2024年黑龙江省牡丹江市中考一模数学试题【含答案解析】

二〇二四年牡丹江市初中毕业学业考试第一次适应性考试数学试卷考生注意：1．考试时间120分钟2．全卷共分三道大题，总分120分3．请把答案写在答题卡上，在试卷上作答无效一、选择题（每小题3分，满分36分）1.今年我省冰雪大世界在61天内吸引了约271万游客，数据271万，用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查科学记数法．科学记数法指一个数可以写成的形式，其中，为整数．【详解】解：271万．故选：B．2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；故选：D．3.下列运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方．根据同底数幂的乘法、除法，积的乘方，幂的乘方对各选项进行判断作答即可．【详解】解：A中，故不符合要求；B中，故不符合要求；C中，故不符合要求；D中，故符合要求；故选：D．4.一个布袋中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是白球的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了列举法求概率．正确的画树状图是解题的关键．根据题意画树状图，然后求概率即可．【详解】解：由题意画树状图如下；∴共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是白球共有4种等可能的结果，∴两次摸出的球都是白球的概率是，故选：C．5.一种药品原价每盒元，经过两次降价后每盒元，两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．求平均变化率的方法：若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．利用等量关系为：原价降价的百分率现价，列方程求解即可．【详解】第一次降价后的价格为：；

第二次降价后的价格为：；

∵两次降价后的价格为元，

∴．

故选：D．6.如图，矩形的边轴，对角线的交点O为坐标原点，，垂足是G．若反比例函数的图象经过点A，且，则k的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合题．由已知求得，设点A的坐标为，求得，，利用矩形面积公式列式计算即可求解．【详解】解：∵，，∴，∵矩形，∴，∵反比例函数的图象经过点A，设点A的坐标为，∵矩形的边轴，∴点B的坐标为，点C的坐标为，∴，，∴，解得，故选：C．7.如图所示，的半径是3，直线l与相交于A，B两点，点M，N在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形面积的最大值是（）A.9 B. C.18 D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了图形面积的最值问题，圆周角定理，勾股定理，找到使四边形面积最大的点M与点N的位置是解题的关键．过点O作于C，交于D，E两点，连结，，，，，，先证明，得到为等腰直角三角形，求出的长，然后利用，得出当M点运动到D点，N点运动到E点，四边形面积最大值，由此计算，即得答案．【详解】如图，过点O作于C，交于D，E两点，连结，，，，，，，，，为等腰直角三角形，，，当点M到的距离最大时，的面积最大，当点N到的距离最大时，的面积最大，即M点运动到D点，N点运动到E点，此时四边形面积的最大值．故选B．8.一列数，，，…按此规律排列，第七个数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数列分析清楚所存在的规律．观察这列数可知第个数为，进而求出第七个数即可求解．【详解】解：，，，…依次类推，第个数为，第七个数是，故选：B．9.如图，将矩形沿折叠，点C的对应点是F，将沿折叠，此时点B也恰好落在点F处，若，，则的长是（）A. B. C.5 D.【答案】A【解析】【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，设，则，由折叠的性质得到，，进而得到，利用勾股定理建立等式求解，即可解题．【详解】解：四边形为矩形，，，，，设，则，由折叠的性质可知，，，，，，解得，，故选：A．10.如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．直接利用图象得出不等式的解集．【详解】解：一次函数与一次函数图象交于点，根据函数图象可得关于的不等式的解集是：．故选：C．11.如图，锐角中，分别为边上的高，和的面积分别是4和1，，则点A到直线的距离是（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．