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文档简介
8.4椭圆及其性质【题型解读】【知识必备】1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.2.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0)范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长短轴长为2b,长轴长为2a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c对称性对称轴:x轴和y轴,对称中心:原点离心率e=eq\f(c,a)(0<e<1)a,b,c的关系a2=b2+c2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.(1)当P为短轴端点时,θ最大,最大.(2)=eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ=b2taneq\f(θ,2)=c|y0|.(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|+|PF2|,2)))2=a2.(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ.【题型精讲】【题型一椭圆的定义及应用】例1(2023·全国·高三专题练习)下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|=eq\r(2)的点P的轨迹为椭圆;②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段;③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.例2(1)(2023·福建高三期末)如果表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是() B. C. D.(2)(2023·江苏省苏州实验中学高三期中)方程表示椭圆,则实数的取值范围()A. B. C. D.且例3已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,64)-eq\f(y2,48)=1 B.eq\f(y2,64)+eq\f(x2,48)=1C.eq\f(x2,48)-eq\f(y2,64)=1 D.eq\f(x2,64)+eq\f(y2,48)=1例4(2023·全国高三模拟)已知椭圆,,,点是椭圆上的一动点,则的最小值为()A. B. C. D.【跟踪精练】1.(2023·全国·高三专题练习)“"是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.(2023·深圳模拟)已知椭圆的右焦点为,为椭圆上一动点,定点,则的最小值为()A.1 B.-1 C. D.3.(2023·全国高三模拟)已知平面内两个定点和点,是动点,且直线,的斜率乘积为常数,设点的轨迹为.①存在常数,使上所有点到两点距离之和为定值;②存在常数,使上所有点到两点距离之和为定值;③不存在常数,使上所有点到两点距离差的绝对值为定值;④不存在常数,使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_______________.(填出所有正确命题的序号)【题型二焦点三角形问题】例5(2023·青岛高三模拟)椭圆的焦点为点在椭圆上,若则的大小为___.例6(2023·山东日照高三模拟)已知点在椭圆上,与分别为左、右焦点,若,则的面积为(
)A. B. C. D.例7(2023·重庆一中高三期中)已知分别为椭圆的左、右焦点,直线与椭圆交于P,Q两点,则的周长为______.【跟踪精练】1.(2023·武功县普集高级中学期末)已知、是椭圆:的两个焦点,为椭圆上一点,且.若的面积为9,则____________.2.(2023·全国高三模拟)设点是椭圆上的点,,是该椭圆的两个焦点,若的面积为,则_______.【题型三椭圆的标准方程】方法技巧根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.注意验证斜率不存在的情况.例8(2023·全国高三专题练习)(1)已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的标准方程为()A.eq\f(x2,36)+eq\f(y2,16)=1 B.eq\f(x2,40)+eq\f(y2,15)=1C.eq\f(x2,49)+eq\f(y2,24)=1 D.eq\f(x2,45)+eq\f(y2,20)=1(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),\f(5,2))),(eq\r(3),eq\r(5)),则椭圆的方程为______________.(3)(一题多解)过点(eq\r(3),-eq\r(5)),且与椭圆eq\f(y2,25)+eq\f(x2,9)=1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________.例9(2023·广东深圳市·高三二模)已知椭圆的两个焦点分别为,,过的直线与交于,两点.若,,则椭圆的方程为()A. B.C. D.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆的右焦点为F,椭圆上的两点P、Q关于原点对称,若6,且椭圆C的离心率为,则椭圆C的方程为()A. B. C. D.2.