中考数学一轮大单元复习1.3核心考点突破训练：二次根式的应用(原卷版+解析)

1.3突破训练：二次根式应用类型体系类型1：二次根式性质的应用典例：（2022·四川省蒲江县蒲江中学八年级期中）若直角三角形的边长分别是3，m，5．(1)求m；(2)求的值．巩固练习1．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）．A． B． C． D．无法确定2．（2022·上海外国语大学附属大境初级中学八年级期中）已知，则二次根式化简后的结果为（

）．A． B． C． D．3．（2022·上海市淞谊中学八年级期中）当时，化简__________．4．（2022·北京市顺义区第五中学八年级期中）化简：______，______．5．（2022·山东枣庄·八年级期中）当时，化简的结果是______．6．（2022·山东枣庄·八年级期中）如果，则________．7．（2022·四川省蒲江县蒲江中学八年级期中）实数在数轴上的位置如图，化简_____．8．（2022·重庆市珊瑚初级中学校八年级期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：的值为_____．9．（2022·河南·郑州市第四十七初级中学八年级期中）当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：(1)的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；(3)当时，求的值．10．（2022·福建漳州·九年级期中）求代数式，，如图是小亮和小芳的解答过程：(1)______的解法是正确的；(2)化简代数式，（其中）；(3)若，直接写出的取值范围．11．（2021·山东·德州市第五中学八年级期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简∶解∶隐含条件，解得：∴∴原式【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：类型2：二次根式的规律探究问题典例：（2022·河南平顶山·八年级期中）观察以下等式：观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：；(2)写出你猜想的第个等式：用含的式子表示，并证明这个结论？巩固练习1．（2022·安徽宿州·七年级期中）图是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图中的，按此规律继续演化，则线段的长为___________

2．（2022·北京市育英中学八年级期中）小桃桃根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．以下为小桃桃的探究过程，请补充完整：具体运算，发现规律，特例1：特例2：特例3：（1）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：___________；（2）应用运算规律化简：___________．3．（2022·山西临汾·九年级期中）阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务：法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数可以表示为，其中．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）任务：(1)卢卡斯数列中的第1个数___________，第2个数___________；(2)卢卡斯数列有一个重要特征：当时，满足．请根据这一规律写出卢卡斯数列中的第6个数．4．（2022·福建莆田·八年级期中）阅读下列解题过程：；；；……解答下列各题：(1)______；(2)观察上面的解题过程，请计算.(3)利用这一规律计算：.5．（2022·四川·射洪中学九年级期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．解答下列问题：(1)的有理化因式是；(2)观察下面的变形规律，请你猜想：，，，‥‥‥，(3)利用上面的方法，请化简：6．（2022·山东济南·八年级期中）观察下列等式，解答后面的问题：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……(1)根据以上的规律，写出第10个等式；(2)利用上面的规律比较大小：﹣﹣（填＞、＜或＝）；(3)计算：++…+．7．（2022·广东·肇庆市颂德学校八年级期中）先观察下列等式，再回答下列问题：①；②；③．(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式；(3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）．8．（2022·湖南永州·八年级期末）观察下列各式及其化简过程：，．(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简；(2)化简；(3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系．9．（2022·北京通州·八年级期中）根据学习“数与式”的经验，通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．以下是探究过程，请补充完整．(1)具体运算，发现规律．特例1．．特例2．，特例3．，特例4．，特例5．___________．