高等数学(上)复习指导及要点解答

第1章函数

内容提要

[主要内容]

变量、集合、区间及邻域的概念，集合的运算，映射与函数的概念，函数的表示法，函

数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，反函数、复合函数、基本初等函数、分段函数的性

质及其图形，初等函数的概念。

1.变量、集合、区间

在整个考察过程中始终保持不变的量，称为常量；在考察过程中能取不同数值的量称为

变量。

一组对象的汇集或总体，称为集合或集，常用大写英文字母A、3、C等表示；集合

中的每一个对象称为集合的元素，常用小写字母”、〃、。,等表示。若“是集合A中的元

素，称a属于A,记为aeA,否则称a不属于A,记为aeA。

集合的表示法常用的有列举法和表示法。列举法是将所有元素•一列于一个大括号内，

描述法-一般写成{*I。},期%是元素的一般形式，2表示集合中的每个1都具有的性质。

空集记为°。常用集合有实数集R,有理数集0,非整数集N,自然数集正实

数集R+。实数和数轴上的点一一对应，实数集R亦称为数直线Ro

区间是一种特殊的集合。闭区间,开区间

(a,b^{x\a<x<b}(左开右闭区间(a/]={xla<xK6},左闭右开区间

[a,b)^[x\a<x<b}无穷区间(一8,+8)={x1-8<x<+8}=R,半无穷区间

(-8,加，，[a,+8)，(a,+oo)。

N(H)表示包含点孔的任一开区间，称为点方。的邻域；

N(x0)=N(x0)-{x0}表示点飞的去心邻域；

N(Xo»)={xHx—41<3}=(4—S,Xo+S),称为点X。的3邻域；

舟(x(),b)={xlO<lx—Xo1<6}=(%-3,Xo)U(x(),Xo+b),称为点％的去心

3邻域。

2.集合运算

子集：对于两个给定的集合A和B,若4的任何一个元素x,者晡XGB,则称集合A

是集合3的子集，记作4<=3或3n4。

相等：对于两个集合A和3,如果4u3与8uA同时成立，就称两个集合A与8相

等，记作4=3。

交集：对于两个给定的集合4和5,由同时属于这两个集合的元素组成的集合，叫作

集合A和3的交集，记作AC8或A3,即AnB={xlxe4,且xeB}。

性质：AC\B=BC\Af4nA=A,AD0=0

并集：对于两个给定的集合A和B,由这两个集合的所有元素组成的集合，叫作集合4

和3的并集，记作AU3或A+B,即AU3={xlxwA或xeB}。

性质.A\JB=B[_)AA\JA=AA\J0=A

差集：对于两个给定的集合4和5,由属于A但不属于8的元素组成的集合，称为A

与5的差集，记作4—5,即4—8={xlxeA,且了e8}。

3.映射、函数

映射：设A和3是两个非空集合，如果按照某种规则了,使对于集合A中的任一元素

a,可在3中确定唯一的元素〃与它对应，就称/是从A到3映射或映照，记为了：

A-8。元素人称为元素。在映射/下的像，记为对于元素be8,称

{x"（x）=b,xeA}为元素beB在映射f下的原像。

函数：设E是一个实数的集合，若根据某个确定的规则/，使对于E中的每一个x,

都有唯一确定的实数y与之对应，就说在E上给定了一个单值函数，记作>=/（为，

（xeE）。规则/是函数的记号；称x为自变量，集合E为函数/（0的定义域；称》为因

变量，集合用={>0=/（幻，犬€后}为函数/（外的值域，也可记为g=/0）。

函数的两要素:定义域和对应规则。只有当两个函数的定义域和对应规则都完全相同时,

这两个函数才是相同的函数。

4.函数的表示、分段函数、绝对值与三角不等式

函数的表示法：图形表示法、列表表示法和解析表示法。

分段函数：在自变量的不同范围内用不同运算式表示的函数称为分段函数。

绝对值：实数X的绝对值51是•个非负实数，其定义为

基本不等式：

（1）-刀斗|6

（2）\x\<ao-a<x<a（a>0）

（3）lx+yl<lxl+lyl（三角不等式）

（4）lx-yl>|lxl-lyl|

5.函数的性质

（1）有界性