(2023·全国·模拟预测)写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程__________.3.(2023·山西太原五中高三期末)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上,且椭圆的离心率为,面积为,则椭圆的标准方程为()A. B. C. D.【题型四椭圆的性质】例10(1)已知F1,F2是椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)(2)(福州模拟)过椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线,交C于A,B两点,直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点,则C的离心率的取值范围是________.例11(1)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的最大值为()A.2 B.3C.6 D.8(2)P为椭圆eq\f(x2,16)+eq\f(y2,15)=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径,则eq\o(PE,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))的取值范围是()A.[0,15] B.[5,15]C.[5,21] D.(5,21)【题型精练】1.(2023·浙江·高三开学考试)已知分别为椭圆的左、右焦点,过的直线与交于两点,若,则的离心率是(
)A. B. C. D.2.(2023·江西·高三开学考试)设椭圆的左、右焦点分别为,,点M,N在C上(M位于第一象限),且点M,N关于原点O对称,若,,则C的离心率为(
)A. B. C. D.3.(2023·全国·高三专题练习)设、是椭圆的左、右焦点,若椭圆外存在点使得,则椭圆的离心率的取值范围______.4.(2023·广西柳州·模拟预测)已知是椭圆的左、右焦点,P在椭圆上运动,求的最小值为___.8.4椭圆及其性质【题型解读】【知识必备】1.椭圆的定义把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.2.椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0)范围-a≤x≤a且-b≤y≤b-b≤x≤b且-a≤y≤a顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长短轴长为2b,长轴长为2a焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)焦距|F1F2|=2c对称性对称轴:x轴和y轴,对称中心:原点离心率e=eq\f(c,a)(0<e<1)a,b,c的关系a2=b2+c2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形.如图所示,设∠F1PF2=θ.(1)当P为短轴端点时,θ最大,最大.(2)=eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ=b2taneq\f(θ,2)=c|y0|.(3)|PF1|max=a+c,|PF1|min=a-c.(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|+|PF2|,2)))2=a2.(5)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ.【题型精讲】【题型一椭圆的定义及应用】例1(2023·全国·高三专题练习)下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|=eq\r(2)的点P的轨迹为椭圆;②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段;③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆.答案:②【解析】①eq\r(2)<2,故点P的轨迹不存在;②因为|PF1|+|PF2|=|F1F2|=4,所以点P的轨迹是线段F1F2;③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴).例2(1)(2023·福建高三期末)如果表示焦点在轴上的椭圆,那么实数的取值范围是() B. C. D.(2)(2023·江苏省苏州实验中学高三期中)方程表示椭圆,则实数的取值范围()A. B. C. D.且答案:(1)A(2)D【解析】(1)转化为椭圆的标准方程,得,因为表示焦点在轴上的椭圆,所以,解得.所以实数的取值范围是.选A.(2)方程表示椭圆,若焦点在x轴上,;若焦点在y轴上,.综上:实数的取值范围是且故选:D例3已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,64)-eq\f(y2,48)=1 B.eq\f(y2,64)+eq\f(x2,48)=1C.eq\f(x2,48)-eq\f(y2,64)=1 D.eq\f(x2,64)+eq\f(y2,48)=1【解析】(1)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为eq\f(x2,64)+eq\f(y2,48)=1.例4(2023·全国高三模拟)已知椭圆,,,点是椭圆上的一动点,则的最小值为()A. B. C. D.