(2)观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：__________．(3)证明你的猜想．10．（2022·福建省漳州第一中学八年级期中）观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：；，验证：(1)仿照上述三个等式的变形，对下列式子进行变形：____________，____________．(2)根据上述规律，写出用n（n为正整数且）表示的等式，并加以验证．11．（2022·北京昌平·八年级期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：____________（填写运算结果）；(2)观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________；(3)证明你的猜想．(4)应用运算规律：①化简：____________；②若（a，b均为正整数），则的值为____________．12．（2022·安徽宿州·八年级期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.下面是小丽的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律，特例：特例：特例：特例：______填写一个符合上述运算特征的例子；(2)观察、归纳，得出猜想.如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______；(3)证明你的猜想；(4)应用运算规律化简：______.类型3：应用二次根式求面积典例：（2022·陕西·西安市五环中学八年级期末）如图，在中，，，，垂足分别为点、．(1)求的度数．(2)若的面积为，，求的长．巩固练习1．（2022·山西吕梁·八年级期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏江苏·八年级期中）如图，在矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是______________．3．（2022·山西省运城市实验中学九年级期中）如图，将矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽都等于，中间矩形的宽为4，将其围成如图2所示的三棱柱形物体，若底面三角形的面积为8，则图中的值为__________．4．（2022·福建龙岩·九年级期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边、、求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为9的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为_______．5．（2022·上海宝山·八年级期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是______．6．（2022·山东淄博·八年级期末）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，，，则此三角形的面积为______．7．（2022·江西赣州·八年级期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．(1)截出的两块正方形木料的边长分别为________，________．(2)求剩余木料的面积．(3)如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出________块这样的木条．8．（2022·陕西西安·八年级期中）如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，已知正方形的面积是45，求的周长．9．（2022·湖南永州·八年级期末）阅读：若等边三角形的边长为a，则此三角形的面积．(1)运用：现将边长分别为，，，的等边三角形的面积分别记作，，，，计算，；(2)推导：边长为的等边三角形的面积记作，边长为的等边三角形的面积记作，其中n是正整数，通过计算，可以得出：（用含n的代数式表示）；(3)拓展：在（2）的条件下，若，求n的值．10．（2022·江苏·苏州市振华中学校八年级期中）我国南宋时期数学家秦九韶约约曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积在中，已知，，．(1)如图，利用秦九韶公式求的面积；(2)如图，的两条角平分线，交于点，求点到边的距离．11．（2022·福建宁德·八年级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；…(1)请你直接写出______，______；(2)请用含有（为正整数）的式子填空：______，______；(3)在线段、、、…、中，长度为正整数的线段共有______条．(4)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；类型4：二次根式的混合运算典例：（2022·安徽宿州·八年级期末）计算：(1)；(2)．巩固练习1．（2022·广东·阳江市实验学校八年级期中）计算：2．（2022·四川泸州·八年级期末）计算：．3．（2022·上海市曹杨第二中学附属学校八年级期中）计算：．4．（2022·四川泸州·八年级期末）计算：．5．（2022·广东·东莞市中堂中学七年级期中）计算：．6．