型一斜率型最值、范围问题】例1(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k＝eq\f(\r(2),4)，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．【跟踪精练】1.(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆,过点作椭圆的两条切线,且两切线垂直.(1)求；(2)已知点,若存在过点的直线与椭圆交于,且以为直径的圆过点（不与重合）,求直线斜率的取值范围.【题型二距离型最值、范围问题】例2(2023·青岛高三模拟）已知椭圆C：的离心率为,,分别为椭圆C的左、右焦点,过且与x轴垂直的直线与椭圆C交于点A,B,且的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于不同于右顶点P的M,N两点,且,求的最大值．【跟踪精练】1.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),3)，且椭圆C过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(2),2)))．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆O：x2＋y2＝2相交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围．【题型三面积型最值、范围问题】例3(2023·全国高三专题练习）已知椭圆四个顶点的四边形为菱形,它的边长为,面积为,过椭圆左焦点与椭圆C相交于M,N两点（M,N两点不在x轴上）,直线l的方程为：,过点M作垂直于直线l交于点E．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点O为坐标原点,求面积的最大值．【题型精练】1.(2023·山西太原五中高三期末）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点F为抛物线C的焦点，点A(1，m)(m>0)在抛物线C上，且|FA|＝2，过点F作斜率为keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤k≤2))的直线l与抛物线C交于P，Q两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求△APQ面积的取值范围．【题型四数量积型最值、范围问题】例4(2023·湖北模拟）已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为,点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于、两点,直线、与直线分别交于点、.(1)求椭圆的方程；(2)求的取值范围.【题型精练】1.(2023·德阳三模）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－eq\f(3,4)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求eq\o(OP,\s\up7())·eq\o(OQ,\s\up7())＋eq\o(MP,\s\up7())·eq\o(MQ,\s\up7())的取值范围．【题型五参数型最值、范围问题】例5(2023·湖北模拟）已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．【题型精练】1.(2023·德阳三模）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)设直线y＝kx＋2(0＜k＜2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(PR,\s\up6(→))，求实数λ的取值范围．【题型六坐标型最值、范围问题】例6(2023·湖北模拟）如图，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|－1．(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M．求M的横坐标的取值范围．【题型精练】1.(2023·德阳三模）已知曲线上一动点到两定点,的距离之和为,过点的直线与曲线相交于点,．(1)求曲线的方程；(2)动弦满足：,求点的轨迹方程；(3)求的取值范围．8.10圆锥曲线中最值、范围模型【题型解读】【知识必备】1．圆锥曲线中范围问题求解的基本思路解决有关范围问题的基本思路是建立目标函数或不等关系：建立目标函数的关键是选用一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围；建立不等关系时，先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，寻找不等关系．2．圆锥曲线中范围问题建立不等关系的基本方法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；(4)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．【题型精讲】【题型一斜率型最值、范围问题】例1(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝6，直线y＝kx与椭圆交于A，B两点．(1)若△AF1F2的周长为16，求椭圆的标准方程；(2)若k＝eq\f(\r(2),4)，且A，B，F1，F2四点共圆，求椭圆离心率e的值；(3)在(2)的条件下，设P(x0，y0)为椭圆上一点，且直线PA的斜率k1∈(－2，－1)，试求直线PB的斜率k2的取值范围．