高考数学大一轮复习精讲精练(新高考地区)7.1空间几何体结构特征及计算(精讲)(原卷版+解析)

7.1空间几何体结构特征及计算【题型解读】【知识必备】1.空间几何体的结构特征多面体棱柱棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形棱台棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是平行且相似的多边形旋转体圆柱圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到圆锥圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到圆台圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到球球可以由半圆或圆绕直径旋转得到2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底·h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)S底·h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【题型精讲】【题型一简单几何体的概念】例1(2023·全国·高三专题练习）给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3例2(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.【跟踪精练】1.(2023·青岛高三月考）给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．2.(2023·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式､定理､解法､函数､方程､常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V､棱数E､面数F之间总满足数量关系，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.【题型二简单几何体的表面积】必备技巧空间几何体表面积的求法①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．例3(2023·全国高三其他模拟）如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径，扇形弧长，则该圆锥的表面积为（）A． B． C． D．例4(2023·山东日照高三模拟）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（

）A． B． C． D．例5(2023·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为(

)A． B． C． D．3例6(2023·全国·高三专题练习）（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（

）A．该圆台的高为B．该圆台轴截面面积为C．该圆台的体积为D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为【跟踪精练】1.（全国1卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A. B. C. D.2.(2023·全国高三模拟）已知正四面体可以在圆锥内绕自身的中心任意旋转，若该正四面体棱长的最大值为，且圆锥的高为，则圆锥的表面积为（）A． B． C． D．3.(2023·浙江高三模拟）已知圆柱的体积为（单位：），且它的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的底面半径（单位：）是_______．【题型三简单几何体的体积】方法技巧空间几何体体积问题的常见类型及解题策略①直接利用公式进行求解．②用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．例7(2023·全国高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A． B． C． D．例8(2023·广东深圳市·高三二模）若在母线长为，高为的圆锥中挖去一个小球，则剩余部分体积的最小值为______________．例9(2023·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（

）A．23 B．24 C．26 D．27【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（

）A． B． C．4 D．2.(2023·全国·高三专题练习）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（

）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为3.(2023·重庆高三模拟）（多选）攒尖是中国传统建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建筑，如塔、亭、阁等，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒尖．以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（

）A．底面边长为4米 B．侧棱与底面所成角的正弦值为C．侧面积为平方米 D．体积为32立方米【题型四有关球的计算】方法技巧空间几何体外接球问题的处理(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．(3)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．例10(2023·全国·赣州市第三中学高三期末）已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（

）A． B． C． D．例11(2023·全国·高三专题练习）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为，圆锥的底面圆周和顶点都在同一球面上，则该球的体积为（

）A． B． C． D．【题型精练】1.（新课标Ⅰ高考）已知A、B、C为球O球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球O的表面积为（）A. B. C. D.2.(2023·山东青岛·二模）《九章算术》中记录的“羡除”是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道形状的几何体，如图，羡除ABCDEF中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（

）A． B． C． D．3.(2023·湖南岳阳·模拟预测）某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为，球形巧克力的半径为，每个球形巧克力的体积为，包装盒的体积为，则________7.1空间几何体结构特征及计算【题型解读】【知识必备】1.空间几何体的结构特征多面体棱柱棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形棱台棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是平行且相似的多边形旋转体圆柱圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到圆锥圆锥可以由直角三角形绕其直角边旋转得到圆台圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到球球可以由半圆或圆绕直径旋转得到2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l3.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底·h锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)S底·h台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【题型精讲】【题型一简单几何体的概念】例1(2023·全国·高三专题练习）给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥;③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3答案：A【解析】①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图(1)所示;③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图(2)所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.故选：A例2(2023·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习）碳60（）是一种非金属单质，它是由60个碳原子构成的分子，形似足球，又称为足球烯，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共32个面，且满足：顶点数－棱数＋面数＝2．则其六元环的个数为__________.答案：【解析】根据题意，碳（）由个顶点，有个面，由顶点数－棱数＋面数＝2可得：棱数为，设正五边形有个，正六边形有个，则，解得：，所以六元环的个数为个，故答案为：【跟踪精练】1.(2023·青岛高三月考）给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．答案：②③④【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面所在的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．2.(2023·全国·高三专题练习）莱昂哈德·欧拉，瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一，他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式､定理､解法､函数､方程､常数等是以欧拉名字命名的.欧拉发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V､棱数E､面数F之间总满足数量关系，此式称为欧拉公式，已知某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数为___________；顶点的个数为___________.答案：①.②.【解析】因为某凸32面体，12个面是五边形，20个面是六边形，则该32面体的棱数：；因为顶点数V､棱数E､面数F之间总满足数量关系，设顶点的个数为，则，解得，故答案为：；.【题型二简单几何体的表面积】必备技巧空间几何体表面积的求法①旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．②多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．例3(2023·全国高三其他模拟）如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径，扇形弧长，则该圆锥的表面积为（）A． B． C． D．答案：B【解析】设圆锥底面圆半径为，则，解得，∴圆锥的表面积，故选：B.例4(2023·山东日照高三模拟）某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】如图，是正四棱锥的高，设底面边长为，则底面积为，因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，所以，又，所以，所以是正三角形，面积为，所以，即正四棱锥的侧面与底面的面积之比为故选：D.例5(2023·天津·南开中学模拟预测）已知圆锥的母线长与底面直径都等于2，一个圆柱内接于这个圆锥，即圆柱的上底面是圆锥的一个截面，下底面在圆锥的底面内，则圆柱侧面积的最大值为(