（2022·上海金山·八年级期末）计算：．7．（2022·黑龙江哈尔滨·九年级期中）先化简，再求代数式的值，其中．8．（2022·贵州·遵义市新蒲新区天立学校九年级期中）先化简，再求值，其中.9．（2022·福建莆田·八年级期中）计算：(1)(2)10．（2022·广东·石门中学八年级期末）计算：(1)；(2)．11．（2022·广东·高明市西安中学八年级期末）计算：(1)；(2)．12．（2022·四川·雅安中学八年级期中）计算(1)(2)（）（）13．（2022·河南平顶山·八年级期中）计算：(1)(2)(3)1.3突破训练：二次根式应用类型体系类型1：二次根式性质的应用典例：（2022·四川省蒲江县蒲江中学八年级期中）若直角三角形的边长分别是3，m，5．(1)求m；(2)求的值．解：（1）当边长为m的边是直角边时，则；当边长为m的边是斜边时，则；∴的值为或；（2）解：当时，原式；当时，原式；综上所述，的值为或．巩固练习1．（2022·重庆·西南大学附中八年级期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）．A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】先根据点在数轴上的位置判断出及的符号，再把原式进行化简即可．【详解】解：∵由图可知：，∴，，∴原式，故选：A．【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出a的取值范围是解答此题的关键．2．（2022·上海外国语大学附属大境初级中学八年级期中）已知，则二次根式化简后的结果为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意可得，再根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：由题意可得：∴∵∴∴故选：D【点睛】此题考查了二次根式的化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．3．（2022·上海市淞谊中学八年级期中）当时，化简__________．【答案】【分析】根据二次根式的性质以及题目给出的x与y的关系进行化简即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．4．（2022·北京市顺义区第五中学八年级期中）化简：______，______．【答案】

【分析】根据二次根式的性质化简求解即可．【详解】解：，，故答案为：；．【点睛】本题考查二次根式的性质，会利用二次根式的性质正确化简是解答的关键．5．（2022·山东枣庄·八年级期中）当时，化简的结果是______．【答案】【分析】根据二次根式的运算法则即可进行解答．【详解】解：，∵，∴原式．【点睛】本题主要考查了二次根式的运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义，性质和运算法则．6．（2022·山东枣庄·八年级期中）如果，则________．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，，再代入，然后根据二次根式的性质化简，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握二次根式有意义的条件，二次根式的性质是解题的关键．7．（2022·四川省蒲江县蒲江中学八年级期中）实数在数轴上的位置如图，化简_____．【答案】##【分析】根据数轴上的点的位置，求得，，，进而化简二次根式即可求解．【详解】解：根据数轴可得，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了根据数轴判断式子的符号，二次根式的性质，数形结合是解题的关键．8．（2022·重庆市珊瑚初级中学校八年级期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：的值为_____．【答案】【分析】根据点在数轴上的位置，得出，再根据二次根式的性质进行化简，最后根据整式加减运算法则计算即可．【详解】解：由图可知，，∴，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据点在数轴上的位置比较大小，整式的加减运算，解题的关键是根据点在数轴上的位置得出，．9．（2022·河南·郑州市第四十七初级中学八年级期中）当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：(1)的解法是错误的；(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：；(3)当时，求的值．【答案】(1)小亮(2)(3)-2【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可求出答案．（2）根据二次根式的性质化简即可求出答案．（3）根据的范围判断与的符号，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案．【详解】（1）原式，，∵，∴，∴原式，故小亮的解法错误，故答案为：小亮．（2），故答案为：．（3）∵，，，∴原式，．【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．10．（2022·福建漳州·九年级期中）求代数式，，如图是小亮和小芳的解答过程：(1)______的解法是正确的；(2)化简代数式，（其中）；(3)若，直接写出的取值范围．