高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)2.6对数和对数函数(精讲)(原卷版+解析)

2.6对数和对数函数【题型解读】【知识储备】1．对数的概念如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④＝eq\f(n,m)logaM.(2)对数的性质①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数【题型精讲】【题型一对数的运算】必备技巧解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.例1(2023·济南市历城二中·月考）计算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.(3)3－2＋103lg3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).例2(2023·内蒙古包头市·高三月考）已知，则（）A． B． C． D．例3(2023·贵州遵义·高三开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【题型精练】1．(2023·浙江高三月考）化简求值：（1）．（2）；（3）.（4）（5）．2．(2023·安徽·安庆市高三期末）已知，，用，表示，则（

）A． B． C． D．【题型二对数函数的图象】必备技巧对数型函数的图象问题对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．例4(2023·四川高三开学考试）函数（，且）的图象一定经过的点是（）A． B． C． D．例5(2023·浙江高三课时练习）如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为()A.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)B.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)C.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)D.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)例6(2023·浙江高三专题练习）函数的图象是（）A． B． C． D．【题型精练】1.(2023·四川高三三模）函数及，则及的图象可能为（）A． B．C． D．2.(2023·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（

）A． B． C． D．【题型三对数函数的性质】必备技巧对数函数的性质(1)利用对数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与对数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．例7(2023·四川自贡高三月考）函数的定义域是（）A． B． C． D．例8（1）(2023·上海高三课时练习）函数的值域为_________．（2）(2023·重庆高三期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是。例9（1）(2023·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高三期末）函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．（2）(2023·全国高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．35⩽a<34 B． C．35⩽a<（3）(2023·运城市新康国际实验学校高三开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．【题型精练】1.(2023·河北邯郸市高三月考）已知函数的定义域为A，函数的值域为B，又，则a的取值范围为（）A． B． C． D．2．(2023·陕西·榆林市第十中学高三期中）函数的一个单调增区间是（

）A． B． C． D．3.(2023·四川成都市·高三月考）函数在上的值域为___________．4.(2023·合肥市第六中学高三期中）已知函数则使得成立的x的取值范围是（）A． B．C． D．【题型四对数比较大小】例10(2023·广东中山·高三期末）设，，，则（

）A． B．C． D．例11(2023·辽宁高三模拟）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．【题型精练】1．(2023·安徽高三月考）已知，则（）A． B．C． D．2.(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知，，，则（

