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文档简介
5.3等和线和极化恒等式【题型解读】【题型一根据等和线求基底系数和的值】1.(2023·河南高三月考)在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,eq\o(AN,\s\up7(→))=λeq\o(AB,\s\up7(→))+μeq\o(AC,\s\up7(→)),则λ+μ的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.12.(2023·陕西·交大附中模拟预测)在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若eq\o(AB,\s\up7(→))=λeq\o(AM,\s\up7(→))+μeq\o(AN,\s\up7(→)),则λ+μ的值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,4)3.(2023·山东·山师附中模拟预测)在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,点E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若eq\o(AC,\s\up7(→))=a,eq\o(BD,\s\up7(→))=b,且eq\o(AF,\s\up7(→))=λa+μb,则λ+μ等于()A.1B.eq\f(3,4)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)4.(2023·云南玉溪·高三月考)如图所示,在△ABC中,D,F分别是AB,AC的中点,BF与CD交于点O,设eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AC,\s\up6(→))=b,向量eq\o(AO,\s\up6(→))=λa+μb,则λ+μ的值为_______.【题型二根据等和线求基底的系数和的最值(范围)】1.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)给定两个长度为3的平面向量和,它们的夹角为120°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若,其中,则的最大值是_____;的最大值是______.2.(2023·福建泉州·模拟预测)如图,在正六边形ABCDEF中,P是△CDE内(包括边界)的动点,设eq\o(AP,\s\up7(→))=αeq\o(AB,\s\up7(→))+βeq\o(AF,\s\up7(→))(α,β∈R),则α+β的取值范围是________.3.(2023·全国·高三课时练习)如图,在正方形ABCD中,E为BC的中点,P是以AB为直径的半圆弧上任意一点,设,则2x+y的最小值为()A.-1B.1C.2D.34.(2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考)在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,动点P在以点C为圆心,且与直线BD相切的圆内运动,设eq\o(AP,\s\up7(→))=xeq\o(AB,\s\up7(→))+yeq\o(AD,\s\up7(→))(x,y∈R),则x+y的取值范围是________.5.如图,四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA的延长线上,且OD=2,点P是△BCD内任意一点(含边界),设eq\o(OP,\s\up7(→))=λeq\o(OC,\s\up7(→))+μeq\o(OD,\s\up7(→)),则λ+μ的取值范围为________.【题型三极化恒等式处理数量积的定值问题】1.(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测)如图,在中,已知,点分别在边上,且,若为的中点,则的值为________.2.(2023·山东日照市·高三二模)如图所示,AB是圆O的直径,P是上的点,M,N是直径AB上关于点O对称的两点,且AB=6,MN=4,则eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))=()A.13B.7C.5D.33.(2023·河北武强中学高三月考)如图,△AOB为直角三角形,OA=1,OB=2,C为斜边AB的中点,P为线段OC的中点,则eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))=()A.1B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4)D.-eq\f(1,2)4.(2023·全国福建省漳州市高三期末)如图,在△ABC中,已知AB=3,AC=2,∠BAC=120°,D为边BC的中点,若CD⊥AD,垂足为E,则eq\o(EB,\s\up7(→))·eq\o(EC,\s\up7(→))=________.【题型四极化恒等式处理数量积中的最值范围问题】1.在∆ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是AB的中点,E,F分别是边BC、AC上的动点,且EF=1,则DE∙2.(2023·海南海口·二模)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点,则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是________.3.(2023•南通期末)在△ABC中,AC=2BC=4,∠ACB为钝角,M,N是边AB上的两个动点,且MN=1,若的最小值为,则cos∠ACB=________.4.如图,设正方形ABCD的边长为4,动点P在以AB为直径的弧APB上,则eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的取值范围为______.5.