设函数/（X）在集合X上有定义，若存在正数M,使对集合X内任意一值x,对应的

函数值/（X）都有,则称函数/（无）在X上有界；若这样的M不存在，即对任

一正数"，集合X内总存在点％,使"（"。）1>加成立，则称函数/（幻在X上无界。

（2）单调性

如果对于区间X内任意两点为<々，总成立着/（勺）</（%2）（或/（再）>/（/）,

则称函数/（幻在区间X内（严格）单调增加（或单调减少）。

如果对于区间X内任意两点玉</，总成立着/（X|）W/（X2）（或/区）”/（了2）,

则称函数/（X）在区间X内非严格单调增加（或非严格单调减少）。

（3）奇偶性

设函数/（幻在区间（T，/）内有定义，若对（T，/）内任意一了,都有”—x）=/（x）成

立,则称函数八幻是（T"）内的偶函数；若对内任意一工,都有/（-"）=_/（X）成

立，则称函数"X）是（T,1）内的奇函数。

（4）周期性

若存在非零实数T,使对定义域X内的一切X,等式/（尤+T）=/（x）总成立，则称

/（X）为X上的周期函数，并称T为/（X）的周期。通常所说的周期为其最小正周期，当不

是所有的周期函数都有最小正周期。

6.初等函数

（1）反函数：对于以x为定义域，丫为值域的函数y=/o）,若对集合丫中的任意

一个在集合x中可唯一确定一个满足y=/（x）的数x与之对应，则这一对应关系确

定了•个以＞为自变量，尤为因变量的函数x=e（y）。这个函数就称为'=/（幻

的反函数。

（2）复合函数:设y是〃的函数＞=/（"）,其定义域为u；而"是8的函数“二g（x）,

其定义域为X,做为U*,且U*uU,则对于X中的每一个工值，经过中间值"=g（x）,

唯一地对应一个确定的y值。于是因变量y经过中间变量”而成为自变量尤的函数，记为

y=/[g（x）]（XWX）,称为函数）'=/3）和"=g（x）的复合函数。

（3）基本初等函数：幕函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。

（4）初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次四则运算及有限次复合所得到的函

数称为初等函数。

复习指导

一元函数的概念，函数的单调性、奇偶性、周期性以及初等函数的性质及其图形在中学

数学中早已熟悉了，这里不再赘述。下列仅对值得提醒的内容作一复述。

1.函数的有界性

设八幻的定义域为D,数集XuO,

（1）如果存在数k,对于所有xeX,恒有f（x）＜k（则称函数f（x）在

X上有上界（下界）。数%称为函数/*）在X上的一个上界（下界）。

（2）如果存在一个数M＞0,对于任何工€乂，使得"（x）K”成立，则称函数/（幻

在X上有界，数〃为函数/（X）在X上的一个界。否则称函数/（幻在X上无界。

（3）界不唯一。如果用〉°为函数“X）在X上的一个界，则任何比M大的正数也

是它在X上的界，所以个有界函数必有无穷多个界。

（4）函数/（外在X上有界的充分必要条件为了（X）在X上既有上界又有下界。

2.反函数

设函数y=/（x）的定义域是。，值域是z。如果对于每一个yez,存在惟一的

满足函数/（x）=y,把函数y看作自变量，把x看作因变量，则》是一个定义在

）‘eZ上的函数，记此函数为

工=尸（＞）（JGZ）

并称之为y=/（X）（Xe°）的反函数。

习惯上常以X表示自变量，y表示因变量，故常将函数y=/（x）（X€。）的反函数

表示成

y=f~}W

（xez）

它与x=（yeZ）表示同一个函数，因为二者具有相同的定义域和相同的对应规

则。因而，在同一个直角坐标系中，函数函数＞=/（x）（xeO）的图形与其反函数

y=/T（x）（XGZ）的图形关于直线＞对称。

函数y=/（x）=，在（-℃,+8）上不具有反函数。如果考虑函数）'=力（》）=/

（xeD,=［0,+00））或函数y=人⑴=/（xe£>2=（-co,0］）。这时常使用术语：称函

数力（x）（或为⑴）为“襁/在A（或上的限制”或“函数/限制在R（或。2）

上”，且记作“反（或"0?）,其本质上一个新的函数。于是，就本例>=/（%）=/在

