高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)8.4椭圆及其性质(精讲)(原卷版+解析)

8.4椭圆及其性质【题型解读】【知识必备】1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．(2)＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.【题型精讲】【题型一椭圆的定义及应用】例1(2023·全国·高三专题练习）下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝eq\r(2)的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．例2（1）(2023·福建高三期末）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（） B． C． D．（2）(2023·江苏省苏州实验中学高三期中）方程表示椭圆，则实数的取值范围（）A． B． C． D．且例3已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1例4(2023·全国高三模拟）已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（）A． B． C． D．【跟踪精练】1.(2023·全国·高三专题练习）“"是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.(2023·深圳模拟)已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（）A．1 B．－1 C． D．3.(2023·全国高三模拟）已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.①存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；②存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；③不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；④不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）【题型二焦点三角形问题】例5(2023·青岛高三模拟）椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．例6(2023·山东日照高三模拟）已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．例7(2023·重庆一中高三期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______．【跟踪精练】1.(2023·武功县普集高级中学期末）已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为9，则____________．2.(2023·全国高三模拟）设点是椭圆上的点，，是该椭圆的两个焦点，若的面积为，则_______．【题型三椭圆的标准方程】方法技巧根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．注意验证斜率不存在的情况．例8(2023·全国高三专题练习）(1)已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1C.eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1 D.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，则椭圆的方程为______________．(3)(一题多解)过点(eq\r(3)，－eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________．例9(2023·广东深圳市·高三二模）已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为（）A． B．C． D．【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F，椭圆上的两点P､Q关于原点对称，若6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．2.(2023·全国·模拟预测）写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程__________．3.(2023·山西太原五中高三期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．【题型四椭圆的性质】例10(1)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)(2)(福州模拟)过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．例11(1)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的最大值为()A．2 B．3C．6 D．8(2)P为椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则eq\o(PE,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))的取值范围是()A．[0,15] B．[5,15]C．[5,21] D．(5,21)【题型精练】1.(2023·浙江·高三开学考试）已知分别为椭圆的左､右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（

）A． B． C． D．2.(2023·江西·高三开学考试）设椭圆的左、右焦点分别为，，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．3.(2023·全国·高三专题练习）设、是椭圆的左、右焦点，若椭圆外存在点使得，则椭圆的离心率的取值范围______．4.(2023·广西柳州·模拟预测）已知是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动，求的最小值为___．8.4椭圆及其性质【题型解读】【知识必备】1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点A1(－a，0)，A2(a，0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大．(2)＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.【题型精讲】【题型一椭圆的定义及应用】例1(2023·全国·高三专题练习）下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(－1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝eq\r(2)的点P的轨迹为椭圆；②已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段；③到定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆．答案：②【解析】①eq\r(2)<2，故点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③到定点F1(－3，0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)．例2（1）(2023·福建高三期末）如果表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（） B． C． D．（2）(2023·江苏省苏州实验中学高三期中）方程表示椭圆，则实数的取值范围（）A． B． C． D．且答案：（1）A（2）D【解析】（1）转化为椭圆的标准方程，得，因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得.所以实数的取值范围是.选A.（2）方程表示椭圆，若焦点在x轴上，；若焦点在y轴上，.综上：实数的取值范围是且故选：D例3已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,64)－eq\f(y2,48)＝1 B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,48)＝1C.eq\f(x2,48)－eq\f(y2,64)＝1 D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1【解析】(1)设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.例4(2023·全国高三模拟）已知椭圆，，，点是椭圆上的一动点，则的最小值为（）A． B． C． D．答案：B【解析】由题意知为椭圆的右焦点，设左焦点为，由椭圆的定义知，所以.又，如图，设直线交椭圆于，两点.当为点时，最小，最小值为.故选：B【跟踪精练】1.(2023·全国·高三专题练习）“"是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B【解析】因为方程+=1表示焦点在轴上的椭圆，所以，解得，故“”是“方程+=1表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：B2.(2023·深圳模拟)已知椭圆的右焦点为，为椭圆上一动点，定点，则的最小值为（）A．1 B．－1 C． D．答案：A【解析】设椭圆的左焦点为，则，可得，所以，如图所示，当且仅当，，三点共线（点在线段上）时，此时取得最小值，又由椭圆，可得且，所以，所以的最小值为1．故选：A．3.(2023·全国高三模拟）已知平面内两个定点和点，是动点，且直线,的斜率乘积为常数，设点的轨迹为.