)A． B． C． D．3答案：A【解析】如图，，，，则，设，，则，，则，∴圆柱侧面积为：，当时取等号．故选：A．例6(2023·全国·高三专题练习）（多选）某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，则（

）A．该圆台的高为B．该圆台轴截面面积为C．该圆台的体积为D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为答案：BCD【解析】如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；圆台的轴截面面积为，B正确；圆台的体积为，C正确；将圆台一半侧面展开，如下图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，由可得，则，，又，则，即点到的中点所经过的最短路程为，D正确.故选：BCD.【跟踪精练】1.（全国1卷）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）A. B. C. D.答案：C【解析】设，利用得到关于的方程，解方程即可得到答案.【详解】如图，设，则，由题意，即，化简得，解得（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题.2.(2023·全国高三模拟）已知正四面体可以在圆锥内绕自身的中心任意旋转，若该正四面体棱长的最大值为，且圆锥的高为，则圆锥的表面积为（）A． B． C． D．答案：A【解析】如图，当正四面体棱长取到最大值时，其外接球半径，此时该球为圆锥的内切球，设球心为，圆维的底面半径为，作轴截面如图，Q为切点，则，即，解得R=3，故圆锥的表面积为.故选：3.(2023·浙江高三模拟）已知圆柱的体积为（单位：），且它的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的底面半径（单位：）是_______．答案：【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，由于该圆柱的侧面展开图是正方形，所以，又圆柱的体积为，所以，即所以.故答案为：.【题型三简单几何体的体积】方法技巧空间几何体体积问题的常见类型及解题策略①直接利用公式进行求解．②用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．例7(2023·全国高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（）A． B． C． D．答案：D【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，所以该棱台的高，下底面面积，上底面面积，所以该棱台的体积.故选：D.例8(2023·广东深圳市·高三二模）若在母线长为，高为的圆锥中挖去一个小球，则剩余部分体积的最小值为______________．答案：．【解析】如图是圆锥的轴截面，它的内切圆是圆锥的内切球的大圆．设半径为，易知母线长为，高为4时，底面半径为，因此，，所以剩余部分体积的最小值为．故答案为：．例9(2023·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（

）A．23 B．24 C．26 D．27答案：D【解析】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，因为，所以，因为重叠后的底面为正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，则,由可得平面，设重叠后的EG与交点为则则该几何体的体积为.故选：D.【题型精练】1．(2023·全国·高三专题练习）在正四棱锥中，，若正四棱锥的体积是8，则该四棱锥的侧面积是（

）A． B． C．4 D．答案：C【解析】如图，连接AC，BD，记，连接OP，所以平面ABCD.取BC的中点E，连接.因为正四棱锥的体积是8，所以，解得.因为，所以在直角三角形中,，则的面积为，故该四棱锥的侧面积是.故选：C2.(2023·全国·高三专题练习）（多选）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的（

）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．上底面积､下底面积和侧面积之比为答案：AC【解析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，解得．圆台的母线长，圆台的高为，则选项正确；圆台的体积，则选项错误；圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，则圆台的表面积为，则正确；由前面可知上底面积､下底面积和侧面积之比为，则选项D错误．故选：AC．3.(2023·重庆高三模拟）（多选）攒尖是中国传统建筑表现手法，是双坡屋顶形式之一，多用于面积不大的建筑，如塔、亭、阁等，常用于圆形、方形、六角形、八角形等平面的建筑物上，形成圆攒尖和多边形攒尖．以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则该正四棱锥的（

）A．底面边长为4米 B．侧棱与底面所成角的正弦值为C．侧面积为平方米 D．体积为32立方米答案：BD【解析】如图，在正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，E为CD的中点，，设底面边长为2a，正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为，所以，则，，，所以，即，可得．底面边长为米，A错误；侧棱与底面所成角的正弦值为，B正确；侧面积，C错误；体积，D正确．故选：BD【题型四有关球的计算】方法技巧空间几何体外接球问题的处理(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解．(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．(3)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．例10(2023·全国·赣州市第三中学高三期末）已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合，如果其内切球的半径为，其外接球的体积为，那么这个三棱锥的表面积为（

）A