。2=（~0°，0］上的限制儿2就具有反函数'—‘13一—"，'€［0，+8）。同样，

反正切函数）'=arctanx是正切函数y=tanx在22上的限制的反函数，所以

tan（arctanx）=xxG（一OO,+oo）

，o

3.复合函数

设函数>=/（"）的定义域是值域是Zj函数"=ga）的定义域是值域是

z*。如果9nZg0°,则称函数

y=/lg（x）］,x€D={xlg（x）e£>f}

是由函数>=/（"）和函数"=g。）复合而成的复合函数，变量u称为中间变量。

4.初等函数

常值函数、累函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数这六类函数是研究其

它各种函数的基础，统称为基本初等函数。基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算

所得到的函数称为初等函数。

初等函数有很多好的性质，它们是微积分的重要研究对象。

5.分段函数

在自变量的不同变化范围中，自变量与因变量的对应规则用不同的表达式来表示的函数

称为分段函数。•般来说，分段函数不是初等函数，但并不是说分段函数就一定不是初等函

数。如函数/（x）Txl与/。）=而是同一个函数但前者是分段函数，后者是初等函数。

分段函数在微积分中有非常特殊的地位，尤其是在基本概念的说明方面，需重视。

第2章第2章导数与极限

内容提要

（-）极限

1.概念

（1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（£一5定义）

!吧/（"）=4。V£>0,3J>0（当0<山一。1<5时，有l/（x）—AI<£。

（2）单侧极限

左极限：/（。一°）=鸳一"=V£>0,36>0,当0<a-x<3时，有

\f（x）-A\<s

右极限：/（4+0）=鸳"*）_A=V£>0,SJ>0,当0<x-a<3时，有

"（X）-41<8

O

（3）自变量趋向于无穷大的函数极限

定义1：V£>0「X>0,当|x|>X,成立Y（X）T<£,则称常数A为函数/CO在x

lim/(x)=A

趋于无穷时的极限，记为18o

y=A为曲线y=/(x)的水平渐近线。

定义2：Ve>°，mx>°,当x〉X时，成立"(X)-A|<£,则有如"X)="。

定义3：>0,mX〉O,当x<-X时，成立则有如

运算法则：

1)1)若lim/(x)=4,limg(x)=oo,则lim[/(x)+g(x)]=oo。

2)2)若lim/(x)=4(H0,但可为8),limg(x)=oo,则lim/(x)・g(x)=oo。

(、lim—=0

3)3)若hm/(x)=8,则/(x)。

注：上述记号lim是指同一变化过程。

(4)无穷小的定义

V£>0,3^>0,当°<lx—al<5时，有l/(x)l<£,则称函数/*)在x-a时

lim/(x)=0

的无穷小(量)，即a

(5)无穷大的定义

VM>0,>0,当0〈Ix-〃l<b时,有"(x)l>M,则称函数/(X)在xfa时

lim/(x)=oo

的无穷大(量)，记为x-^a

直线X=a为曲线y=/(X)的垂直渐近线。

2.无穷小的性质

定理1有限多个无穷小的和仍是无穷小。

定理2有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。

推论1常数与无穷小的乘积是无穷小。

推论2有限个无穷小的乘积是无穷小。

无穷小与无穷大的关系

1

若曰"乃一00,且/(x)不取零值，则"X)是xr。时的无穷小。

3.极限存在的判别法

⑴1吧/⑴=Ao/(a_o)=/(Q+o)=A。

lim/(x)=Alim/(x)=limf(x)=A

(2)即,")一"o"x)=A+a,其中a是m时的无穷小。

夹逼准则：设在点。的某个去心邻域席①宿)内有且已知

(3)g(x)</(x)</z(x)；

limg(x)=AIim/i(x)=Alim/(x)=A

XT”和XTa,则必有XT”