【答案】(1)小芳(2)3(3)【分析】（1）由知，据此可得，从而作出判断；（2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得；（3）分三种情况，化简等号左边，再求出相应值，合并即可．【详解】（1）解：，，则，所以小芳的解法是正确的，故答案为：小芳；（2），；（3）当时，，解得：；当时，；当时，，解得：，综上，的取值范围是：．【点睛】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质．11．（2021·山东·德州市第五中学八年级期中）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题化简∶解∶隐含条件，解得：∴∴原式【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：【答案】（1）1；（2）；（3）．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出的范围，再根据二次根式的性质化简可得；（2）由a，b在数轴上的位置判断出、，再利用二次根式的性质化简即可得；（3）由三角形的三边关系得出，，，再利用二次根式的性质化简可得．【详解】解：（1）隐含条件，解得：∴∴原式；（2）观察数轴得隐含条件：，，∴，∴原式；（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：，，，∴，，∴原式．【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质及三角形的三边关系等知识点．类型2：二次根式的规律探究问题典例：（2022·河南平顶山·八年级期中）观察以下等式：观察下列等式：第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：，按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：；(2)写出你猜想的第个等式：用含的式子表示，并证明这个结论？解：（1）写出第6个等式：；故答案为：；（2）写出你猜想的第个等式：，证明：左边右边，．故答案为：．巩固练习1．（2022·安徽宿州·七年级期中）图是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图中的，按此规律继续演化，则线段的长为___________

【答案】【分析】利用勾股定理依次求出，，，可总结出，由此可解．【详解】解：，由勾股定理可得：，，，可知，，故答案为：．【点睛】本题主要考查勾股定理、二次根式的性质，通过计算推导出是解题的关键．2．（2022·北京市育英中学八年级期中）小桃桃根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．以下为小桃桃的探究过程，请补充完整：具体运算，发现规律，特例1：特例2：特例3：（1）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：___________；（2）应用运算规律化简：___________．【答案】

【分析】（1）分析所给的等式的形式进行总结即可；（2）利用（1）中的规律进行求解即可．【详解】解：（1）特例特例特例用含的式子表示为：，故答案为：；（2）．故答案为：．【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律．3．（2022·山西临汾·九年级期中）阅读与思考阅读下列材料，并完成相应的任务：法国数学家爱德华•卢卡斯以研究斐波那契数列而著名，他曾给出了求斐波那契数列第n项的表达式，创造出了检验素数的方法，还发明了汉诺塔问题．“卢卡斯数列”是以卢卡斯命名的一个整数数列，在股市中有广泛的应用．卢卡斯数列中的第n个数可以表示为，其中．（说明：按照一定顺序排列着的一列数称为数列）任务：(1)卢卡斯数列中的第1个数___________，第2个数___________；(2)卢卡斯数列有一个重要特征：当时，满足．请根据这一规律写出卢卡斯数列中的第6个数．【答案】(1)2，1(2)【分析】（1）根据定义代入数据进行计算即可求解；（2）根据题意，当时，满足，分别求得，即可求解．【详解】（1）解：依题意得，，，故答案为：，；（2）当时，满足，，，，．【点睛】本题考查了零次幂，二次根式的加减，新定义运算，理解题意，正确的计算是解题的关键．4．（2022·福建莆田·八年级期中）阅读下列解题过程：；；；……解答下列各题：(1)______；(2)观察上面的解题过程，请计算.(3)利用这一规律计算：.【答案】(1)(2)(3)2021【分析】（1）分子分母同时乘以有理化因式即可求解；（2）分子分母同时乘以有理化因式即可求解；（3）根据（2）的规律进行计算即可求解．【详解】（1）解：；故答案为：；（2）解：；（3）解：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，平方差公式，正确的计算是解题的关键．5．（2022·四川·射洪中学九年级期中）阅读材料：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．解答下列问题：(1)的有理化因式是；(2)观察下面的变形规律，请你猜想：，，，‥‥‥，(3)利用上面的方法，请化简：【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据题意及二次根式的乘法即可得出结果；（2）根据题干中的例子，直接猜想求解即可；（3）根据（2）中结论将式子化简变形求解即可．【详解】（1）解：根据题意，，∴的有理化因式是，故答案为：；（2），，，‥‥‥，，故答案为：（3）．