新高考数学二轮复习专题1-1 基本不等式归类（解析版）

专题1-1基本不等式归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01公式基础 1题型02基础模型：倒数型 3题型03常数代换型 6.题型04积与和型 8题型05积与和互化解不等式型 9题型06构造分母和定型 10题型07凑配系数构造分母和定型 12题型08换元构造分母和定型 14题型09分子与分母互消型 16题型10“1”代换综合型 18题型11分子消去型 20题型12消元型 21题型13齐次化构造型 23题型14三角换元构造型 25题型15因式分解双换元型 27题型16配方型 28高考练场 30题型01公式基础【解题攻略】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.【典例1-1】（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】C【分析】应用特殊值法，即可判断A、B、D的正误，作差法有SKIPIF1<0，即可确定C的正误.【详解】A：当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，故不等式不一定成立，故A错误；B：当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，故不等式不一定成立，故B错误；C：SKIPIF1<0恒成立，故C正确；D：当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，故不等式不一定成立，故D错误；故选：C【典例1-2】（2021秋·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<02【答案】D【分析】当SKIPIF1<0时，可判断A；当SKIPIF1<0时，可判断B；当SKIPIF1<0时，可判断C；利用均值不等式，可判断D.【详解】选项A：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，不成立，故A错误；选项B：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不成立，故B错误；选项C：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，不成立，故C错误；选项D：由SKIPIF1<0有意义，故SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0由均值不等式，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立故D正确故选：D【变式1-1】（2021·高三阶段测试）下列说法不正确的是（

）A．x＋SKIPIF1<0(x>0)的最小值是2 B．SKIPIF1<0的最小值是2C．SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0 D．若x>0，则2－3x－SKIPIF1<0的最大值是2－4SKIPIF1<0【答案】B【解析】由二次根式的性质及基本不等式成立的条件逐项判断即可得解.【详解】对于A，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故A正确；对于B，SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，所以等号不成立，所以SKIPIF1<0，故B错误；对于C，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，等号成立，故C正确；对于D，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故D正确.故选：B.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若x＞0，y＞0，则SKIPIF1<0C．若x＜0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0D．若x＜0，则SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用基本不等式成立的条件及特值法，逐一判断即可．【详解】∵SKIPIF1<0可能为负数，如SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴A错误；∵SKIPIF1<0可能为负数，如SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴B错误；∵SKIPIF1<0，如SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴C错误；∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0等号成立，∴D正确．故选：D．【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是SKIPIF1<0的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据基本不等式，对选项中依次进行求解判断，特别要注意基本不等式成立的条件“一正、二定、三相等”.【详解】对于选项A，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即最小值不是SKIPIF1<0，故选项A不符合题意；对于选项B，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，即最小值是2，故选项B不符合题意；对于选项C，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，当SKIPIF1<0时，最小值为SKIPIF1<0，故选项C不符合题意；对于选项D，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，即最小值是SKIPIF1<0，故选项D符合题意；故选：D..题型02基础模型：倒数型【解题攻略】倒数型：SKIPIF1<0，或者SKIPIF1<0容易出问题的地方，在于能否“取等”,如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先求得SKIPIF1<0及SKIPIF1<0的取值范围，再把SKIPIF1<0转化为关于SKIPIF1<0的代数式SKIPIF1<0，利用函数SKIPIF1<0的单调性去求SKIPIF1<0的取值范围即可解决【详解】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递增，在SKIPIF1<0单调递减SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故选：C【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】将原式分离常数，然后利用正弦定理进行边角互化，化简为对勾函数，利用不等式求最值即可.【详解】解：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.故选：B.【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0，根据基本不等式得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，构造对勾函数，然后利用对勾函数的单调性判断最值.【详解】因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，根据对勾函数的单调性可知，当SKIPIF1<0时，函数取得最小值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，函数取得最大值SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】先化简函数为SKIPIF1<0，再进行换元SKIPIF1<0，结合t的范围，根据对勾函数的单调性求SKIPIF1<0的最小值即得结果.【详解】因为SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，验证可知利用基本不等式求最值时等号不成立.故根据对勾函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，所以SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：C.【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若SKIPIF1<0(x,SKIPIF1<0)最大值记为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的最小值为A．0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,由对勾函数可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,则SKIPIF1<0,讨论SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系,进而求解即可【详解】设SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,由对勾函数的性质可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0(x,SKIPIF1<0)最大值记为SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0故选:D.题型03常数代换型【解题攻略】利用常数SKIPIF1<0代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换条件和结论有“分子分母”特征；（2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件结构形式：（1）SKIPIF1<0求SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0求SKIPIF1<0【典例1-1】（2023·江西·校联考一模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正实数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最小值为.