4.极限的性质

lim/(x)=Alimf(x)=B

(1)极限的唯一性若X-且

⑵局部有界性若1叩，则封>°,在点a的某个去心邻域"伍》)内有

"(x)l<M。

(3)局部保号性

⑴若叫且A>°(或A<°),则必存在。的某个去心邻域~当

xeNgb)时,有y(x)>o(或/(幻<0)。

(H)若在点。的某个去心邻域*35)内有/UR°(或/(x)4°),且即

则42°(或AV°)。

5.极限的四则运算与复合运算

lim/(x)=A,limp(x)=5,

设,是常数，……则

hm[f(x)±g(x)]=A±B；

(1)…

lim"(x)・g(x)]=A•氏

(2)I”

lim[c-/(J:)]=c-A；

(3)…

=BRO；

(4)fg(尤)B

A

若limg(x)=%lim/(〃)=A,且Vx£U(a,b)(b〉0),有g(x)w〃()，

(5)x—>aM—>M0

limf[g(x)]=lim/(〃)=A

则XT"“T”0.

6.两个重要极限

「sinx1

lim------=1

⑴3。X；

lim(l+x)x=elim(l+—)A=e

(2)i。或―00xo

7.无穷小的阶的比较

若。和月都是在同一自变量变化中的无穷小量，且夕工0,则

l「im—a=0八

(1)若B，则称a关于,是高阶无穷小量，记作°=。(£)：

lim—=1

(2)若°，则称a和,是等价无穷小量，记作&~£；

lim—=c(cw0)

(3)若B，则称a和尸是同阶无穷小量，记作a=°(〃)；

a

一般情况下，若存在常数A>°,8>0,使成立P，就称。和〃是同阶

无穷小量。

(4)若以x作为x->°时的基本无穷小量，则当a=°(/)(女为某一正数)忖，称

a是左阶无穷小量。

定理］夕〜a=£=a+o(a)

「a'「a「a'