在正方形ABCD中,AB=1,A,D分别在x,y轴的非负半轴上滑动,则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值为______.5.3等和线和极化恒等式【题型解读】【题型一根据等和线求基底系数和的值】1.(2023·河南高三月考)在△ABC中,M为边BC上任意一点,N为AM的中点,eq\o(AN,\s\up7(→))=λeq\o(AB,\s\up7(→))+μeq\o(AC,\s\up7(→)),则λ+μ的值为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.1答案:A【解析】如图,BC为值是1的等和线,过N作BC的平行线,设λ+μ=k,则k=eq\f(|AN|,|AM|).由图易知,eq\f(|AN|,|AM|)=eq\f(1,2),故选A.2.(2023·陕西·交大附中模拟预测)在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点.若eq\o(AB,\s\up7(→))=λeq\o(AM,\s\up7(→))+μeq\o(AN,\s\up7(→)),则λ+μ的值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,4)答案:C【解析】如图,连接MN并延长,交AB的延长线于点T,则MT为值是1的等和线,设λ+μ=k,则k=eq\f(|AB|,|AT|).由图易知,eq\f(|AB|,|AT|)=eq\f(4,5),故选C.3.(2023·山东·山师附中模拟预测)在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,点E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F,若eq\o(AC,\s\up7(→))=a,eq\o(BD,\s\up7(→))=b,且eq\o(AF,\s\up7(→))=λa+μb,则λ+μ等于()A.1B.eq\f(3,4)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)答案:A【解析】如图,作eq\o(AG,\s\up7(→))=eq\o(BD,\s\up7(→)),延长CD与AG相交于G,因为C,F,G三点共线,所以λ+μ=1.故选A.4.(2023·云南玉溪·高三月考)如图所示,在△ABC中,D,F分别是AB,AC的中点,BF与CD交于点O,设eq\o(AB,\s\up6(→))=a,eq\o(AC,\s\up6(→))=b,向量eq\o(AO,\s\up6(→))=λa+μb,则λ+μ的值为_______.答案:eq\f(2,3)【解析】图,BC为值是1的等和线,过O作BC的平行线,设λ+μ=k,则k=eq\f(|AO|,|AM|).由图易知,eq\f(|AO|,|AM|)=eq\f(2,3).【题型二根据等和线求基底的系数和的最值(范围)】1.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)给定两个长度为3的平面向量和,它们的夹角为120°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若,其中,则的最大值是_____;的最大值是______.答案:【解析】(1)AB交CO于D,设,,易证,当时,取最大值,;(2)取OA中点E,则OC交BE于F,设,,易证,当时,取最大值,.2.(2023·福建泉州·模拟预测)如图,在正六边形ABCDEF中,P是△CDE内(包括边界)的动点,设eq\o(AP,\s\up7(→))=αeq\o(AB,\s\up7(→))+βeq\o(AF,\s\up7(→))(α,β∈R),则α+β的取值范围是________.答案:[3,4]【解析】直线BF为k=1的等和线,当P在△CDE内时,直线EC是最近的等和线,过D点的等和线是最远的,所以α+β∈[eq\f(AN,AM),eq\f(AD,AM)]=[3,4].3.(2023·全国·高三课时练习)如图,在正方形ABCD中,E为BC的中点,P是以AB为直径的半圆弧上任意一点,设,则2x+y的最小值为()A.-1B.1C.2D.3答案:【解析】取AD中点F,则直线FP交AE于G,设∵FPG三点共线∴当P在EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AB)中点时,G与E重合,此时t取到最小值,4.(2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考)在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,动点P在以点C为圆心,且与直线BD相切的圆内运动,设eq\o(AP,\s\up7(→))=xeq\o(AB,\s\up7(→))+yeq\o(AD,\s\up7(→))(x,y∈R),则x+y的取值范围是________.答案:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(5,3)))【解析】如图,作CE⊥BD于E,由△CDE∽△DBA知eq\f(CE,DA)=eq\f(CD,BD),即eq\f(CE,1)=eq\f(1,\r(10)),所以CE=eq\f(\r(10),10),设与BD平行且与圆C相切的直线交AD延长线于点F,作DH垂直该线于点H,显然DH=2CE=eq\f(\r(10),5),由△DFH∽△BDA得eq\f(DF,BD)=eq\f(DH,BA),即eq\f(DF,\r(10))=eq\f(\f(\r(10),5),3),所以DF=eq\f(2,3),过点P作直线l∥BD,交AD的延长线于点M,设t=eq\f(AM,AD),则x+y=t,由图形知“等值线”l可从直线BD的位置平移至直线FH的位置(不包括BD和FH),由平面几何知识可得1=eq\f(AD,AD)<eq\f(AM,AD)<eq\f(AF,AD)=eq\f(5,3),即1<t<eq\f(5,3),故x+y的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,\f(5,3))).5.如图,四边形OABC是边长为1的正方形,点D在OA的延长线上,且OD=2,点P是△BCD内任意一点(含边界),设eq\o(OP,\s\up7(→))=λeq\o(OC,\s\up7(→))+μeq\o(OD,\s\up7(→)),则λ+μ的取值范围为________.