【解析】(1)由题意得c＝3，根据2a＋2c＝16，得a＝5．结合a2＝b2＋c2，解得a2＝25，b2＝16。所以椭圆的方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1．(2)法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，,y＝\f(\r(2),4)x，))得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b2＋\f(1,8)a2))x2－a2b2＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．所以x1＋x2＝0，x1x2＝eq\f(－a2b2,b2＋\f(1,8)a2)，由AB，F1F2互相平分且共圆，易知，AF2⊥BF2，因为eq\o(F2A,\s\up7(→))＝(x1－3，y1)，eq\o(F2B,\s\up7(→))＝(x2－3，y2)，所以eq\o(F2A,\s\up7(→))·eq\o(F2B,\s\up7(→))＝(x1－3)(x2－3)＋y1y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,8)))x1x2＋9＝0．即x1x2＝－8，所以有eq\f(－a2b2,b2＋\f(1,8)a2)＝－8，结合b2＋9＝a2，解得a2＝12(a2＝6舍去)，所以离心率e＝eq\f(\r(3),2)．(若设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)相应给分)法二：设A(x1，y1)，又AB，F1F2互相平分且共圆，所以AB，F1F2是圆的直径，所以xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝9，又由椭圆及直线方程综合可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＝9，,y1＝\f(\r(2),4)x1，,\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1.))由前两个方程解得xeq\o\al(2,1)＝8，yeq\o\al(2,1)＝1，将其代入第三个方程并结合b2＝a2－c2＝a2－9，解得a2＝12，故e＝eq\f(\r(3),2)．(3)由(2)的结论知，椭圆方程为eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1，由题可设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，k1＝eq\f(y0－y1,x0－x1)，k2＝eq\f(y0＋y1,x0＋x1)，所以k1k2＝eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))，又eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))＝eq\f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,0),12)))－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,1),12))),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))＝－eq\f(1,4)，即k2＝－eq\f(1,4k1)，由－2＜k1＜－1可知，eq\f(1,8)＜k2＜eq\f(1,4)．即直线PB的斜率k2的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(1,4)))．【跟踪精练】1.(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆,过点作椭圆的两条切线,且两切线垂直.(1)求；(2)已知点,若存在过点的直线与椭圆交于,且以为直径的圆过点（不与重合）,求直线斜率的取值范围.【解析】（1）由题可知,切线斜率存在,则设切线,联立得,即,相切得：,即,所以由两切线垂直得：（2）由（1）得,椭圆方程为由题可知,直线的斜率存在,设,联立得设,由韦达定理得：由题意为直径的圆过点,①又代入①式得：或（舍去）,所以过定点,,随的增大而增大,,即直线斜率范围【题型二距离型最值、范围问题】例2(2023·青岛高三模拟）已知椭圆C：的离心率为,,分别为椭圆C的左、右焦点,过且与x轴垂直的直线与椭圆C交于点A,B,且的面积为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于不同于右顶点P的M,N两点,且,求的最大值．【解析】（1）因为椭圆C的离心率为,所以①．将代入,得,所以,则,即②．由①②及,得,,故椭圆C的标准方程为．（2）由题意知,直线l的斜率不为0,则不妨设直线l的方程为．联立得消去x得,,化简整理,得．设,,则,．因为,所以．因为,所以,,得,将,代入上式,得,得,解得或（舍去）,所以直线l的方程为,则直线l恒过点,所以．设,则,,易知在上单调递增,所以当时,取得最大值,为．又,所以．【跟踪精练】1.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(3),3)，且椭圆C过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(2),2)))．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C分别相交于A，B两点，且与圆O：x2＋y2＝2相交于E，F两点，求|AB|·|EF|2的取值范围．