,lim—；lim—=lim—；

定理2设。~优，6~夕，且夕存在，则BB'。

常用的等价无穷小

x_>0nJ-x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln（l+x）~e*-1

1—COSX—x~

2。

（二）函数的连续性

1.定义

若函数>'=/（幻在点a的某个邻域内有定义，则/（X）在点a处连续o

lim/（x）-/（a）olimAy=0

XT"AI0。

2.连续函数的运算

连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数；

连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数；

一切初等函数在定义区间内都是连续函数。

3.间断点

（1）间断点的概念

不连续的点即为间断点。

（2）间断点的条件

若点/满足下述三个条件之一，则”。为间断点：

（a）/（X）在“。没有定义；

lim/（x）

（b）1“不存在；

门limf（x）lim/（x）^/（x0）

（c）八X）在。有定义，a*也存在，但2即。

（3）间断点的分类：

（i）第一类间断点：在间断点与处左右极限存在。它又可分为下述两类：

可去间断点：在间断点与处左右极限存在且相等；

跳跃间断点：在间断点与处左右极限存在但不相等；

（ii）第二类间断点：在间断点X。处的左右极限至少有一个不存在。

4.闭区间上连续函数的性质

（1）概念

若函数/（X）在区间（°力）上每一点都连续，在a点右连续，在匕点左连续，则称/（X）

在区间［a,。1上连续。

（2）几个定理

最值定理：如果函数/（X）在闭区间［凡们上连续，则/（X）在此区间上必有最大和最小值。

有界性定理：如果函数/（X）在闭区间［明们上连续，则/（X）在此区间上必有界。

介值定理：如果函数"外在闭区间［凡切上连续，则对介于f（a）和/（»之间的任一值J

必有Xia，们，使得八用=\

零点定理：设函数/（幻在闭区间1人们上连续，若则必有xw（a/）,

使得/（X）=o。

（三）导数

1.导数的概念

（1）定义设函数＞=/（*）在点。的某个邻域内有定义，当自变量在点。处取得改变量

位（工°）时，函数/（X）取得相应的改变量=+若极限

..Ay/（a+Ax）-/（iz）

lim—=lim-------------

°Ax心—。Ar

存在，则称此极限值为函数y=/a）在点。处的导数（或微商），记作

导数定义的等价形式有

广⑷=隔―/（"）

xraX-a

o

（2）左、右导数

f'（a）=lim"X）一-/（"）

左导数x*x—a

H（a）=lim"x）-/（a）

右导数一，x-a

广⑷存在。£（。）=单叽

2.导数的几何意义

函数y=〃x）在点a处的导数/（a）在儿何上表示曲线y=/（X）在点M（a,/（。））处

的切线的斜率，即k=/'（a）,从而曲线丁=/（幻在点“（a，/（a））处的

切线方程为y—/（"）=/'（a）（x—"）

y-f（a）=-——（x-a）

法线方程为了（幻

3.函数的可导性与连续性之间的关系

函数＞在点a处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是

函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。

因此，若函数/（X）点。处不连续，则/*）点。处必不可导。

4.求导法则与求导公式

（1）四则运算若〃、丫、卬均为可导函数，则

（〃±U）'=〃'土/（〃u）'=〃，+uvf

，，

（uvw\=u'vw+uv'w+uvw'（cu\=cu'（其中c/0为常数），

（勺（1）-4

VV,VV（V0）o

（2）复合函数求导

设y=/5）,〃=g（x）,且/（“）和g（x）都可导，则复合函数y=/[g（x）]的导数为

dy__dydu

dxdudx

（3）反函数的导数

若x=e（y）是y=/a）的反函数，则.d（y）0

（4）隐函数的导数

由一个方程尸“，田=°所确定的隐函数＞=/a）的求导法,就是先将方程两边分别对

dy

x求导，再求出口即可。

（5）对数求导法

先对函数求对数，再利用隐函数求导的方法。

对数求导法适用于鼎指函数、连乘除函数。

（6）参数方程的导数

x=夕⑺

若参数方程U=〃⑺确定了一个函数y=/a）,且夕、〃均可导，则有

dy

dr7(0

（7）基本初等函数的导数公式

(c)'=0(x")'="T

(sinx)f=cosx(cosx)'=

(tanx)'=sec2x(cotx)r=-CSCX

(secx)'=secxtanx(cscx)’=-cscxcotx

=优In。(a>0(ex)f=ex

(lnx)z=—

aw1)

(arcsinx)r=(arccosx),

71-x\ll-x

-1

(arctanx)r=(arccotx)'=

5.高阶导数

（1）高阶导数的概念：

函数/（X）的..阶导数尸（无）的导数称为/（X）的二阶导数，/（X）的二阶导数的导数称

为了（X）的三阶导数，……,/（X）的1阶导数的导数称为/（X）的〃阶导数，分别记为

d2yd3yd4y

34

WHy，……4,或必2drdxdx"o二阶及二阶以上的导数称为

高阶导数。

（2）常用的〃阶导数公式

（x"严=加(1严=e

(sinx)(,,)(cosx)'=cos(x+——)

1)!

[ln(l+x)]*n)㈠尸。

(1+x)"

（3）莱布尼茨公式

设M(X)和v(x)都是n次可微函数,则有

(哂(")=£/…山)

4=ol的

复习指导

重点：求函数的极限、连续、导数。

难点：讨论分段函数在分段点处的极限存在、连续性、可导性。

1.求极限的方法：

(1)利用定义语言)证明。

(2)利用极限的四则运算法则和复合函数求极限的方法求初等函数的极限。

rz、limf(x)=f(x)

(3)初等函数八九)在定义区间上求极限：1"0o

X2-2X+302-2X0+3Q

lRim----------=-------------=3

例：XT。X+10+1o

(4)分解因式，约去使分母极限为零的公因式。

..%2~4x—3..(x—l)(x—3)x—3

lim----；------=lim-------------=lim-----=-1

例.x-1n(工一l)(x+l)Ix+1

(5)利用两个重要极限，此时需注意自变量的变化趋势。

sin2x「sin2x_

lim-----=lim-------2=2

例：7X32x

府(2彳)4

「sin2x

lim-----

x—»—丸人X.71

4

但4

(6)利用等价无穷小替换(条件：在乘积的条件下)。

..tan3x[.3x.