【点睛】题目主要考查二次根式的混合运算及二次根式的化简，分母有理化，熟练掌握二次根式的化简是解题关键．6．（2022·山东济南·八年级期中）观察下列等式，解答后面的问题：第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；第4个等式：；……(1)根据以上的规律，写出第10个等式；(2)利用上面的规律比较大小：﹣﹣（填＞、＜或＝）；(3)计算：++…+．【答案】(1)(2)＞(3)【分析】（1）根据题意给出的规律即可求出答案．（2）根据题意给出规律即可求出答案．（3）根据题意给出的规律进行化简后即可求出答案．【详解】（1）解：（1）根据题意可知：＝1．故答案为：＝1．（2）∵）＝，∴∴＞，故答案为：＞．（3）解：∵，原式＝＝＝．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是正确理解题意给出的运算规律，本题属于基础题型．7．（2022·广东·肇庆市颂德学校八年级期中）先观察下列等式，再回答下列问题：①；②；③．(1)请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用n（n为正整数）表示的等式；(3)请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）．【答案】(1)，理由见解析(2)(3)【分析】（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；（2）根据已知算式得出规律即可；（3）先变形为原式，再根据得出的规律进行计算即可．【详解】（1）∵①，②，③，∴，理由：；（2）由（1）可知，；（3）【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．8．（2022·湖南永州·八年级期末）观察下列各式及其化简过程：，．(1)按照上述两个根式的化简过程的基本思路，将化简；(2)化简；(3)针对上述各式反映的规律，请你写出中，m，n与a，b之间的关系．【答案】(1)；(2)；(3)，．【分析】（1）将31分解成，再利用完全平方公式即可求出答案；（2）先将7分解成，计算第二层根式，再将35分解成，利用完全平方公式即可求出答案；（3）将等式两边同时平方即可求出答案．【详解】（1）（2）（3）两边平方可得：∴，【点睛】本题考查了二次根式的化简与性质及配方法的应用，读懂题中的配方法并明确二次根式的化简方法是解题关键．9．（2022·北京通州·八年级期中）根据学习“数与式”的经验，通过由“特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．以下是探究过程，请补充完整．(1)具体运算，发现规律．特例1．．特例2．，特例3．，特例4．，特例5．___________．(2)观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：__________．(3)证明你的猜想．【答案】(1)(2)(3)见解析【分析】（1）利用前面的4个特例得到等式左边的的被开方数由1和分数组成，其中分数的分母为序号数的平方，分子为序号数的2倍加1，等式右侧的分数的分母为序号数，分子为序号数加1，写出第5个特例即可求解；（2）利用（1）中的规律用序号数表示等式的左右两边即可；（3）先把被开方的式子通分，再把分子写成完全平方的形式，然后根据二次根式的性质化简即可．【详解】（1）解：特例5.；故答案为：；（2）如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：，故答案为：；（3）证明：．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．也考查了数字规律型问题的解决方法．10．（2022·福建省漳州第一中学八年级期中）观察下列各式及其验证过程：，验证：；，验证：；，验证：(1)仿照上述三个等式的变形，对下列式子进行变形：____________，____________．(2)根据上述规律，写出用n（n为正整数且）表示的等式，并加以验证．【答案】(1)，(2)，理由见解析【分析】（1）观察题目所给等式，找出题中规律直接写出结果即可；（2）归纳总结出规律即可．【详解】（1）解：；验证：，；验证：，故答案为：，．（2）解：证明：左式右式．【点睛】本题主要考查了实数运算，解题的关键是熟练掌握实数的运算法则以及根据题意找出一般性规律．11．（2022·北京昌平·八年级期中）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是小石的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律．特例1：，特例2：，特例3：，特例4：，特例5：____________（填写运算结果）；(2)观察、归纳，得出猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：____________；(3)证明你的猜想．(4)应用运算规律：①化简：____________；②若（a，b均为正整数），则的值为____________．【答案】(1)(2)(3)见解析(4)①；②【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例5；（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题；（4）①②根据（2）中的规律即可求解．【详解】（1）解：，故答案是：；（2），故答案是：；（3）证明：左边，又右边，左边右边，成立；（4）①，故答案是：；②，根据，得，解得：，（舍去），，故答案是：．