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文档简介
7.2空间几何体外接球、内切球8大模型【题型解读】【题型一长方体、正方体模型】1.(2023·陕西安康·高三期末)已知三棱锥中,,底面,,,则该三棱锥的外接球的体积为(
)A. B. C. D.2.(2023·海原县高三模拟)在直三棱柱中,若,则该直三棱柱外接球的表面积为(
)A. B. C. D.3.(2023·陕西高三模拟)在三棱锥中,,,则三棱锥外接球的表面积是___________.4.(2023·广西·贵港市高级中学三模)《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,将底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”,在如图所示的堑堵中,,,,则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为(
)A. B.C. D.【题型二直棱柱模型】1.(2023·全国·高三专题练习)已知正三棱柱所有棱长都为6,则此三棱柱外接球的表面积为(
)A. B. C. D.2.(2023·河南·高三阶段练习)已知三棱锥中,底面BCD是边长为的正三角形,底面BCD,且,则该几何体的外接球的表面积为(
)A. B. C. D.3.2022·全国高三模拟)已知三棱锥中,底面BCD是边长为的正三角形,底面BCD,且,则该几何体的外接球的表面积为(
)A. B. C. D.4.(2023·全国·高三专题练习)如图,在四棱锥中,底面,,,,,为棱的中点.若四棱锥的体积为,则三棱锥外接球的表面积为______.【题型三正棱锥与侧棱相等模型】1.(2023·湖北武汉·高三开学考试)已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上,若该球的表面积为,则该正三棱锥体积的最大值为___________.2.(2023·全国·高三专题练习)如图在正三棱锥中,分别是棱的中点,为棱上的一点,且,,若,则此正三棱锥的外接球的体积为(
)A. B. C. D.3.(2023·全国·高三专题练习).在正三棱锥中,,正三棱锥的体积是,则正三棱锥外接球的表面积是(
)A. B. C. D.4.(2023·全国·高三专题练习)已知正四棱锥的底面边长为,侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°,顶点P,A,B,C,D在球O的球面上,则球O的体积是(
)A.16π B. C.8π D.【题型四对棱相等模型】1.(2023·全国·高三专题练习)在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为(
)A. B. C. D.2.(2023·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习)在四面体中,若,,,则四面体的外接球的表面积为(
)A. B. C. D.3.(2023·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,,,,则三棱锥外接球的体积为(
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A. B. C. D.【题型五共斜边拼接模型】1.(2023.江西高三模拟)在矩形中,,沿对角线进行翻折,则三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)在矩形中,,点,分别是,的中点,沿将四边形折起,使,若折起后点,,,,,都在球的表面上,则球的表面积为3.(2023·安徽合肥市高三期末)将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角,得到四面体,则四面体的外接球的表面积为()A. B. C. D.【题型六垂面模型】1.(2023·江西高三期末)在三棱锥中,平面平面,,,则该三棱锥外接球的表面积是(
)A. B. C. D.2.在三棱锥中,平面平面,,,则该三棱锥外接球的表面积是___________.3.(2023·重庆八中高三阶段练习)在四面体ABCD中,已知平面平面,且,其外接球表面积为()A. B. C. D.【题型七二面角模型】1.(2023·全国·高三专题练习)在三棱锥中,是边长为的等边三角形,,二面角是150°,则三棱锥外接球的表面积是(
)A. B.C. D.2.(2023·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,,,二面角的大小为,则三棱锥的外接球的表面积为(
)A. B. C. D.3.(2023·全国·高三专题练习)已知菱形中,,将其沿对角线折成四面体,使得二面角的大小为,若该四面体的所有顶点在同一个球面上,则该球的表面积为(
)A. B. C. D.【题型八内切球模型】1.(2023·江西·高三阶段练习)在三棱锥中,平面,且,若球在三棱锥的内部且与四个面都相切(称球为三棱锥的内切球),则球的表面积为(
)A. B. C. D.2.(2023·湖北·模拟预测)已知正四棱锥的侧棱长为,底面边长为2,则该四棱锥的内切球的体积为(
)A. B. C. D.3.(2023·全国·高三专题练习)如图,在四棱锥中,是正方形的中心,底面,,,则四棱锥内切球的体积为()A. B. C. D.7.2空间几何体外接球、内切球8大模型【题型解读】【题型一长方体、正方体模型】1.(2023·陕西安康·高三期末)已知三棱锥中,,底面,,,则该三棱锥的外接球的体积为(
