高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.2空间几何体外接球、内切球8大模型(精练)(原卷版+解析)

7.2空间几何体外接球、内切球8大模型【题型解读】【题型一长方体、正方体模型】1.(2023·陕西安康·高三期末）已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．2.(2023·海原县高三模拟）在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3.(2023·陕西高三模拟）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.4.(2023·广西·贵港市高级中学三模）《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（

）A． B．C． D．【题型二直棱柱模型】1.(2023·全国·高三专题练习）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2.(2023·河南·高三阶段练习）已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3.2022·全国高三模拟）已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．4.（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点．若四棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______．【题型三正棱锥与侧棱相等模型】1.(2023·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.2.(2023·全国·高三专题练习）如图在正三棱锥中，分别是棱的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）．在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．4.(2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（

）A．16π B． C．8π D．【题型四对棱相等模型】1.(2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．2.(2023·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3.(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）

A． B． C． D．【题型五共斜边拼接模型】1.(2023.江西高三模拟）在矩形中，，沿对角线进行翻折，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．2.(2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，点，分别是，的中点，沿将四边形折起，使，若折起后点，，，，，都在球的表面上，则球的表面积为3.(2023·安徽合肥市高三期末）将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．【题型六垂面模型】1.(2023·江西高三期末）在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．2.在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.3.(2023·重庆八中高三阶段练习）在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为（）A． B． C． D．【题型七二面角模型】1.(2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，二面角是150°，则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B．C． D．2.(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．3.(2023·全国·高三专题练习）已知菱形中，，将其沿对角线折成四面体，使得二面角的大小为，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．【题型八内切球模型】1.(2023·江西·高三阶段练习）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（

）A． B． C． D．2.(2023·湖北·模拟预测）已知正四棱锥的侧棱长为，底面边长为2，则该四棱锥的内切球的体积为（

）A． B． C． D．3.(2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，是正方形的中心，底面，，，则四棱锥内切球的体积为（）A． B． C． D．7.2空间几何体外接球、内切球8大模型【题型解读】【题型一长方体、正方体模型】1.(2023·陕西安康·高三期末）已知三棱锥中，，底面，，，则该三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】解：如图所示，将三棱锥放在长、宽、高分别为，，的长方体中，则三棱锥的外接球即为该长方本的外接球，所以外接球的直径，∴该球的体积为.故选：B2.(2023·海原县高三模拟）在直三棱柱中，若，则该直三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意可得三棱柱的上下底面为直角三角形，取直角三角形斜边的中点，直三棱柱的外接球的球心O为上下底面的外接圆圆心的连线的中点，连接AO，,设外接球的半径为R，下底面外接圆的半径为r，r=，则，该直三棱柱外接球的表面积为,故选：C3.(2023·陕西高三模拟）在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是___________.答案：【解析】因为，，则，，同理可证，，所以，、、两两垂直，将三棱锥补成正方体，如下图所示：正方体的体对角线即为三棱锥的外接球直径，设三棱锥的外接球半径为，则，所以，，因此，三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：.4.(2023·广西·贵港市高级中学三模）《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵中，，，，则在堑堵中截掉阳马后的几何体的外接球的体积与阳马的体积比为（

）A． B．C． D．答案：B【解析】由题知：剩余的几何体为三棱锥，平面，．将三棱锥放入长方体，长方体的外接球为三棱锥的外接球，如图所示：外接球半径，所以外接球体积，阳马—的体积为．．故选：B．【题型二直棱柱模型】1.(2023·全国·高三专题练习）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如图，为棱的中点，为正△的中心，为外接球的球心根据直棱柱外接球的性质可知∥，，外接球半径，∵正△的边长为6，则∴外接球的表面积故选：C．2.(2023·河南·高三阶段练习）已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意知：底面BCD是正三角形，底面BCD，将三棱锥补成如图所示正三棱柱，取上下底面的外心，易得球心即为中点，连接，易得，，设外接球半径为，则，则.故选：C．3.2022·全国高三模拟）已知三棱锥中，底面BCD是边长为的正三角形，底面BCD，且，则该几何体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意知：底面BCD是正三角形，底面BCD，将三棱锥补成如图所示正三棱柱，取上下底面的外心，易得球心即为中点，连接，易得，，设外接球半径为，则，则.故选：C．4.（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点．若四棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______．答案：【解析】由题意知：四边形的面积，设点到平面的距离为，则，解得：，又为中点，平面，；，两两互相垂直，三棱锥的外接球半径，三棱锥的外接球表面积.故答案为：.【题型三正棱锥与侧棱相等模型】1.(2023·湖北武汉·高三开学考试）已知正三棱锥的各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为，则该正三棱锥体积的最大值为___________.答案：【解析】因为，所以正三棱锥外接球半径，正三棱锥如图所示，设外接球圆心为，过向底面作垂线垂足为，因为是正三棱锥，所以是的中心，所以，,又因为，所以，所以，令，解得所以在递增，在递减，故当时，取最大值，.故答案为：.2.(2023·全国·高三专题练习）如图在正三棱锥中，分别是棱的中点，为棱上的一点，且，，若，则此正三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为在中，分别是棱的中点，所以，因为，所以，因为三棱锥为正三棱锥，所以（对棱垂直），又因为面，，所以面，因为面，所以，在中，，因为三棱锥为正三棱锥，所以是等腰三角形，是等边三角形，所以，,所以，即，所以两两垂直，将此三棱锥放入正方体中，此正方体的面对角线长等于长，为,则该正方体棱长为，外接球半径，正方体外接球体积,此正三棱锥的外接球体积和正方体外接球体积相同，为.故选：D3．(2023·全国·高三专题练习）．在正三棱锥中，，正三棱锥的体积是，则正三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】如图所示，设点G为的外心，则平面，由，∴，则三棱锥的外接球的球心O在直线上．设其外接球的半径为R，由正弦定理得，在中，，由勾股定理得，即，解得．正三棱锥外接球的表面积是，故选：C．4.(2023·全国·高三专题练习）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱PA与底面ABCD所成的角为45°，顶点P，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的体积是（