【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．12．（2022·安徽宿州·八年级期中）小丽根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律.下面是小丽的探究过程，请补充完整：(1)具体运算，发现规律，特例：特例：特例：特例：______填写一个符合上述运算特征的例子；(2)观察、归纳，得出猜想.如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为：______；(3)证明你的猜想；(4)应用运算规律化简：______.【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析；(4)【分析】根据所给的特例的形式进行求解即可；分析所给的等式的形式进行总结即可；对的等式的左边进行整理，即可求证；利用中的规律进行求解即可.【详解】（1）解：由题意得：，故答案为：；（2）解：特例特例特例用含的式子表示为：，故答案为：；（3）解：等式左边右边，故猜想成立；（4）解：.故答案为：.【点睛】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律.类型3：应用二次根式求面积典例：（2022·陕西·西安市五环中学八年级期末）如图，在中，，，，垂足分别为点、．(1)求的度数．(2)若的面积为，，求的长．解：（1）四边形是平行四边形，且，，，，，，．（2）解：四边形是平行四边形，且，，的面积为，且，，即，解得，又，，，解得，．巩固练习1．（2022·山西吕梁·八年级期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为6cm2和15cm2的两个小正方形，则留下阴影部分的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据小正方形的面积得到边长即可得到大正方形的边长，根据阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣两个小正方形的面积即可得出答案．【详解】解：∵两个小正方形的面积为15和6，∴两个小正方形的边长为，，∵大正方形的边长为：+，∴阴影部分的面积＝（+）2﹣6﹣15＝15+2××+6﹣6﹣15＝6（cm2），故选：A．【点睛】本题考查二次根式的应用，根据小正方形的面积得到边长，进而得到大正方形的边长是解题的关键．2．（2022·江苏江苏·八年级期中）如图，在矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是______________．【答案】##【分析】根据两个正方形的面积求出两个正方形的边长分别是和2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．【详解】由相邻两个正方形的面积分别为2和4，得到边长为和2，则阴影部分面积．故答案为：．【点睛】本题考查了由正方形的面积表示出正方形的边长，再进一步表示矩形的长．3．（2022·山西省运城市实验中学九年级期中）如图，将矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽都等于，中间矩形的宽为4，将其围成如图2所示的三棱柱形物体，若底面三角形的面积为8，则图中的值为__________．【答案】【分析】根据围成的三棱柱的底面三角形是等腰三角形，，利用等腰三角形的性质可求得a的值【详解】根据题意可知围成的三棱柱的底面三角形是等腰三角形，不妨设等腰三角形底边上的高为，∴，且三角形的面积为8，∴，即，解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，等腰三角形的面积公式，掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键4．（2022·福建龙岩·九年级期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边、、求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为．现有周长为9的三角形的三边满足，则用以上给出的公式求得这个三角形的面积为_______．【答案】【分析】先求出a、b、c的值，再代入所给的面积公式计算即可．【详解】解：∵，，∴，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查有理数的混合运算，二次根式的化简，根据比的性质，求出三角形各边长，再运用公式计算是解题的关键．5．（2022·上海宝山·八年级期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长为、、，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，，时，其面积介于整数和之间，那么的值是______．【答案】【分析】根据题意，先求出，然后求出，再根据二次根式比较大小的方法，即可．【详解】∵三角形的三边长为、、，记，面积，∴当三角形的三边长分别为，，时，，∴面积，∵，，∴，∴，∵介于整数和之间，∴．故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是理解题意，求出，；掌握二次根式比较大小的方法．6．