)A. B. C. D.答案:B【解析】解:如图所示,将三棱锥放在长、宽、高分别为,,的长方体中,则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球,所以外接球的直径,∴该球的体积为.故选:B2.(2023·海原县高三模拟)在直三棱柱中,若,则该直三棱柱外接球的表面积为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形,取直角三角形斜边的中点,直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点,连接AO,,设外接球的半径为R,下底面外接圆的半径为r,r=,则,该直三棱柱外接球的表面积为,故选:C3.(2023·陕西高三模拟)在三棱锥中,,,则三棱锥外接球的表面积是___________.答案:【解析】因为,,则,,同理可证,,所以,、、两两垂直,将三棱锥补成正方体,如下图所示:正方体的体对角线即为三棱锥的外接球直径,设三棱锥的外接球半径为,则,所以,,因此,三棱锥的外接球的表面积为.故答案为:.4.(2023·广西·贵港市高级中学三模)《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”,将底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”,在如图所示的堑堵中,,,,则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为(
)A. B.C. D.答案:B【解析】由题知:剩余的几何体为三棱锥,平面,.将三棱锥放入长方体,长方体的外接球为三棱锥的外接球,如图所示:外接球半径,所以外接球体积,阳马—的体积为..故选:B.【题型二直棱柱模型】1.(2023·全国·高三专题练习)已知正三棱柱所有棱长都为6,则此三棱柱外接球的表面积为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】如图,为棱的中点,为正△的中心,为外接球的球心根据直棱柱外接球的性质可知∥,,外接球半径,∵正△的边长为6,则∴外接球的表面积故选:C.2.(2023·河南·高三阶段练习)已知三棱锥中,底面BCD是边长为的正三角形,底面BCD,且,则该几何体的外接球的表面积为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】由题意知:底面BCD是正三角形,底面BCD,将三棱锥补成如图所示正三棱柱,取上下底面的外心,易得球心即为中点,连接,易得,,设外接球半径为,则,则.故选:C.3.2022·全国高三模拟)已知三棱锥中,底面BCD是边长为的正三角形,底面BCD,且,则该几何体的外接球的表面积为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】由题意知:底面BCD是正三角形,底面BCD,将三棱锥补成如图所示正三棱柱,取上下底面的外心,易得球心即为中点,连接,易得,,设外接球半径为,则,则.故选:C.4.(2023·全国·高三专题练习)如图,在四棱锥中,底面,,,,,为棱的中点.若四棱锥的体积为,则三棱锥外接球的表面积为______.答案:【解析】由题意知:四边形的面积,设点到平面的距离为,则,解得:,又为中点,平面,;,两两互相垂直,三棱锥的外接球半径,三棱锥的外接球表面积.故答案为:.【题型三正棱锥与侧棱相等模型】1.(2023·湖北武汉·高三开学考试)已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上,若该球的表面积为,则该正三棱锥体积的最大值为___________.答案:【解析】因为,所以正三棱锥外接球半径,正三棱锥如图所示,设外接球圆心为,过向底面作垂线垂足为,因为是正三棱锥,所以是的中心,所以,,又因为,所以,所以,令,解得所以在递增,在递减,故当时,取最大值,.故答案为:.2.(2023·全国·高三专题练习)如图在正三棱锥中,分别是棱的中点,为棱上的一点,且,,若,则此正三棱锥的外接球的体积为(
)A. B. C. D.答案:D【解析】因为在中,分别是棱的中点,所以,因为,所以,因为三棱锥为正三棱锥,所以(对棱垂直),又因为面,,所以面,因为面,所以,在中,,因为三棱锥为正三棱锥,所以是等腰三角形,是等边三角形,所以,,所以,即,所以两两垂直,将此三棱锥放入正方体中,此正方体的面对角线长等于长,为,则该正方体棱长为,外接球半径,正方体外接球体积,此正三棱锥的外接球体积和正方体外接球体积相同,为.故选:D3.(2023·全国·高三专题练习).在正三棱锥中,,正三棱锥的体积是,则正三棱锥外接球的表面积是(
)A. B. C. D.答案:C【解析】如图所示,设点G为的外心,则平面,由,∴,则三棱锥的外接球的球心O在直线上.设其外接球的半径为R,由正弦定理得,在中,,由勾股定理得,即,解得.正三棱锥外接球的表面积是,故选:C.4.(2023·全国·高三专题练习)已知正四棱锥的底面边长为,侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°,顶点P,A,B,C,D在球O的球面上,则球O的体积是(
)A.16π B. C.8π D.答案:B【解析】在正四棱锥中,连接AC,BD,,连,如图,则有平面,为侧棱PA与底面ABCD所成的角,即,于是得,因此,顶点P,A,B,C,D在以为球心,2为半径的球面上,即点O与重合,所以球O的体积是.故选:B【题型四对棱相等模型】1.(2023·全国·高三专题练习)在三棱锥中,,,,则三棱锥的外接球的表面积为(
)A. B. C. D.答案:A【解析】三棱锥中,,,,构造长方体,使得面上的对角线长分别为4,5,,则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径,如图,设长方体的棱长分别为,,,则,,,则,因此三棱锥外接球的直径为,所以三棱锥外接球的表面积为.故选:A2.(2023·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习)在四面体中,若,,,则四面体的外接球的表面积为(
