高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)5.3等和线和极化恒等式(精练)(原卷版+解析)

5.3等和线和极化恒等式【题型解读】【题型一根据等和线求基底系数和的值】1.(2023·河南高三月考）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，eq\o(AN,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，则λ＋μ的值为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．12.(2023·陕西·交大附中模拟预测）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(AN,\s\up7(→))，则λ＋μ的值为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(5,4)3.(2023·山东·山师附中模拟预测）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若eq\o(AC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，且eq\o(AF,\s\up7(→))＝λa＋μb，则λ＋μ等于()A．1B．eq\f(3,4)C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,2)4.(2023·云南玉溪·高三月考）如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，向量eq\o(AO,\s\up6(→))＝λa＋μb，则λ＋μ的值为_______．【题型二根据等和线求基底的系数和的最值(范围)】1.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______.2.(2023·福建泉州·模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设eq\o(AP,\s\up7(→))＝αeq\o(AB,\s\up7(→))＋βeq\o(AF,\s\up7(→))(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．3.(2023·全国·高三课时练习）如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为()A．－1B．1C．2D．34.(2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))(x，y∈R)，则x＋y的取值范围是________．5.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，设eq\o(OP,\s\up7(→))＝λeq\o(OC,\s\up7(→))＋μeq\o(OD,\s\up7(→))，则λ＋μ的取值范围为________．【题型三极化恒等式处理数量积的定值问题】1.(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）如图，在中，已知，点分别在边上，且，若为的中点，则的值为________.2.(2023·山东日照市·高三二模）如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))＝()A．13B．7C．5D．33.(2023·河北武强中学高三月考）如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝()A．1B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)4.(2023·全国福建省漳州市高三期末)如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点，若CD⊥AD，垂足为E，则eq\o(EB,\s\up7(→))·eq\o(EC,\s\up7(→))＝________．【题型四极化恒等式处理数量积中的最值范围问题】1.在∆ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是AB的中点，E，F分别是边BC、AC上的动点，且EF=1，则DE∙2.(2023·海南海口·二模）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是________．3.(2023•南通期末）在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的最小值为，则cos∠ACB＝________．4.如图，设正方形ABCD的边长为4，动点P在以AB为直径的弧APB上，则eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))的取值范围为______．5.在正方形ABCD中，AB＝1，A，D分别在x，y轴的非负半轴上滑动，则eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))的最大值为______．5.3等和线和极化恒等式【题型解读】【题型一根据等和线求基底系数和的值】1.(2023·河南高三月考）在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，eq\o(AN,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，则λ＋μ的值为()A．eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4)D．1答案：A【解析】如图，BC为值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝eq\f(|AN|,|AM|)．由图易知，eq\f(|AN|,|AM|)＝eq\f(1,2)，故选A．2.(2023·陕西·交大附中模拟预测）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点．若eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AM,\s\up7(→))＋μeq\o(AN,\s\up7(→))，则λ＋μ的值为()A．eq\f(1,4)B．eq\f(1,5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(5,4)答案：C【解析】如图，连接MN并延长，交AB的延长线于点T，则MT为值是1的等和线，设λ＋μ＝k，则k＝eq\f(|AB|,|AT|)．由图易知，eq\f(|AB|,|AT|)＝eq\f(4,5)，故选C．3.(2023·山东·山师附中模拟预测）在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若eq\o(AC,\s\up7(→))＝a，eq\o(BD,\s\up7(→))＝b，且eq\o(AF,\s\up7(→))＝λa＋μb，则λ＋μ等于()A．1B．eq\f(3,4)C．eq\f(2,3)D．eq\f(1,2)答案：A【解析】如图，作eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\o(BD,\s\up7(→))，延长CD与AG相交于G，因为C，F，G三点共线，所以λ＋μ＝1．故选A．4.(2023·云南玉溪·高三月考）如图所示，在△ABC中，D，F分别是AB，AC的中点，BF与CD交于点O，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，向量eq\o(AO,\s\up6(→))＝λa＋μb，则λ＋μ的值为_______．答案：eq\f(2,3)【解析】图，BC为值是1的等和线，过O作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝eq\f(|AO|,|AM|)．由图易知，eq\f(|AO|,|AM|)＝eq\f(2,3)．【题型二根据等和线求基底的系数和的最值(范围)】1.(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）给定两个长度为3的平面向量和，它们的夹角为120°，如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动，若，其中，则的最大值是_____；的最大值是______.答案：【解析】（1）AB交CO于D，设,，易证，当时，取最大值，；（2）取OA中点E，则OC交BE于F，设,，易证，当时，取最大值，.2.