（2022·山东淄博·八年级期末）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为a，b，c，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦—秦九韶公式．若，，，则此三角形的面积为______．【答案】【分析】先求出p的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可．【详解】解：，三角形的面积=．故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的应用，考查学生的计算能力，掌握（a≥0，b≥0）是解题的关键．7．（2022·江西赣州·八年级期末）有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板．(1)截出的两块正方形木料的边长分别为________，________．(2)求剩余木料的面积．(3)如果木工想从剩余的木料中截出长为1.5dm，宽为1dm的长方形木条，最多能截出________块这样的木条．【答案】(1)(2)(3)2【分析】（1）由正方形的面积可得边长分别为，再利用二次根式的性质化简，即可求解；（2）先求矩形的长和宽，再用矩形的面积减去两个正方形的面积，即可求解；（3）求剩余的木料的长和宽，即可求解．（1）解：根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为，故答案为：；（2）解：根据题意得：矩形的长为，宽为，∴剩余木料的面积；（3）解：根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为，∵，∴能截出2×1=2块这样的木条．故答案为：2【点睛】本题考查二次根式的应用，正方形的性质，熟练掌握二次根式的化简和运算，矩形的面积公式是解题的关键．8．（2022·陕西西安·八年级期中）如图，在中，，，以为一条边向三角形外部作正方形，已知正方形的面积是45，求的周长．【答案】【分析】先根据正方形的面积求出，再根据勾股定理求出，然后根据三角形周长公式计算即可．【详解】解：因为正方形的面积是45，所以．因为，，所以，所以的周长．【点睛】本题考查了算术平方根的定义，勾股定理，以及二次根式的加减，求出和的长是解答本题的关键．9．（2022·湖南永州·八年级期末）阅读：若等边三角形的边长为a，则此三角形的面积．(1)运用：现将边长分别为，，，的等边三角形的面积分别记作，，，，计算，；(2)推导：边长为的等边三角形的面积记作，边长为的等边三角形的面积记作，其中n是正整数，通过计算，可以得出：（用含n的代数式表示）；(3)拓展：在（2）的条件下，若，求n的值．【答案】(1)，(2)(3)6【分析】（1）按照公式直接代入数据即可得到答案；（2）把和分别代入，再相减，化简求得最后式子；（3）根据两个式子的值相等，列出方程，化简解一元二次方程，最后还要考虑是否符合题意．【详解】（1）解：，；故答案为：，（2）故答案为：（3），又，，，，即，经检验不合题意，舍去，所以．【点睛】本题属于创新应用题目，主要考查了化简计算能力，解一元二次方程的能力，解题关键是计算化简要准确，熟练掌握解一元二次方程．10．（2022·江苏·苏州市振华中学校八年级期中）我国南宋时期数学家秦九韶约约曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积在中，已知，，．(1)如图，利用秦九韶公式求的面积；(2)如图，的两条角平分线，交于点，求点到边的距离．【答案】(1)15(2)1.5【分析】（1）由秦九韶公式可得的值，再由求解．（2）连接，作于点，由角平分线的性质可得点到三角形三边的距离相等，通过求解．【详解】（1）（2）连接，作于点，点为的角平分线交点，点到，，的距离相等，长度为，设，则【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题关键是理解题意，通过题干中秦九韶公式及通过添加辅助线求解．11．（2022·福建宁德·八年级期中）细心观察图形，认真分析各式，然后解答下列问题：，（是的面积）；，（是的面积）；，（是的面积）；…(1)请你直接写出______，______；(2)请用含有（为正整数）的式子填空：______，______；(3)在线段、、、…、中，长度为正整数的线段共有______条．(4)我们已经知道，因此将分子、分母同时乘以，分母就变成了4，请仿照这种方法求的值；【答案】(1)10，(2)，(3)44(4)18【分析】（1）认真阅读新定义，根据已知写出答案即可；（2）认真阅读新定义，根据已知内容归纳总结即可；（3）通过分析数据不难发现当边长正好是根号下一个正整数的平方时，出现的就是正整数．分析2022最接近哪个正整数的平方．（4）化简整理后求值即可．【详解】（1）解：由题意可得，，，故答案为：10，（2）由题意可得，，故答案为：，（3）解：线段、、、…、的长分别是、、、、...、．长度为正整数的数字分别是1、2、3、4、5、....、a，∵，，∴，∴线段、、、…、中，长度为正整数的线段共有44条．故答案为：44．（4）；【点睛】本题考查了数学中的阅读能力，以及对新定义的理解，还有二次根式的化简，关键是理解新定义和有关二次根式的化简运算．类型4：二次根式的混合运算典例：（2022·安徽宿州·八年级期末）计算：(1)；(2)．解：（1）；（2）巩固练习1．（2022·广东·阳江市实验学校八年级期中）计算：【答案】【分析】先计算二次根式的除法运算，再计算二次根式的加减运算即可．【详解】解：．【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握“二次根式的混合运算的运算顺序”是解本题的关键．2．（2022·四川泸州·八年级期末）计算：．【答