)A. B. C. D.答案:C【解析】由题意可采用割补法,考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形,所以可在其每个面补上一个以,2,为三边的三角形作为底面,且以分别x,y,z长、两两垂直的侧棱的三棱锥,从而可得到一个长、宽、高分别为x,y,z的长方体,并且x2+y2=3,x2+z2=5,y2+z2=4,则有(2R)2=x2+y2+z2=6(R为球的半径),得2R2=3,所以球的表面积为S=4πR2=6π.故答案为.3.(2023·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,,,,则三棱锥外接球的体积为(
)
A. B. C. D.答案:C【解析】解:由题意,,,,将三棱锥放到长方体中,可得长方体的三条对角线分别为,2,,设长方体的长、宽、高分别为,则,,,解得,,.所以三棱锥外接球的半径.三棱锥外接球的体积.故选:C【题型五共斜边拼接模型】1.(2023.江西高三模拟)在矩形中,,沿对角线进行翻折,则三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.答案:D【解析】因为在翻折过程中,始终不变,所以的中点到,,,四点的距离始终相等,三棱锥外接球的直径为,所以外接球的表面积为,故选:D2.(2023·全国·高三专题练习)在矩形中,,点,分别是,的中点,沿将四边形折起,使,若折起后点,,,,,都在球的表面上,则球的表面积为答案:【解析】因为矩形中,,点,分别是,的中点,所以四边形和四边形是正方形,又沿将四边形折起,使,所以几何体是正三棱柱,,设球的球心在底面的射影为,因此,显然是等边三角形的中心,,在直角三角形中,,所以球的表面积为,3.(2023·安徽合肥市高三期末)将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角,得到四面体,则四面体的外接球的表面积为()A. B. C. D.答案:A【解析】取的中点,连接、,如下图所示:由题意,因为,为的中点,所以,,所以,为四面体的外接球的球心,且球的半径为,因此,四面体的外接球的表面积为.故选:A.【题型六垂面模型】1.(2023·江西高三期末)在三棱锥中,平面平面,,,则该三棱锥外接球的表面积是(
)A. B. C. D.答案:B【解析】如图所示:其中D为AB的中点,O为外接圆的圆心,,∴O在CD上,且,.,D为AB的中点,,∵平面平面ABC,平面平面,平面ABC,平面PAB.又DA,DB,平面PAB,,,.在中,,D为AB的中点,..∴O即为三棱锥外接球的球心,且外接球半径,∴该三棱锥外接球的表面积.故选:B2.在三棱锥中,平面平面,,,则该三棱锥外接球的表面积是___________.答案:【解析】如图所示:设点D为AB的中点,O为外接圆的圆心,∵,∴O在CD上,且,,∴,∵平面平面ABC,平面平面,平面ABC,∴平面PAB,又AB,平面PAB,∴,,在中,,D为AB的中点,∴,∴,∴O即为三棱锥外接球的球心,且外接球半径,∴该三棱锥外接球的表面积.故答案为:.3.(2023·重庆八中高三阶段练习)在四面体ABCD中,已知平面平面,且,其外接球表面积为()A. B. C. D.答案:B【解析】四面体ABCD中,取AB的中点E,连CE,DE,如图:因,则,有平面CDE,所以平面CDE⊥平面ABC,平面CDE⊥平面ABD,令正△ABD中心为O2,正△ABC中心为O1,在平面CDE内分别过O1,O2作直线CE,DE的垂线,两线交于点O,则有O1O⊥平面ABC,平面O2O⊥平面ABD,由球的截面小圆性质知,四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上,即点O是球心,连OA,O1A,OA即为球O的半径,因平面平面,则,而,即有四边形OO1EO2是正方形,则,中,,则,所求外接球的表面积.故选:B【题型七二面角模型】1.(2023·全国·高三专题练习)在三棱锥中,是边长为的等边三角形,,二面角是150°,则三棱锥外接球的表面积是(
)A. B.C. D.答案:A【解析】如图,作平面ABC,垂足为E,连接BE,记,连接PD.由题意可得D为AC的中点.在中,,D为AC的中点,因为,所以,则.因为二面角是150°,所以,所以,.因为是边长为的等边三角形,且D为AC的中点,所以.设为外接圆的圆心,则.设三棱锥外接球的球心为O,因为,所以O在平面ABC下方,连接,OB,OP,作,垂足为H,则,.设三棱锥外接球的半径为,,即,解得,故三棱锥外接球的表面积是.故选:A.2.(2023·全国·高三专题练习)如图,在三棱锥中,,,二面角的大小为,则三棱锥的外接球的表面积为(
)A. B. C. D.答案:D【解析】如图1,过作垂足为,取的中点,连接过作∥,且=,连接,则∵△为等边三角形,则∴,,根据题意可得∵,则由题意可得,则,则如图2,∵,则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心,则三棱锥的外接球的球心在直线上,连接,则∴△的外接圆半径,则设棱锥的外接球的半径为,则即,解得三棱锥的外接球的表面积为故选:D.3.(2023·全国·高三专题练习)已知菱形中,,将其沿对角线折成四面体,使得二面角的大小为,若该四面体的所有顶点在同一个球面上,则该球的表面积为(
)A. B. C. D.答案:A【解析】在菱形中,,则为等边三角形,设线段的中点
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