证明，则，，进而可证，则，可求，设点A到直线的距离为，依题意得，，即，计算求解即可．【详解】解：由题意知，，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，解得，，设点A到直线的距离为，依题意得，，即，解得，，故选：D．12.如图，菱形中，E是边上的一点，交于点F，若，则下列结论：①；②；③；④图中有6个等腰三角形，其中正确结论的个数是（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】首先根据题意得到，求出，得到，利用得到，即可判断①；根据平行线的性质和三角形内角和定理求出各角的度数，进而根据等腰三角形的判定即可判断④；设，，则，然后证明出，得到，代入得到，求出，得到，表示出，然后代入即可判断③；首先由得到，得到，，然后同理得到，然后进一步表示出，即可判断②．【详解】∵菱形中，∴∵∴解得∴∴∴∴∴∵∴，故①正确；∵∴，∵∴，∴∴，∴，∴，，，，，是等腰三角形，∴图中有6个等腰三角形，故④正确；∴设，∴∵，∴∴，即整理得，∴解得，负值舍去∴∴∴，故③正确；∵∴∴∴同理可得，∴∴∴∴，故②错误综上所述，正确的个数为3．故选：B．【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．二、填空题（每小题3分，满分24分）13.若代数式有意义，则实数x的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义，分母不为零是解题的关键．根据分式有意义的条件列不等式求解即可．【详解】解：若代数式有意义，则，解得：，故答案：．14.正八边形的外角和是______．【答案】##360度【解析】【分析】本题考查多边形的外角和．根据任意多边形的外角和都是即可．【详解】解：任意多边形的外角和都是正八边形的外角和是．故答案：．15.若直线向上平移两个单位长度后经过点，则m的值为______．【答案】2【解析】【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据平移规则：上加下减，求出新的解析式，把代入求解即可．【详解】解：由题意，平移后的解析式为：，把代入得：；故答案为：2．16.如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，，，将绕点O旋转，使点B落在x轴上，则此时点A的坐标为______．【答案】或【解析】【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，等边对等角，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分当点F在x轴正半轴时，当点F在x轴负半轴时，过点E作于H，根据旋转的性质得到，据此利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出点E的坐标即可得到答案．【详解】解：∵，，∴，设点A的对应点为点E，点B的对应点为F，如图所示，当点F在x轴正半轴时，过点E作于H，由旋转的性质可得，∴，∴，∴；如图所示，当点F在x轴负半轴时，同理可得；综上所述，当点B落在x轴上，此时点A的坐标为或，故答案为：或．17.若关于x的分式方程的解为负数，则负整数a的值为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，熟练掌握知识点是解题的关键．先解分式方程，再根据解为负数求出a的取值范围，再根据a是负整数，即可求解．【详解】解：，解得：，∵分式方程的解为负数，∴，解得：，∵a是负整数，∴当时，是增根，舍去；当时，符合题意，故答案为：．18.如图，在中，，，为边上的一动点，以为邻边作，则对角线长度的最小值______．【答案】【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性质，平行四边形的性质，平行线间的距离，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，进而由直角三角形的性质得，再根据平行四边形的性质得，由平行线间的距离处处相等可知当时，对角线长度的最小，最小值等于的长度，即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：过点作于，则，∵，，∴，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴当时，对角线长度的最小，最小值等于的长度，∴对角线长度的最小值为，故答案为：．19.如图所示，在平面直角坐标系中，过格点，，作一圆弧，在第一象限，过点B与格点______（填点的坐标）的直线与该圆弧相切．【答案】【解析】【分析】本题考查圆的切线．根据题意，先找出三点构成的弧所在圆的圆心，再作出切线即可判断．