答案:[1,eq\f(3,2)]【解析】如图,(λ+μ)min=1,(λ+μ)max=eq\f(3,2).【题型三极化恒等式处理数量积的定值问题】1.(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测)如图,在中,已知,点分别在边上,且,若为的中点,则的值为________.答案:【解析】取BD的中点N,连接NF,EB,则,在中,,2.(2023·山东日照市·高三二模)如图所示,AB是圆O的直径,P是上的点,M,N是直径AB上关于点O对称的两点,且AB=6,MN=4,则eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))=()A.13B.7C.5D.3答案:C【解析】连接AP,BP,则eq\o(PM,\s\up7(→))=eq\o(PA,\s\up7(→))+eq\o(AM,\s\up7(→)),eq\o(PN,\s\up7(→))=eq\o(PB,\s\up7(→))+eq\o(BN,\s\up7(→))=eq\o(PB,\s\up7(→))-eq\o(AM,\s\up7(→)),所以eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))=(eq\o(PA,\s\up7(→))+eq\o(AM,\s\up7(→)))·(eq\o(PB,\s\up7(→))-eq\o(AM,\s\up7(→)))=eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))-eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))+eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))-|eq\o(AM,\s\up7(→))|2=-eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))+eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))-|eq\o(AM,\s\up7(→))|2=eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))-|eq\o(AM,\s\up7(→))|2=1×6-1=5.3.(2023·河北武强中学高三月考)如图,△AOB为直角三角形,OA=1,OB=2,C为斜边AB的中点,P为线段OC的中点,则eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))=()A.1B.eq\f(1,16)C.eq\f(1,4)D.-eq\f(1,2)答案:B【解析】取AO中点Q,连接PQ,eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))=eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PO,\s\up7(→))=PQ2-AQ2=eq\f(5,16)-eq\f(1,4)=eq\f(1,16).4.(2023·全国福建省漳州市高三期末)如图,在△ABC中,已知AB=3,AC=2,∠BAC=120°,D为边BC的中点,若CD⊥AD,垂足为E,则eq\o(EB,\s\up7(→))·eq\o(EC,\s\up7(→))=________.答案:-eq\f(27,7)【解析】由余弦定理得,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=19,即BC=eq\r(19),因为eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))=AD2-CD2=|AB|·|AC|·cos120°=-3,所以|AD|=eq\f(\r(7),2),因为S△ABC=2S△ADC,则eq\f(1,2)|AB|·|AC|·sin120°=2·eq\f(1,2)|AD||CE|,解得|CE|=eq\f(3\r(21),7),在Rt△DEC中,|DE|=eq\r(CD2-CE2)=eq\f(5\r(7),14),所以eq\o(EB,\s\up7(→))·eq\o(EC,\s\up7(→))=|ED|2-|CD|2=-eq\f(27,7).【题型四极化恒等式处理数量积中的最值范围问题】1.在∆ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是AB的中点,E,F分别是边BC、AC上的动点,且EF=1,则DE∙答案:15【解析】取EF的中点H,连接DH、CH,由DE∙根据三角形三边性质可得:CH+DH≥CD,所以DH=CD−CH=5所以DE∙DF=DH2−2.(2023·海南海口·二模)已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆O上的一个动点,则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是________.答案:[-2,6]【解析】取AB的中点D,连接CD,因为三角形ABC为正三角形,所以O为三角形ABC的重心,O在CD上,且OC=2OD=2,所以CD=3,AB=2eq\r(3).又由极化恒等式得:eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))=|PD|2-eq\f(1,4)|AB|2=|PD|2-3,因为P在圆O上,所以当P在点C处时,|PD|max=3,当P在CO的延长线与圆O的交点处时,|PD|min=1,所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[-2,6].3.(2023•南通期末)在△ABC中,AC=2BC=4,∠ACB为钝角,M,N是边AB上的两个动点,且MN=1,若的最小值为,则cos∠ACB=________.答案:【解析】取MN的中点P,则由极化恒等式得,∵的最小值为,∴,由平几知识知:当CP⊥A
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