(2023·福建泉州·模拟预测）如图，在正六边形ABCDEF中，P是△CDE内(包括边界)的动点，设eq\o(AP,\s\up7(→))＝αeq\o(AB,\s\up7(→))＋βeq\o(AF,\s\up7(→))(α，β∈R)，则α＋β的取值范围是________．答案：[3，4]【解析】直线BF为k＝1的等和线，当P在△CDE内时，直线EC是最近的等和线，过D点的等和线是最远的，所以α＋β∈[eq\f(AN,AM)，eq\f(AD,AM)]＝[3，4]．3.(2023·全国·高三课时练习）如图，在正方形ABCD中，E为BC的中点，P是以AB为直径的半圆弧上任意一点，设，则2x+y的最小值为()A．－1B．1C．2D．3答案：【解析】取AD中点F，则直线FP交AE于G，设∵FPG三点共线∴当P在EQ\o\ac(\S\UP7(⌒),AB)中点时，G与E重合，此时t取到最小值，4.(2023·江苏姑苏·苏州中学高三月考）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD＝DC＝1，AB＝3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，设eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))(x，y∈R)，则x＋y的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3)))【解析】如图，作CE⊥BD于E，由△CDE∽△DBA知eq\f(CE,DA)＝eq\f(CD,BD)，即eq\f(CE,1)＝eq\f(1,\r(10))，所以CE＝eq\f(\r(10),10)，设与BD平行且与圆C相切的直线交AD延长线于点F，作DH垂直该线于点H，显然DH＝2CE＝eq\f(\r(10),5)，由△DFH∽△BDA得eq\f(DF,BD)＝eq\f(DH,BA)，即eq\f(DF,\r(10))＝eq\f(\f(\r(10),5),3)，所以DF＝eq\f(2,3)，过点P作直线l∥BD，交AD的延长线于点M，设t＝eq\f(AM,AD)，则x＋y＝t，由图形知“等值线”l可从直线BD的位置平移至直线FH的位置(不包括BD和FH)，由平面几何知识可得1＝eq\f(AD,AD)<eq\f(AM,AD)<eq\f(AF,AD)＝eq\f(5,3)，即1<t<eq\f(5,3)，故x＋y的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(5,3))).5.如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD＝2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，设eq\o(OP,\s\up7(→))＝λeq\o(OC,\s\up7(→))＋μeq\o(OD,\s\up7(→))，则λ＋μ的取值范围为________．答案：[1，eq\f(3,2)]【解析】如图，(λ＋μ)min＝1，(λ＋μ)max＝eq\f(3,2)．【题型三极化恒等式处理数量积的定值问题】1.(2023·甘肃·高台县第一中学模拟预测）如图，在中，已知，点分别在边上，且，若为的中点，则的值为________.答案：【解析】取BD的中点N，连接NF，EB，则，在中，，2.(2023·山东日照市·高三二模）如图所示，AB是圆O的直径，P是上的点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))＝()A．13B．7C．5D．3答案：C【解析】连接AP，BP，则eq\o(PM,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))，eq\o(PN,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→))，所以eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))＝(eq\o(PA,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→)))·(eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(AM,\s\up7(→)))＝eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))－eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))－|eq\o(AM,\s\up7(→))|2＝－eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(AM,\s\up7(→))＋eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(PB,\s\up7(→))－|eq\o(AM,\s\up7(→))|2＝eq\o(AM,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))－|eq\o(AM,\s\up7(→))|2＝1×6－1＝5．3.(2023·河北武强中学高三月考）如图，△AOB为直角三角形，OA＝1，OB＝2，C为斜边AB的中点，P为线段OC的中点，则eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝()A．1B．eq\f(1,16)C．eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)答案：B【解析】取AO中点Q，连接PQ，eq\o(AP,\s\up7(→))·eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(PA,\s\up7(→))·eq\o(PO,\s\up7(→))＝PQ2－AQ2＝eq\f(5,16)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)．4.(2023·全国福建省漳州市高三期末)如图，在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120°，D为边BC的中点，若CD⊥AD，垂足为E，则eq\o(EB,\s\up7(→))·eq\o(EC,\s\up7(→))＝________．答案：－eq\f(27,7)【解析】由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝19，即BC＝eq\r(19)，因为eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AC,\s\up7(→))=AD2－CD2＝|AB|·|AC|·cos120°＝－3，所以|AD|＝eq\f(\r(7),2)，因为S△ABC＝2S△ADC，则eq\f(1,2)|AB|·|AC|·sin120°＝2·eq\f(1,2)|AD||CE|，解得|CE|＝eq\f(3\r(21),7)，在Rt△DEC中，|DE|＝eq\r(CD2－CE2)＝eq\f(5\r(7),14)，所以eq\o(EB,\s\up7(→))·eq\o(EC,\s\up7(→))＝|ED|2－|CD|2＝－eq\f(27,7)．【题型四极化恒等式处理数量积中的最值范围问题】1.在∆ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，D是AB的中点，E，F分别是边BC、AC上的动点，且EF=1，则DE∙答案：15【解析】取EF的中点H，连接DH、CH，由DE∙根据三角形三边性质可得：CH+DH≥CD，所以DH=CD−CH=5所以DE∙DF=DH2−2.(2023·海南海口·二模）已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的取值范围是________．答案：[－2，6]【解析】取AB的中点D，连接CD，因为三角形ABC为正三角形，所以O为三角形ABC的重心，O在CD上，且OC＝2OD＝2，所以CD＝3，AB＝2eq\r(3)．又由极化恒等式得：eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝|PD|2－eq\f(1,4)|AB|2＝|PD|2－3，因为P在圆O上，所以当P在点C处时，|PD|max＝3，当P在CO的延长线与圆O的交点处时，|PD|min＝1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))∈[－2，6]．3.(2023•南通期末）在△ABC中，AC＝2BC＝4，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN＝1，若的最小值为，则cos∠ACB＝________．答案：【解析】取MN的中点P，则由极化恒等式得，∵的最小值为，∴，由平几知识知：当CP⊥A