【详解】解：如图，过格点，，所在圆的圆心为,连接，过点作直线，则直线与该圆弧相切，由图知，在第一象限直线经过的格点为．故答案为：．20.如图所示，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，，对称轴是直线，则下列结论：①；②；③是关于x的一元二次方程的一个根；④若实数，则，其中结论正确的序号是______．【答案】①③##③①【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程的根与二次函数的关系等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，一元二次方程的根与二次函数的关系是解题的关键．由题意知，当时，，可判断①的正误；当时，，即，，，可知是关于x的一元二次方程的一个根，可判断③的正误；将代入可得，可判断②的正误；当时，随的增大而增大，当时，，即，整理得，，可判断④的正误．【详解】解：由题意知，当时，，①正确，故符合要求；当时，，即，∵，∴，∵对称轴是直线，∴，∴是关于x的一元二次方程的一个根，③正确，故符合要求；将代入得，，整理得，，∴，②错误，故不符合要求；∵当时，随的增大而增大，∴当时，，整理得，，④错误，故不符合要求；故答案为：①③．三、解答题（满分60分）21.先化简，再求值：，其中．【答案】【解析】【分析】本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握因式分解是解题的关键．先利用异分母分式的加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【详解】解：化简原式=．当时，原式．22.如图，在平面直角坐标中，抛物线过点，且交x轴于，两点，交y轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当线段的长取得最大值时，点的坐标是．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查一次函数与二次函数的综合题型．（1）将三个点的坐标直接代入用待定系数法求解即可；（2）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，的长度为其纵坐标值的差，再由二次函数的最值问题即可求解．【小问1详解】解：抛物线过点，，解得；【小问2详解】设，则点的横坐标为，令得解得设直线的解析式为，则解得直线的解析式为当时，取最大值，此时，．故答案为：．23.中，，，以A为顶点，作底角为30°的等腰三角形，并使其另两个顶点在的边上．请用尺规或三角尺画出图形，并直接写出该等腰三角形的底边长．【答案】；；图见解析【解析】【分析】本题考查等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质．根据题意，分两种情况，一是顶角在边上，二是顶角在边上，具体见详解．【详解】解：有两种情况，第一种情况顶角在边上，如下图：，，设，则，由勾股定理得解得；第二种情况顶角在边上，如图：过点作于，，，由，，设，则，即解得．24.某校组织了一次文学常识测试，九年级一班和二班各随机抽取名学生参加比赛，现对测试成绩（满分分）进行整理，描述和分析，共分四个等级（成绩用表示）（：，：，：，：）．如下是测试成绩的部分信息：九年级一班参赛的学生等级的成绩为：，，，；九年级二班参赛的学生等级的成绩为：，，，，．九年级二班参赛学生测试成绩条形统计图九年级一班参赛学生测试成绩扇形统计图人数九年级一、二班参赛学生测试成绩统计表

平均数中位数众数方差九年级一班九年级二班请根据以上信息，回答下列问题：（1）填空：=．扇形统计图中对应的圆心角的度数为；（2）补全九年级二班参赛学生成绩条形统计图；（3）若九年级一班有名学生，九年级二班有名学生，请估计九年级一班、二班共有多少名学生成绩不低于5分？（4）请从中位数和方差这两方面的统计量进行分析，并对两个班参赛的学生成绩进行评价．【答案】（1），（2）见解析（3）人（4）见解析【解析】【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，中位数、众数、方差，样本估计总体；（1）根据中位数、众数的意义求解即可，根据扇形统计图中等级的占比乘以即可得出对应的圆心角的度数；（2）根据题意得等级人，等级的人，进而补全统计图；（3）根据样本根据总体，用两个班级的人数分别乘以等级的占比，即可求解；（4）根据题意，从中位数和方差这两方面的统计量进行分析，即可求解．【小问1详解】解：由题意可知，九年级一班10名同学成绩等级的人数为人九年级一班参赛的学生等级的成绩为：，，，；∴处在中间位置的两个数都是93，93，因此中位数是，即九年级二班参赛的学生等级的成绩为：，，，，．等级的人，等级的人，等级的人九年级二班班10名学生成绩出现次数最多的是，共出现次，因此众数是，即，∴，扇形统计图中对应的圆心角的度数为，故答案为：，．