）A． B． C． D．3.(2023·浙江高三模拟）若，，，则（）A． B． C． D．【题型五对数函数综合问题】必备技巧对数函数的综合问题(1)有关对数复合函数的单调性、值域问题．(2)有关对数型函数对应的不等式恒成立及能成立问题．(3)有关对数型函数对应的方程有解问题．例12(2023·潍坊高三月考）已知函数（且）．（1）当时，解不等式；（2），，求实数的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在，使在区间上的值域是？若存在，求实数的取值范围；若不存在，试说明理由．【题型精练】1．(2023·淄博高三月考）函数的定义域为，若，满足，则称为的不动点．已知函数．（1）试判断不动点的个数，并给予证明；（2）若“”是真命题，求实数的取值范围．2.6对数和对数函数【题型解读】【知识储备】1．对数的概念如果ax＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中__a__叫做对数的底数，__N__叫做真数．2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④＝eq\f(n,m)logaM.(2)对数的性质①＝__N__；②logaaN＝__N__(a>0且a≠1)．(3)对数的重要公式①换底公式：logbN＝eq\f(logaN,logab)(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝eq\f(1,logba)，推广logab·logbc·logcd＝logad.3．对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数【题型精讲】【题型一对数的运算】必备技巧解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg2＋lg5＝1.例1(2023·济南市历城二中·月考）计算下列各式的值：(1)eq\f(1,2)lgeq\f(32,49)－eq\f(4,3)lgeq\r(8)＋lgeq\r(245)；(2)lg25＋eq\f(2,3)lg8＋lg5×lg20＋(lg2)2.(3)3－2＋103lg3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))).【解析】(1)原式＝lgeq\f(4\r(2),7)－lg4＋lg7eq\r(5)＝lgeq\f(4\r(2)×7\r(5),7×4)＝lg(eq\r(2)·eq\r(5))＝lgeq\r(10)＝eq\f(1,2).(2)原式＝2lg5＋2lg2＋lg5(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.(3)3－2＋103lg3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝3×3－24×2＋(10lg3)3＋(2)－1＝3×5－16×3＋33＋5－1＝－eq\f(29,5).例2(2023·内蒙古包头市·高三月考）已知，则（）A． B． C． D．答案：B【解析】，，，，，.故选：B.例3(2023·贵州遵义·高三开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】.故选：C【题型精练】1．(2023·浙江高三月考）化简求值：（1）．（2）；（3）.（4）（5）．答案：（1）5（2）3（3）0（4）3（5）【解析】（1）．（2）.（3）.（4（5）．2．(2023·安徽·安庆市高三期末）已知，，用，表示，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由题意知，故选:D．【题型二对数函数的图象】必备技巧对数型函数的图象问题对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．例4(2023·四川高三开学考试）函数（，且）的图象一定经过的点是（）A． B． C． D．答案：B【解析】令，，则，即函数图象过定点．故选：B．例5(2023·浙江高三课时练习）如图所示，曲线是对数函数y＝logax的图象，已知a取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，则相应于c1、c2、c3、c4的a值依次为()A.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)B.eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)C.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)D.eq\f(4,3)、eq\r(3)、eq\f(1,10)、eq\f(3,5)答案：A【解析】方法一观察在(1，＋∞)上的图象，先排c1、c2底的顺序，底都大于1，当x＞1时图象靠近x轴的底大，c1、c2对应的a分别为eq\r(3)、eq\f(4,3).然后考虑c3、c4底的顺序，底都小于1，当x＜1时图象靠近x轴的底小，c3、c4对应的a分别为eq\f(3,5)、eq\f(1,10).综合以上分析，可得c1、c2、c3、c4的a值依次为eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10).故选A.方法二作直线y＝1与四条曲线交于四点，由y＝logax＝1，得x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底数小，所以c1、c2、c3、c4对应的a值分别为eq\r(3)、eq\f(4,3)、eq\f(3,5)、eq\f(1,10)，故选A.例6(2023·浙江高三专题练习）函数的图象是（）A． B． C． D．答案：C【解析】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得到函数的图象，再将所得函数图象位于轴下方的图象关于轴翻折，位于轴上方图象不变，可得到函数的图象.故合乎条件的图象为选项C中的图象.故选：C.【题型精练】1.(2023·四川高三三模）函数及，则及的图象可能为（）A． B．C． D．答案：B【解析】当时，单调递减，单调递减，所以单调递增且定义域为，此时与y轴的截距在上，排除C.当时，单调递减，单调递增，所以单调递减且定义域为，此时与y轴的截距在上.∴当时，单调递增；当时，单调递减，故只有B符合要求.故选：B.2.(2023·江苏省高邮中学高三阶段练习）函数且的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】解：因为函数且的图象恒过定点，所以，即，所以，又，所以所以，当且仅当，即时取等号.故选：C.【题型三对数函数的性质】必备技巧对数函数的性质(1)利用对数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与对数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．例7(2023·四川自贡高三月考）函数的定义域是（）A． B． C． D．答案：D【解析】由已知得，解得，所以函数的定义域为，故选：D例8（1）(2023·上海高三课时练习）函数的值域为_________．（2）(2023·重庆高三期末）已知函数的值域为，则实数的取值范围是。答案：（1）（2）【解析】（1）因为，所以，，因此，，故函数的值域为.故答案为：.（2）当时，，则，所以，函数在区间上的值域包含，所以，存在，使得，即，而函数在区间上为增函数，，.例9（1）(2023·新疆维吾尔自治区阿克苏地区第二中学高三期末）函数的单调递增区间为（）A． B． C． D．（2）(2023·全国高三专题练习）已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．35⩽a<34 B． C．35⩽a<（3）(2023·运城市新康国际实验学校高三开学考试）设函数，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C． D．答案：（1）D（2）C（3）A【解析】（1）对于函数，有，解得或，故函数的定义域为，内层函数在上单调递减，在上单调递增，外层函数为减函数，由复合函数的单调性可知，函数的单调递增区间为.故选：D.（2）函数是由与复合而成，①当时，因为为减函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递减，结合的图像可得，解得②当时，因为为增函数，且函数在区间上单调递增，所以在上单调递增，又因为此时，结合的图像可知此时符合题意综上所述：实数a的取值范围为或.故选：C（3）定义在上的函数满足，所以为偶函数，当时，为增函数，由结合偶函数图象的对称性可知，两边平方并化简得，解得.所以不等式的解集为.故选：A【题型精练】1.(2023·河北邯郸市高三月考）已知函数的定义域为A，函数的值域为B，又，则a的取值范围为（）A． B． C． D．答案：B【解析】根据题意得：，，则，，由，可得，故选：B.2．(2023·陕西·榆林市第十中学高三期中）函数的一个单调增区间是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】函数的定义域为.要求函数的一个单调增区间，只需求的增区间，只需.所以.所以函数的一个单调增区间是.故选：C3.(2023·四川成都市·高三月考）函数在上的值域为___________．答案：【解析】函数在定义域上单调递增.当时，;当时，，，所以的值域为.故答案为：4.(2023·合肥市第六中学高三期中）已知函数则使得成立的x的取值范围是（）A． B．C． D．答案：A【解析】∵可化为为偶函数，且在上单调递增，∴由得，即，解得或．故选：A．【题型四对数比较大小】例10(2023·广东中山·高三期末）设，，，则（

）A． B．C． D．答案：D【解析】因为，则，所以，又因为，所以，又由，所以，所以.故选：D.例11(2023·辽宁高三模拟）已知函数为上的偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．答案：D【解析】∵对任意，，均有成立，∴此时函数为减函数，∵是偶函数，∴当时，为增函数，，，，∵，∴，∵，∴，∴，即，故选：D.【题型精练】1．(2023·安徽高三月考）已知，则（）A． B．C． D．答案：A【解析】，，；，，，，故选：A.2.(2023·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知，，，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】∵，∴，∵，∴，∴，又，，∵，∴，∴.故选：C.3.(2023·浙江高三模拟）若，，，则（）A． B． C． D．答案：B【解析】，，，由于，，∴．故选：B.【题型五对数函数综合问题】必备技巧对数函数的综合问题(1)有关对数复合函数的单调性、值域问题．(2)有关对数型函数对应的不等式恒成立及能成立问题．(3)有关对数型函数对应的方程有解问题．例12(2023·潍坊高三月考）已知函数（且）．（1）当时，解不等式；（2），，求实数的取值范围；（3