）A．16π B． C．8π D．答案：B【解析】在正四棱锥中，连接AC，BD，，连，如图，则有平面，为侧棱PA与底面ABCD所成的角，即，于是得，因此，顶点P，A，B，C，D在以为球心，2为半径的球面上，即点O与重合，所以球O的体积是.故选：B【题型四对棱相等模型】1.(2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】三棱锥中，，，，构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，5，，则长方体的对角线长等于三棱锥外接球的直径，如图，设长方体的棱长分别为，，，则，，，则，因此三棱锥外接球的直径为，所以三棱锥外接球的表面积为．故选：A2.(2023·吉林·洮南市第一中学高三阶段练习）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．故答案为．3.(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）

A． B． C． D．答案：C【解析】解：由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，设长方体的长、宽、高分别为，则，，，解得，，．所以三棱锥外接球的半径．三棱锥外接球的体积．故选：C【题型五共斜边拼接模型】1.(2023.江西高三模拟）在矩形中，，沿对角线进行翻折，则三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．答案：D【解析】因为在翻折过程中，始终不变，所以的中点到，，，四点的距离始终相等，三棱锥外接球的直径为，所以外接球的表面积为，故选：D2.(2023·全国·高三专题练习）在矩形中，，点，分别是，的中点，沿将四边形折起，使，若折起后点，，，，，都在球的表面上，则球的表面积为答案：【解析】因为矩形中，，点，分别是，的中点，所以四边形和四边形是正方形，又沿将四边形折起，使，所以几何体是正三棱柱，，设球的球心在底面的射影为，因此，显然是等边三角形的中心，，在直角三角形中，，所以球的表面积为，3.(2023·安徽合肥市高三期末）将长、宽分别为和的长方形沿对角线折成直二面角，得到四面体，则四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．答案：A【解析】取的中点，连接、，如下图所示：由题意，因为，为的中点，所以，，所以，为四面体的外接球的球心，且球的半径为，因此，四面体的外接球的表面积为.故选：A.【题型六垂面模型】1.(2023·江西高三期末）在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】如图所示：其中D为AB的中点，O为外接圆的圆心，，∴O在CD上，且，．，D为AB的中点，，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，平面PAB．又DA，DB，平面PAB，，，．在中，，D为AB的中点，．．∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，∴该三棱锥外接球的表面积．故选：B2.在三棱锥中，平面平面，，，则该三棱锥外接球的表面积是___________.答案：【解析】如图所示：设点D为AB的中点，O为外接圆的圆心，∵，∴O在CD上，且，，∴，∵平面平面ABC，平面平面，平面ABC，∴平面PAB，又AB，平面PAB，∴，，在中，，D为AB的中点，∴，∴，∴O即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径，∴该三棱锥外接球的表面积.故答案为：.3.(2023·重庆八中高三阶段练习）在四面体ABCD中，已知平面平面，且，其外接球表面积为（）A． B． C． D．答案：B【解析】四面体ABCD中，取AB的中点E，连CE，DE，如图：因，则，有平面CDE，所以平面CDE⊥平面ABC，平面CDE⊥平面ABD，令正△ABD中心为O2，正△ABC中心为O1，在平面CDE内分别过O1，O2作直线CE，DE的垂线，两线交于点O，则有O1O⊥平面ABC，平面O2O⊥平面ABD，由球的截面小圆性质知，四面体ABCD外接球球心在直线O1O和直线O2O上，即点O是球心，连OA，O1A，OA即为球O的半径，因平面平面，则，而，即有四边形OO1EO2是正方形，则，中，，则，所求外接球的表面积.故选：B【题型七二面角模型】1.(2023·全国·高三专题练习）在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，二面角是150°，则三棱锥外接球的表面积是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】如图，作平面ABC，垂足为E，连接BE，记，连接PD.由题意可得D为AC的中点.在中，，D为AC的中点，因为，所以，则.因为二面角是150°，所以，所以，.因为是边长为的等边三角形，且D为AC的中点，所以.设为外接圆的圆心，则.设三棱锥外接球的球心为O，因为，所以O在平面ABC下方，连接，OB，OP，作，垂足为H，则，.设三棱锥外接球的半径为，，即，解得，故三棱锥外接球的表面积是.故选：A.2.(2023·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如图1，过作垂足为，取的中点，连接过作∥,且=，连接，则∵△为等边三角形，则∴，，根据题意可得∵，则由题意可得，则，则如图2，∵，则顶点在平面的投影为△的外接圆圆心，则三棱锥的外接球的球心在直线上，连接，则∴△的外接圆半径，则设棱锥的外接球的半径为，则即，解得三棱锥的外接球的表面积为故选：D．3.(2023·全国·高三专题练习）已知菱形中，，将其沿对角线折成四面体，使得二面角的大小为，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】在菱形中，，则为等边三角形，设线段的中点