【小问2详解】解：由（1）可得等级人，等级的人，补全统计图如图所示，【小问3详解】解：（人）答：九年级一班、二班共有名学生成绩不低于5分【小问4详解】一班好于二班，理由如下从中位数看，一班有一半的学生成绩在93分以上，二班有一半的学生成绩在94分以上．二班成绩好于一班；从方差看：一班成绩较稳定，二班成绩波动较大．一班高分段的学生少，但低分段的学生也少，成绩较为集中．二班高分段的学生较多，但低分段的也多，成绩不稳定．综上所述，一班好于二班25.甲骑摩托车，乙骑自行车从A地出发沿同一路线匀速骑行至B地，设乙行驶的时间为x（），甲、乙两人之间的距离y（）关于时间x（）的函数关系，如图所示，请结合图象信息解答下列问题：（1）乙的速度为，两地相距；（2）求图中线段的解析式；（3）甲出发多少小时，甲、乙二人途中相距，直接写出答案．【答案】（1）10，25（2）（3）或【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据图象获取相关信息，利用待定系数法求函数解析式．（1）根据题意结合图象以及路程、速度与时间的关系列式计算即可求解；（2）根据追及问题求出甲的速度，的值，设图中线段的解析式为，再结合图象得到点的坐标，求出线段的解析式即可；（3）设图中线段的解析式为，结合图象得到点的坐标，求出线段的解析式，再根据题意知甲、乙二人途中相距，根据这个条件建立等式求解，即可解题（注意要从甲出发的时间算起）．【小问1详解】解：由图知，乙骑自行车先从A地出发后，甲骑摩托车才从A地出发，乙速度为（），由图知，乙骑自行车先从A地出发后，行至B地，两地相距（），故答案为：10，25．【小问2详解】解：由点时，甲追上乙，甲的速度为（），，设图中线段的解析式为，由图知，，，，解得，图中线段的解析式为；【小问3详解】解：设图中线段的解析式为，由图知，，，，解得，图中线段的解析式为，甲、乙二人途中相距，或，解得或，（），（），甲出发或，甲、乙二人途中相距．26.已知：正方形中，，它的两边分别交，于点M，N．于点H，绕点A旋转．解答下列问题：（1）如图①，当时，请你写出与的数量关系；（2）如图②，当时，猜想与，的关系，并完成证明；（3）如图③，若，于点H，，，则．【答案】（1）（2），见解析（3）【解析】【分析】（1）先证明，可得，，再证明即可得到；（2）延长至，使，证明出，得到，，然后证明出，得到；（3）分别沿、翻折和，得到和，然后分别延长和交于点，得正方形，设，则，，在中，由勾股定理列方程求解即可．【小问1详解】．理由如下：四边形是正方形，，，在和中，，，，，是等腰三角形，又，，，，，，，在和中，，，；【小问2详解】数量关系成立．如图②，延长至，使．∵四边形是正方形，，，在和中，，∴，，，，，，，在和中，，，．【小问3详解】如图,分别沿、翻折和，得到和，，，．分别延长和交于点，得正方形，由（2）可知，．设，则，，在中，由勾股定理，得，，解得，．（不符合题意，舍去），．【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识；正确作出辅助线，熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的关键．27.为响应习总书记“足球进校园”的号召，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共花费410元；若购2个甲种足球和5个乙种足球共花费530元．解答下列问题：（1）购买一个甲种足球、一个乙种足球各需要多少钱？（2）学校为开展校内足球联赛，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不少于6000元，且甲种足球最多买22个．学校共有几种购买方案？（3）在（2）的条件下，学校又同时购买了甲、乙两种足球共8个，学校把全部足球平均分给8个足球队，每队分得两种足球数量分别相等，且每队甲种足球至少3个，直接写出这8个足球的购买方案．【答案】（1）购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元（2）学校共有三种方购买案（3）三种方案，第一种方案：购买甲种足球4个、乙种足球4个；第二种方案：购买甲种足球3个、乙种足球5个；第三种方案：购买甲种足球2个、乙种足球6个【解析】【分析】（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元．列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买个．可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购买方案．（3）在（2）的条件下，有3种方案，具体后，结合每队甲种足球至少3个，计算解答即可．本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用