答案:B【解析】由题意知为椭圆的右焦点,设左焦点为,由椭圆的定义知,所以.又,如图,设直线交椭圆于,两点.当为点时,最小,最小值为.故选:B【跟踪精练】1.(2023·全国·高三专题练习)“"是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案:B【解析】因为方程+=1表示焦点在轴上的椭圆,所以,解得,故“”是“方程+=1表示焦点在轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选:B2.(2023·深圳模拟)已知椭圆的右焦点为,为椭圆上一动点,定点,则的最小值为()A.1 B.-1 C. D.答案:A【解析】设椭圆的左焦点为,则,可得,所以,如图所示,当且仅当,,三点共线(点在线段上)时,此时取得最小值,又由椭圆,可得且,所以,所以的最小值为1.故选:A.3.(2023·全国高三模拟)已知平面内两个定点和点,是动点,且直线,的斜率乘积为常数,设点的轨迹为.①存在常数,使上所有点到两点距离之和为定值;②存在常数,使上所有点到两点距离之和为定值;③不存在常数,使上所有点到两点距离差的绝对值为定值;④不存在常数,使上所有点到两点距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是_______________.(填出所有正确命题的序号)答案:②④【解析】设点P的坐标为:P(x,y),依题意,有:,整理,得:,对于①,点的轨迹为焦点在x轴上的椭圆,且c=4,a<0,椭圆在x轴上两顶点的距离为:2=6,焦点为:2×4=8,不符;对于②,点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆,且c=4,椭圆方程为:,则,解得:,符合;对于③,当时,,所以,存在满足题意的实数a,③错误;对于④,点的轨迹为焦点在y轴上的双曲线,即,不可能成为焦点在y轴上的双曲线,所以,不存在满足题意的实数a,正确.所以,正确命题的序号是②④.【题型二焦点三角形问题】例5(2023·青岛高三模拟)椭圆的焦点为点在椭圆上,若则的大小为___.答案:【解析】,.在中,,.故答案为:.例6(2023·山东日照高三模拟)已知点在椭圆上,与分别为左、右焦点,若,则的面积为(
)A. B. C. D.答案:A【解析】由,,又,解得,.故选:A.例7(2023·重庆一中高三期中)已知分别为椭圆的左、右焦点,直线与椭圆交于P,Q两点,则的周长为______.答案:【解析】椭圆,所以,即、,直线过左焦点,所以,,,所以;故答案为:【跟踪精练】1.(2023·武功县普集高级中学期末)已知、是椭圆:的两个焦点,为椭圆上一点,且.若的面积为9,则____________.答案:3【解析】由知,则由题意,得,所以可得,即,所以.故答案为:3.2.(2023·全国高三模拟)设点是椭圆上的点,,是该椭圆的两个焦点,若的面积为,则_______.答案:【解析】在椭圆中,长半轴,半焦距,由椭圆定义得,在中,由余弦定理得:,即:,则,又的面积为,则,即,于是得,两边平方得,解得,则,所以.故答案为:【题型三椭圆的标准方程】方法技巧根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法:根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.(2)待定系数法:根据题目所给的条件确定椭圆中的a,b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.注意验证斜率不存在的情况.例8(2023·全国高三专题练习)(1)已知椭圆C的中心为原点O,F(-5,0)为C的左焦点,P为C上一点,满足|OP|=|OF|且|PF|=6,则椭圆C的标准方程为()A.eq\f(x2,36)+eq\f(y2,16)=1 B.eq\f(x2,40)+eq\f(y2,15)=1C.eq\f(x2,49)+eq\f(y2,24)=1 D.eq\f(x2,45)+eq\f(y2,20)=1(2)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),\f(5,2))),(eq\r(3),eq\r(5)),则椭圆的方程为______________.(3)(一题多解)过点(eq\r(3),-eq\r(5)),且与椭圆eq\f(y2,25)+eq\f(x2,9)=1有相同焦点的椭圆的标准方程为________________________.【解析】(1)由题意可得c=5,设右焦点为F′,连接PF′(图略),由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,∴∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,∴∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=eq\r(|FF′|2-|PF|2)=eq\r(102-62)=8,由椭圆的定义,得|PF|+|PF′|=2a=6+8=14,从而a=7,a2=49,于是b2=a2-c2=49-25=24,∴椭圆C的方程为eq\f(x2,49)+eq\f(y2,24)=1,故选C.(2)设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2)))2m+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2n=1,,3m+5n=1,))解得m=eq\f(1,6),n=eq\f(1,10).所以椭圆方程为eq\f(y2,10)+eq\f(x2,6)=1.