【解析】(1)由题意得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),3)，所以a2＝eq\f(3,2)b2，所以椭圆的方程为eq\f(x2,\f(3,2)b2)＋eq\f(y2,b2)＝1，将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(\r(2),2)))代入方程得b2＝2，即a2＝3，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1．(2)由(1)可知，椭圆的右焦点为(1，0)，①若直线l的斜率不存在，直线l的方程为x＝1，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(2\r(3),3)))，E(1，1)，F(1，－1)，所以|AB|＝eq\f(4\r(3),3)，|EF|2＝4，|AB|·|EF|2＝eq\f(16\r(3),3)．②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，,y＝kx－1，))可得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0，则x1＋x2＝eq\f(6k2,2＋3k2)，x1x2＝eq\f(3k2－6,2＋3k2)，所以|AB|＝eq\r((1＋k2)(x1－x2)2)＝eq\r((1＋k2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6k2,2＋3k2)))2－4×\f(3k2－6,2＋3k2))))＝eq\f(4\r(3)k2＋1,2＋3k2)．因为圆心O(0，0)到直线l的距离d＝eq\f(|k|,\r(k2＋1))，所以|EF|2＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(k2,k2＋1)))＝eq\f(4k2＋2,k2＋1)，所以|AB|·|EF|2＝eq\f(4\r(3)(k2＋1),2＋3k2)·eq\f(4(k2＋2),k2＋1)＝eq\f(16\r(3)(k2＋2),2＋3k2)＝eq\f(16\r(3),3)·eq\f(k2＋2,k2＋\f(2,3))＝eq\f(16\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\f(4,3),k2＋\f(2,3))))．因为k2∈[0，＋∞)，所以|AB|·|EF|2∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16\r(3),3)，16\r(3)))．综上，|AB|·|EF|2的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(16\r(3),3)，16\r(3)))．【题型三面积型最值、范围问题】例3(2023·全国高三专题练习）已知椭圆四个顶点的四边形为菱形,它的边长为,面积为,过椭圆左焦点与椭圆C相交于M,N两点（M,N两点不在x轴上）,直线l的方程为：,过点M作垂直于直线l交于点E．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点O为坐标原点,求面积的最大值．【解析】（1）由题意可得：,解得椭圆C的标准方程为（2）由（1）可得：,即由题意可设直线,则联立方程,消去x可得：∴,则∴直线的斜率,则直线的方程为令,则可得即直线过定点∴面积为令,则令,则当时恒成立∴在单调递减,则,即∴面积的最大值为【题型精练】1.(2023·山西太原五中高三期末）已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，点F为抛物线C的焦点，点A(1，m)(m>0)在抛物线C上，且|FA|＝2，过点F作斜率为keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤k≤2))的直线l与抛物线C交于P，Q两点．(1)求抛物线C的方程；(2)求△APQ面积的取值范围．【解析】(1)由抛物线的定义可得|FA|＝xA＋eq\f(p,2)＝1＋eq\f(p,2)＝2，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x．(2)设直线l的方程为y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k(x－1)，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ>0恒成立，由根与系数的关系得x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1，因为AF⊥x轴，则S△APQ＝eq\f(1,2)×|AF|×|x1－x2|＝|x1－x2|＝eq\r((x1＋x2)2－4x1x2)＝4eq\r(\f(k2＋1,k4))＝4eq\r(\f(1,k2)＋\f(1,k4))，因为eq\f(1,2)≤k≤2，令t＝eq\f(1,k2)，所以S△APQ＝4eq\r(t2＋t)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)≤t≤4))，所以eq\r(5)≤S△APQ≤8eq\r(5)，所以△APQ的面积的取值范围为[eq\r(5)，8eq\r(5)]．【题型四数量积型最值、范围问题】例4(2023·湖北模拟）已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆过点,离心率为,点为其右顶点.过点作直线与椭圆相交于、两点,直线、与直线分别交于点、.(1)求椭圆的方程；(2)求的取值范围.【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为（）,由题意,得,解得,,即椭圆的标准方程为.（2）由（1）得,设,,,联立,得,即,则,,直线,的方程分别为,,令,则,,则,,所以因为,所以,,即的取值范围为.