【答案】SKIPIF1<0【分析】由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正实数，且SKIPIF1<0，所以先结合基本不等式“1”的代换求SKIPIF1<0的最小值，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，再根据基本不等式凑项法求SKIPIF1<0的最小值，即可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】解：SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是正实数，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0时等号成立，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，则SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例1-2】（2019上·山东潍坊·寿光现代中学校考阶段练习）已知正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．10 B．11 C．13 D．21【答案】B【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【详解】解：正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0的最小值为11.故选：B.【变式1-1】（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0后与SKIPIF1<0相乘，化简后再利用基本不等式求解.【详解】由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以得：SKIPIF1<0，所以：SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时取等号.故最小值为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1-2】（2023下·湖南株洲·统考）设正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】由题知SKIPIF1<0，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.【详解】因为正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【变式1-3】（2023上·上海松江·高三校考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取得最小值时SKIPIF1<0的值是.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】变换SKIPIF1<0，展开利用均值不等式计算得到答案.【详解】SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立.故答案为：SKIPIF1<0题型04积与和型【解题攻略】积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。形如SKIPIF1<0，可以通过同除ab，化为SKIPIF1<0构造“1”的代换求解【典例1-1】（2021·全国·高三测试）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0（

）A．16 B．6 C．18 D．12【答案】B【分析】根据已知条件可得SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0展开利用基本不等式即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等号，所以当SKIPIF1<0取得最小值时，SKIPIF1<0故选：B.【典例1-2】（2021·湖南岳阳·高三联考）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由已知条件变形可得SKIPIF1<0，将代数式SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相乘，展开后利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故选：C.【变式1-1】（2020·重庆市暨华中学校高三阶段）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】将已知等式变形为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相乘，展开后利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，因此，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：C.【变式1-2】（2021·山东威海·高三校考）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．18 B．15 C．20 D．13【答案】A【分析】变形条件为SKIPIF1<0，利用“1”的技巧变形待求式，运用均值不等式即可求解.【详解】由题意可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选：A【变式1-3】（2022·全国·高三一专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．2 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】根据题意，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时等号成立，∴SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故选：D．题型05积与和互化解不等式型【解题攻略】积与和型，如果满足有和有积有常数，则可以转化为解不等式型。形形如SKIPIF1<0求SKIPIF1<0型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：SKIPIF1<0【典例1-1】（2022秋·云南·校联考阶段练习）已知正数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用基本不等式可得出关于SKIPIF1<0的不等式，即可解得SKIPIF1<0的最大值.【详解】由题意得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.因此，SKIPIF1<0的最大值为为SKIPIF1<0.故选：C.【典例1-2】（2023春·贵州·高三校联考阶段练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．1 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】D【分析】先化简把SKIPIF1<0单独放在一侧,再应用重要不等式把未知数都转化为SKIPIF1<0,计算求解即可.【详解】SKIPIF1<0可变形为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最大值4.故选:D．【变式1-1】（2022秋·广东深圳·高三深圳外国语学校校考期末）已知曲线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用SKIPIF1<0，可求SKIPIF1<0的最大值．【详解】SKIPIF1<0曲线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故选：SKIPIF1<0．【变式1-2】（2021·重庆市实验中学高一阶段练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则ab的最小值是（

）A．4 B．9 C．16 D．25【答案】D【分析】利用均值不等式，把方程转化为不等式，解之即可.【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.故选：D【变式1-3】（2021·安徽·霍邱县第一中学高一阶段练习）若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】化简整理式子可得SKIPIF1<0，再利用基本不等式即可求解.【详解】由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由基本不等式可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：D题型06构造分母和定型【解题攻略】对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求SKIPIF1<0型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。【典例1-1】（2022上·福建福州·高三福建省福州第一中学校考）若三个正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意SKIPIF1<0为正数，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立.故答案为：SKIPIF1<0【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】C【分析】由题意可得SKIPIF1<0，再由基本不等式求解即可求出答案.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等.故选：C.【变式1-1】（2022秋·安徽芜湖·高三校考阶段练习）已知实数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【分析】根据题意，将所求式子进行整理变形，再利用基本不等式即可求解.