lim--------=lim—=3

例：ioln(l+x)iox

(7)利用无穷大和无穷小的互为倒数关系。

Jx+2

lim

例：求XT2x—2

..x—2八Jx+2

hm一.•=0lim-----

因为T4X+2,所以12x-2

limw(x)=1limv(x)=oo

(8)事指函数求极限：若,IX。则

,、limv(x)[u(x)-\]

lim〃(x严=e『

*7夙。

(9)利用左右极限求分段函数在分段点处的极限。

2.无穷小：

(1)理解无穷小是自变量在趋向于某点时函数极限趋向于零的过程，它与自变量的变化

趋势密切相关。

(2)半握利用求两个无穷小的商的极限比较它们的阶的方法。

(3)注意在求极限时，如果两个无穷小做加减法，则不能做等价无穷小的替换。

3.连续性的判断：

重点是分段函数在分段点处连续性的判断，此时需利用左右连续的概念进行判断。

4.间断点

（1）掌握间断点的分类规则，以及如何求解函数的间断点并对其分类。对于初等函数，首

先找出无定义的点，然后通过计算它的左右极限得出其类型。对于分段函数，还要讨论它的

分段点。

（2）注意对于可去间断点，可以通过重新定义该点的函数值使得函数在该点连续。

5.闭区间连续函数的性质

掌握利用闭区间上连续函数性质来证明某个函数在闭区间上满足一些特殊性质的方法。

例如要证明某个函数在一个闭区间上可以取到个特定数值时,通常的方法是在这个闭区间

内找两个函数值（一般是计算区间两个端点的函数值或者假设出函数在该区间上的最大和最

小值），使得它们一大一小，恰好分布在这个特殊值的两边，而后利用介值定理得出结论。

当要证明方程/（幻=°在某个区间内有根时，可以在此区间内找两个点，使得，（无）在这两

点的函数值-正一负，从而利用零点定理得出结论。

5.可导、连续和极限三个概念的关系：

八处在点/可导=>/*）在点/连续n/（X）在点与有极限；

但上述关系反之均不成立。

6.可导的判断：

（1）若函数在某一点不连续，则必不可导。

（2）分段函数在分段点处是否可导的判断，需利用左右导数的概念进行判断。

7.求导数的方法：

（1）利用导数的定义求导数。

（2）利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求初等函数的导数。

（3）利用复合函数求导的链式法则。

（4）利用隐函数求导法则。此时需注意若在方程中出现了的函数项，则在对自变量x求导

时，对这一项需利用复合函数求导的法则。

dy

例：设/+y_2x=0,求心。

解：方程两边同时对工求导，有

d0)dy।dyd(2x)2

dydxdrdx,所以)-e>'+1。

（5）利用反函数求导法则。

（6）利用参数方程求导法则。此时需注意得到的）'对》的导数实际上仍然由一个参数方程

所确定。

（7）利用对数求导法则。它主要在如下两种情况中应用：

（i）幕指函数求导；

（ii）需求导的函数由许多因式利用乘除法结合得到。

（8）分段函数在分段点处需利用左右导数求导。

第3章微分学的基本定理

内容提要

(一)微分

1.概念

微分的定义：设函数>=/(")在点/处可微，给定自变量％的增量从=、一%,称对应

的函数增量修'"0)=/(X)―/(X。)的线性主部广(/)—为函数/(X)在点X。处的微分，

记作可(/)或Si。

2.常用的微分公式

d(c)=O(C为常数)d(xz)=3一dx

dsinx=cosxdrdcosx=-sinxdx:

dtanx=sec2xdxdcotx=-esc2xdx

dsecx=secxtanxdrdcscx=-cscxcotxdx

dax=ax\nadx(〃>0,。w1)de'=e'dr

d「log”x=----1--d」rdInIx1=—dx

x\na(a>0f。。1)x

auarcsinx=/1d.rd।arccosx=/-1a।r

i」」-i」

dJarctanxdrdarccotx=-------dr

1+x21+x2

3.微分运算法则

(1)四则运算

d[k]u(x)+k2v(x)]=k]du(x)+k2dv(x).

d[w(x)v(x)]=v(x)dw(x)+w(x)dv(x).

d〃(x)_v(x)dw(x)-w(x)dv(x)