【题型精练】1.(2023·德阳三模）已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－eq\f(3,4)．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求eq\o(OP,\s\up7())·eq\o(OQ,\s\up7())＋eq\o(MP,\s\up7())·eq\o(MQ,\s\up7())的取值范围．【解析】(1)设T(x，y)，由题意知A(－4，0)，B(4，0)，设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，则k1＝eq\f(y,x＋4)，k2＝eq\f(y,x－4)，由k1k2＝－eq\f(3,4)，得eq\f(y,x＋4)·eq\f(y,x－4)＝－eq\f(3,4)，整理得eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1．故椭圆C的方程为eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1．(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,16)＋\f(y2,12)＝1，,y＝kx＋2))消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0．所以x1＋x2＝－eq\f(16k,4k2＋3)，x1x2＝－eq\f(32,4k2＋3)．从而，eq\o(OP,\s\up7())·eq\o(OQ,\s\up7())＋eq\o(MP,\s\up7())·eq\o(MQ,\s\up7())＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝eq\f(－80k2－52,4k2＋3)＝－20＋eq\f(8,4k2＋3)，所以－20＜eq\o(OP,\s\up7())·eq\o(OQ,\s\up7())＋eq\o(MP,\s\up7())·eq\o(MQ,\s\up7())≤－eq\f(52,3)．当直线PQ的斜率不存在时，eq\o(OP,\s\up7())·eq\o(OQ,\s\up7())＋eq\o(MP,\s\up7())·eq\o(MQ,\s\up7())的值为－20．综上，eq\o(OP,\s\up7())·eq\o(OQ,\s\up7())＋eq\o(MP,\s\up7())·eq\o(MQ,\s\up7())的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－20，－\f(52,3)))．【题型五参数型最值、范围问题】例5(2023·湖北模拟）已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为C上的点，O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形，求C的离心率；(2)如果存在点P，使得PF1⊥PF2，且△F1PF2的面积等于16，求b的值和a的取值范围．【解析】(1)连接PF1(图略)．由△POF2为等边三角形可知，在△F1PF2中，∠F1PF2＝90°，|PF2|＝c，|PF1|＝eq\r(3)c，于是2a＝|PF1|＋|PF2|＝(eq\r(3)＋1)c，故C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)－1．(2)由题意可知，若满足条件的点P(x，y)存在，则eq\f(1,2)|y|·2c＝16，eq\f(y,x＋c)·eq\f(y,x－c)＝－1，即c|y|＝16，①，x2＋y2＝c2，②，又eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1．③由②③及a2＝b2＋c2得y2＝eq\f(b4,c2)．又由①知y2＝eq\f(162,c2)，故b＝4．由②③及a2＝b2＋c2得x2＝eq\f(a2,c2)(c2－b2)，所以c2≥b2，从而a2＝b2＋c2≥2b2＝32，故a≥4eq\r(2)．当b＝4，a≥4eq\r(2)时，存在满足条件的点P．所以b＝4，a的取值范围为[4eq\r(2)，＋∞)．【题型精练】1.(2023·德阳三模）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别为(－1，0)，(1，0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点C的轨迹为曲线E．(1)求曲线E的方程；(2)设直线y＝kx＋2(0＜k＜2)与y轴相交于点P，与曲线E相交于不同的两点Q，R(点R在点P和点Q之间)，且eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(PR,\s\up6(→))，求实数λ的取值范围．【解析】(1)设C(x，y)．由题意，可得eq\f(y,x－1)·eq\f(y,x＋1)＝－2(x≠±1)，∴曲线E的方程为x2＋eq\f(y2,2)＝1(x≠±1)．(2)设R(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2＋\f(y2,2)＝1，))消去y，可得(2＋k2)x2＋4kx＋2＝0，∴Δ＝8k2－16＞0，∴k2＞2．又0＜k＜2，∴eq\r(2)＜k＜2．由根与系数的关系得，x1＋x2＝－eq\f(4k,2＋k2)，①，x1x2＝eq\f(2,2＋k2)，②∵eq\o(PQ,\s\up6(→))＝λeq\o(PR,\s\up6(→))，点R在点P和点Q之间，∴x2＝λx1(λ＞1)，③联立①②③，可得eq\f(1＋λ2,λ)＝eq\f(8k2,2＋k2)．∵eq\r(2)＜k＜2，∴eq\f(8k2,2＋k2)＝eq\f(8,\f(2,k