①存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；②存在常数，使上所有点到两点距离之和为定值；③不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值；④不存在常数，使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_______________.（填出所有正确命题的序号）答案：②④【解析】设点P的坐标为：P（x，y），依题意，有：，整理，得：，对于①，点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且c＝4，a＜0，椭圆在x轴上两顶点的距离为：2＝6，焦点为：2×4＝8，不符；对于②，点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，且c＝4，椭圆方程为：，则，解得：，符合；对于③，当时，，所以，存在满足题意的实数a，③错误；对于④，点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线，即，不可能成为焦点在y轴上的双曲线，所以，不存在满足题意的实数a，正确.所以，正确命题的序号是②④.【题型二焦点三角形问题】例5(2023·青岛高三模拟）椭圆的焦点为点在椭圆上，若则的大小为___．答案：【解析】，．在中，，．故答案为：.例6(2023·山东日照高三模拟）已知点在椭圆上，与分别为左、右焦点，若，则的面积为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由，，又，解得，.故选：A.例7(2023·重庆一中高三期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______．答案：【解析】椭圆，所以，即、，直线过左焦点，所以，，，所以；故答案为：【跟踪精练】1.(2023·武功县普集高级中学期末）已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且．若的面积为9，则____________．答案：3【解析】由知，则由题意，得，所以可得，即，所以.故答案为：3．2.(2023·全国高三模拟）设点是椭圆上的点，，是该椭圆的两个焦点，若的面积为，则_______．答案：【解析】在椭圆中，长半轴，半焦距，由椭圆定义得，在中，由余弦定理得：，即：，则，又的面积为，则，即，于是得，两边平方得，解得，则，所以.故答案为：【题型三椭圆的标准方程】方法技巧根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．注意验证斜率不存在的情况．例8(2023·全国高三专题练习）(1)已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的标准方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,40)＋eq\f(y2,15)＝1C.eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1 D.eq\f(x2,45)＋eq\f(y2,20)＝1(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)))，(eq\r(3)，eq\r(5))，则椭圆的方程为______________．(3)(一题多解)过点(eq\r(3)，－eq\r(5))，且与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________．【解析】(1)由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′(图略)，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝eq\r(|FF′|2－|PF|2)＝eq\r(102－62)＝8，由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，于是b2＝a2－c2＝49－25＝24，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,49)＋eq\f(y2,24)＝1，故选C.(2)设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2m＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2n＝1，,3m＋5n＝1，))解得m＝eq\f(1,6)，n＝eq\f(1,10).所以椭圆方程为eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1.(3)法一：定义法椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义，知2a＝eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)＋42)＋eq\r(\r(3)－02＋－\r(5)－42)，解得a＝2eq\r(5).由c2＝a2－b2可得b2＝4，所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.法二：待定系数法∵所求椭圆与椭圆eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1的焦点相同，∴其焦点在y轴上，且c2＝25－9＝16.设它的标准方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)．∵c2＝16，且c2＝a2－b2，故a2－b2＝16.①又点(eq\r(3)，－eq\r(5))在所求椭圆上，∴eq\f(－\r(5)2,a2)＋eq\f(\r(3)2,b2)＝1，即eq\f(5,a2)＋eq\f(3,b2)＝1.②由①②得b2＝4，a2＝20，∴所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1.[答案](1)C(2)eq\f(y2,10)＋eq\f(x2,6)＝1(3)eq\f(y2,20)＋eq\f(x2,4)＝1例9(2023·广东深圳市·高三二模）已知椭圆的两个焦点分别为，，过的直线与交于，两点．若，，则椭圆的方程为（）A． B．C． D．答案：D【解析】，所以可得，又因为，所以可得，即为短轴的顶点，设为短轴的上顶点，，，所以，所以直线的方程为：，由题意设椭圆的方程为：，则，联立，整理可得：，即，可得，代入直线的方程可得，所以，因为，所以，整理可得：，解得：，可得，所以椭圆的方程为：，故选：D．【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F，椭圆上的两点P､Q关于原点对称，若6，且椭圆C的离心率为，则椭圆C的方程为（）A． B． C． D．答案：A【解析】由椭圆的定义及椭圆的对称性可得由椭圆C的离心率为得，所以故选：A2.(2023·全国·模拟预测）写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程__________．答案：（答案不唯一）【解析】由题可知椭圆的形式应为（，且），可取故答案为：（答案不唯一）3.(2023·山西太原五中高三期末）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上，且椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（）A． B． C． D．答案：D【解析】设椭圆的标准方程为()，焦距为，则：解得故选：D【题型四椭圆的性质】例10(1)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)(2)(福州模拟)过椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是________．【解析】(1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2c.由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝eq\r(3)c，|BF2|＝c，故|AB|＝a＋c＋c＝a＋2c，tan∠PAB＝eq\f(|PB|,|AB|)＝eq\f(\r(3)c,a＋2c)＝eq\f(\r(3),6)，解得a＝4c，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,4).(2)由题设知，直线l：eq\f(x,－c)＋eq\f(y,b)＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±eq\f(b2,a)，即圆的半径r＝eq\f(b2,a).又圆与直线l有公共点，所以eq\f(2bc,\r(b2＋c2))≤eq\f(b2,a)，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝eq\f(c,a)≤eq\f(\r(5),5).又0＜e＜1，所以0＜e≤eq\f(\r(5),5).[答案](1)D(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(5),5)))例11(1)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的最大值为()A．2 B．3C．6 D．8(2)P为椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,15)＝1上任意一点，EF为圆N：(x－1)2＋y2＝4的任意一条直径，则eq\o(PE,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))的取值范围是()A．[0,15] B．[5,15]C．[5,21] D．(5,21)【解析】(1)设点P(x0，y0)，则eq\f(x\o\al(2,0),4)＋eq\f(y\o\al(2,0),3)＝1，即yeq\o\al(2,0)＝3－eq\f(3x\o\al(2,0),4).因为点F(－1,0)，所以eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))＝x0(x0＋1)＋