(3)法一:定义法椭圆eq\f(y2,25)+eq\f(x2,9)=1的焦点为(0,-4),(0,4),即c=4.由椭圆的定义,知2a=eq\r(\r(3)-02+-\r(5)+42)+eq\r(\r(3)-02+-\r(5)-42),解得a=2eq\r(5).由c2=a2-b2可得b2=4,所以所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)+eq\f(x2,4)=1.法二:待定系数法∵所求椭圆与椭圆eq\f(y2,25)+eq\f(x2,9)=1的焦点相同,∴其焦点在y轴上,且c2=25-9=16.设它的标准方程为eq\f(y2,a2)+eq\f(x2,b2)=1(a>b>0).∵c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.①又点(eq\r(3),-eq\r(5))在所求椭圆上,∴eq\f(-\r(5)2,a2)+eq\f(\r(3)2,b2)=1,即eq\f(5,a2)+eq\f(3,b2)=1.②由①②得b2=4,a2=20,∴所求椭圆的标准方程为eq\f(y2,20)+eq\f(x2,4)=1.[答案](1)C(2)eq\f(y2,10)+eq\f(x2,6)=1(3)eq\f(y2,20)+eq\f(x2,4)=1例9(2023·广东深圳市·高三二模)已知椭圆的两个焦点分别为,,过的直线与交于,两点.若,,则椭圆的方程为()A. B.C. D.答案:D【解析】,所以可得,又因为,所以可得,即为短轴的顶点,设为短轴的上顶点,,,所以,所以直线的方程为:,由题意设椭圆的方程为:,则,联立,整理可得:,即,可得,代入直线的方程可得,所以,因为,所以,整理可得:,解得:,可得,所以椭圆的方程为:,故选:D.【题型精练】1.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆的右焦点为F,椭圆上的两点P、Q关于原点对称,若6,且椭圆C的离心率为,则椭圆C的方程为()A. B. C. D.答案:A【解析】由椭圆的定义及椭圆的对称性可得由椭圆C的离心率为得,所以故选:A2.(2023·全国·模拟预测)写出一个与椭圆有公共焦点的椭圆方程__________.答案:(答案不唯一)【解析】由题可知椭圆的形式应为(,且),可取故答案为:(答案不唯一)3.(2023·山西太原五中高三期末)阿基米德不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的焦点在轴上,且椭圆的离心率为,面积为,则椭圆的标准方程为()A. B. C. D.答案:D【解析】设椭圆的标准方程为(),焦距为,则:解得故选:D【题型四椭圆的性质】例10(1)已知F1,F2是椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为eq\f(\r(3),6)的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)(2)(福州模拟)过椭圆C:eq\f(x2,a2)+eq\f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线,交C于A,B两点,直线l过C的左焦点和上顶点.若以AB为直径的圆与l存在公共点,则C的离心率的取值范围是________.【解析】(1)如图,作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|=|PF2|=2c.由∠F1F2P=120°,可得|PB|=eq\r(3)c,|BF2|=c,故|AB|=a+c+c=a+2c,tan∠PAB=eq\f(|PB|,|AB|)=eq\f(\r(3)c,a+2c)=eq\f(\r(3),6),解得a=4c,所以e=eq\f(c,a)=eq\f(1,4).(2)由题设知,直线l:eq\f(x,-c)+eq\f(y,b)=1,即bx-cy+bc=0,以AB为直径的圆的圆心为(c,0),根据题意,将x=c代入椭圆C的方程,得y=±eq\f(b2,a),即圆的半径r=eq\f(b2,a).又圆与直线l有公共点,所以eq\f(2bc,\r(b2+c2))≤eq\f(b2,a),化简得2c≤b,平方整理得a2≥5c2,所以e=eq\f(c,a)≤eq\f(\r(5),5).又0<e<1,所以0<e≤eq\f(\r(5),5).[答案](1)D(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(\r(5),5)))例11(1)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)+eq\f(y2,3)=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))的最大值为()A.2 B.3C.6 D.8(2)P为椭圆eq\f(x2,16)+eq\f(y2,15)=1上任意一点,EF为圆N:(x-1)2+y2=4的任意一条直径,则eq\o(PE,\s\up7(→))·eq\o(PF,\s\up7(→))的取值范围是()A.[0,15] B.[5,15]C.[5,21] D.(5,21)【解析】(1)设点P(x0,y0),则eq\f(x\o\al(2,0),4)+eq\f(y\o\al(2,0),3)=1,即yeq\o\al(2,0)=3-eq\f(3x\o\al(2,0),4).因为点F(-1,0),所以eq\o(OP,\s\up7(→))·eq\o(FP,\s\up7(→))=x0(x0+1)+
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