V(x)V2(x)

o

(2)复合函数微分

若>=/(〃)，〃=g(x),则dy=/'(“)g'(x)dx。

4.微分形式的不爰性

若y=/(〃)，"=g(x),则有dy=/'(")g'(x)dx=/'(")d"。

5.微分在近似计算中的应用

当1Axi很小时，有:AX》=/5)>,

f(x+Ax)«/(x)+/'(Xo)Ax

00o

(-)微分中值定理

i.罗尔定理：设函数y=/a)在闭区间[也们上连续，在开区间(“力)上可导，且

/(“)=/(”),则必存在H"力),使得/⑹=0。

2.拉格朗日中值定理：设函数y="幻在闭区间上连续，在开区间(外”)上可导,

/⑸")一/(。)

则必存在Je(a，〃)，使得成立b-a。

推论1设函数)'=/(")在闭区间［“回上连续，开区间内可导，若对任意

有/卜)二°则“X)在，上恒为常数。

推论2若在(”力)内恒有/(x)=g'(x)，则存在常数c,使导/(x)=g(x)+C,xe(a,b)

3.柯西中值定理：设函敢/(X)和g(x)均在闭区间［。，们上连续，在开区间(。为)上可导，

且它们的导数不同时为零，又gS)-g(a)H°,则必存在Je(a,b),使得成立

广⑹/(b)-/⑷

g'C)g(b)-g(a)。

4.有限增量公式

若函数＞=/(*)在力］上连续，在(“”)上可导，则

/(b)=/(。)+/'4)("a)—a,b)

，o

或

其中△y=/(6)_/(a),Ax=b-a。

7三)洛必达法则

0

1.6型的洛必达法则：

若/(X)和g(x)满足

lim/(x)=limg(x)=0

(1)Xf与XT%.

(2)/(x)和g(x)在N(A)，5)内可导，且g〈x)H0；

lim"^存在(或为8)lim4^=limg^

(3)一厢g(x),则,fog(x)x»og(x)。

(把“。改为8等，法则仍然成立)。

00

2.8型的洛必达法则：

若/(X)和g(x)满足

lim/(x)=oo,limg(x)=oo

(J)XT%.

⑵/(x)和g(x)在N(£o⑹内可导，且g'(x)HO；

lim于H存在(或为oo)limg^=lim4^

(3),则xT&gQ)。

(把与改为00等，法则仍然成立)。

(,

3.其他待定型：°，8,oo-ao,r,0(co°o

(四)泰勒公式

1.泰勒多项式：

若＞在点a处有〃阶导数，则称多项式

。。)=/⑷+牛(x-a)+务(厂4+…+勺0”

I9In!

为函数/（X）在X=a处的〃阶泰勒多项式。

2.几个定理：

定理1设函数/和它的直到〃阶（包括〃阶）的导数在闭区间［外们上连续，而且/（X）在

开区间（“泊）内有（〃+1）阶导数，则成立

'SEW…〜片部"―

定理2若/（幻在包含X。在内的某一区间有直到（〃+1）阶导数，则对此区间内的任7都

成立

小)=1;普(…。|就(…。严

k=oK•S十"•

r（«+l）/ex

R“（x）J——早（x-q严

其中自介于X和x°之间。并称（〃+1"为泰勒公式的拉格朗日型余项。

定理3若/“）在点a有连续的n阶导数，则可以将其展开为

/（x）=2——-^（x-d）k+o［（x-a）”］

A=Ok!

称上式为函数/（X）在*=。处的带佩亚诺余项的n阶泰勒公式。

3.常用的泰勒公式：

x3x52/71—1

sinx=x----H-------+o(x2m)

3!5!(2m-1)

丫242m

cosx=l--+-・…一+(-l)w——+o(x2m+l)

2!4!(2m)!

ln(l+x)=x——+——……+(—1)2—+0。〃)

23n

n

/=1+1+二尸+……+x—+o(xn)

2!n\

“、加1m(m-1)机(加-1)・・・(团一〃+1)〃/八

(14-x)=1+wx+-------%2+.....+------------------x+(?(%)