【详解】SKIPIF1<0，等式SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时取等号.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最小值为1.故选：SKIPIF1<0.【变式1-2】（2023·浙江·统考模拟预测）已知正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.【详解】由题可得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，取得等号，故选:C.【变式1-3】（2022上·山东·高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0，结合基本不等式求解即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为正实数，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.题型07凑配系数构造分母和定型【解题攻略】对于分数型求最值，如果复合pa+qb=t，求SKIPIF1<0型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=h，再利用“1”的代换来求解。其中结合所给与所求a、b的系数，可以任意调换，来进行变换凑配。【典例1-1】（2023·全国·高三题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】12【分析】SKIPIF1<0，展开后利用基本不等式可求．【详解】∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时取等号，故SKIPIF1<0的最小值为12．故答案为：12．【典例1-2】（2023秋·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的范围是．【答案】SKIPIF1<0【分析】依题意得SKIPIF1<0，利用基本不等式“1”的代换求出SKIPIF1<0的最小值，即可得解.【详解】因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的范围是．【答案】SKIPIF1<0【分析】依题意可得SKIPIF1<0，利用乘“1”法及基本不等式求出SKIPIF1<0的最小值，即可得解.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，等号成立，SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）若三个正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】依题意SKIPIF1<0为正数，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立.故答案为：SKIPIF1<0【变式1-3】（2021·三课时练习）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【分析】首先利用“1”的等价变形，SKIPIF1<0，再利用基本不等式求最小值.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0是等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0题型08换元构造分母和定型【解题攻略】换元型构造分母和定型：形如SKIPIF1<0型，则可以通过换元分母，再利用“1”的代换来求解。【典例1-1】（2023·吉林·长春十一高校联考模拟预测）已知正实数x，y满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的小值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用待定系数法可得出SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0相乘，展开后利用基本不等式可求得SKIPIF1<0的最小值.【详解】设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0等号成立，则SKIPIF1<0的小值为SKIPIF1<0.故答案为：9.【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【分析】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将已知条件简化为SKIPIF1<0；将SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．【详解】解：令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取“SKIPIF1<0”，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是.【答案】SKIPIF1<0【分析】将SKIPIF1<0用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0表示，凑配常数1，使用“1”的代换与基本不等式求解.【详解】设SKIPIF1<0，由对应系数相等得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.经验证当SKIPIF1<0时，等号可取到.故答案为：SKIPIF1<0【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【分析】换元SKIPIF1<0后可得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0及“1”的技巧化简，利用均值不等式求解.【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，解得SKIPIF1<0时等号成立，故SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题型09分子与分母互消型【解题攻略】满足SKIPIF1<0一般情况下可以通过“万能K法”转化求解设K法的三个步骤：⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值【典例1-1】（2021秋·高三单元测试）已知正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是.【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，计算SKIPIF1<0利用基本不等式可得最小值，即可得SKIPIF1<0的最小值，解不等式可得SKIPIF1<0的最小值，即SKIPIF1<0的最小值.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时等号成立，由SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知正数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值是.【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同时根据SKIPIF1<0均为正数确定SKIPIF1<0的取值范围，利用基本不等式可求得SKIPIF1<0，解不等式可求得结果.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为正数，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；则SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：9【变式1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0为正数，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】等式化为SKIPIF1<0，两边平方，令SKIPIF1<0，由基本不等式可得SKIPIF1<0，即可求出.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为8.故答案为：SKIPIF1<0．【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】A【分析】设SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0变形整理，用含k的式子表示，这样会出现互为倒数的形式，再利用基本不等式即可求解.【详解】解：设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取“=”.∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）,即当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值8，故选：A.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．2 D．9【答案】D【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时等号成立，所以当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0有最大值为9.故选:D.题型10“1”代换综合型【典例1-1】（2022上·辽宁大连·大连二十四中校考）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值等于.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，等号成立，故SKIPIF1<0的最小值等于SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.【典例1-2】（2021上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考）若实数SKIPIF