2!〃！

复习指导

重点：微分计算，中值定理的应用，利用洛必达法则求极限，泰勒公式。

难点：中值定理的应用。

1.中值定理的应用

(1)注意中值定理的条件只是充分条件，不是必要条件。

(2)中值定理的这些条件缺一不可。

(3)中值定理经常运用在等式和不等式的证明中。例如在证明时，可以构造

一个辅助函数歹。)，将等式转化为/'(*)=°的形式，而后验证尸(X)在某个闭区间上满足

中值定理的条件，从而得出结论。在证明一个不等式时.，可以考虑将其和一个函数及此函数

在某个闭区间的两个端点上的函数值联系起来，从而可以利用拉格朗日中值定理得出结论。

2.泰勒公式

(1)使用泰勒公式时.，一定要注意两种余项(拉格朗日余项与皮亚诺余项)使用的前提条

件不同。

(2)常利用带皮亚诺型余项的泰勒公式计算极限。

(3)证明命题时，经常利用带拉格朗日型余项的泰勒公式。

3.洛必达法则

洛必达法则是解决待定型极限问题时的一种简便而有效的方法，但使用时注意以下几点:

(1)每次使用前必须判断是否属于七种待定型：

—,—,O-oo,00-00,00,000,V

000。

盲目使用将导致错误。

续inn44

(2)洛必达法则的条件是充分的而非必要的，遇到g(X)不存在时，不能断定g(M

不存在。

x+sinx(,sinx、,

hm-------=lim1+----=1

例：Xf8XTxJ,

x+sinx1+cosx

hm-------丰lim-------

但%—01不存在。

(3)有些极限问题虽然满足洛必达法则的条件，但用此法无法求出极限

x

lim

例：…

但事实上

(4)洛必达法则对待定型°,8的极限有特效，但并不是万能的，有时也并非为最佳的解

题方法。

.x

sinx-xcos—

V3

rlim-----；-------

入TO—工

例：xe6-sinx用泰勒公式展开较简便。

Hmarctan(sin3尤)-arctan(3sinx)

例：1°v4+sin3x-j4+3sinx用微分中值定理较简便。

第4章导数的应用

内容提要

本章以导数和微分学的一些基本结论为工具，讨论了函数性态的研究，最值计算，相关

变化率，平面曲线曲率，导数在经济学中的应用等五个问题，其主要内容和结论可归为以下

几个方面。

（-）函数性态的研究

1.函数的单调性

设函数在闭区间［则上连续,开区间（"⑼可导，若在（"⑼上有r（x）＞°

（或r（x）＜°）,则,a）在［凡可上严格单调增加（或严格单减）。

注意：保证"X）严格单调增加的条件/（力＞°可以放宽为/（x）'O,且使

/"）=°的点不形成区间，对严格单调减的情形，条件/（“）＜°可放宽为‘且

使的点不形成区间。

2.函数的局部极值

A

（1）极值点的定义：若函数＞=/（*）在点X。的某邻域N（x。）有定义，且对一切xeN（Xo）

成立/（尤）＜/（%）（或/（元）＞/（Xo））,则称/（x）在/取得严格］极大值（或极小值），

称X。为了（X）的严格］极大点（或极小点）。若将或“＞"）用”《”或“2”）代替，

则称为非严格意义下的极值。

（2）极值点的必要条件：函数/（X）的极值点必定是它的驻点或不可微点。

（3）判别极值得充分条件

A

一阶充分条件：设/（X）在/处连续，并且在X。的某b去心邻域N（x。）内可导，则有以下

结论成立：

⑴X€（X。—3，入0）时，/（X）＞°；当X€（%0，入0+b）时，/（X）＜°,则/（X）在

处取得极大值。

（ii）若当xe（x。一&X。）时，/（x）＜0；当xe（x°,x°+b）时，/（力＞0,则在

“。处取得极小值。

（iii）若在毛的两旁，/（“）不变号，则人力在/处不取得极值。

二阶充分条件：设"x）在点七的某邻域内可导，,（与）=°,/“（/）存在，则有以下结

论成立：若/“卜°）（°,则玉＞是函数的极大值点。若/“（/）＞°,则%是函数的极小值点。

若/“（/）=。,则对X。无明确结论。

3.3.函数的凹凸性和拐点

（1）函数的凹凸性的定义

如果在可上，曲线始终位于区间内任意一点处切线的上方（或下方），则称

该曲线在上是凸