新高考数学二轮复习专题2.4 函数的图象与函数的零点问题【八大题型】（举一反三）（原卷版）

专题2.4函数的图象与函数的零点问题【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1函数图象的画法与图象变换】 2【题型2函数图象的识别】 3【题型3函数图象的应用】 5【题型4函数零点所在区间的判断】 6【题型5求函数的零点或零点个数】 7【题型6根据函数零点的分布求参数】 7【题型7根据函数零点个数求参数范围】 8【题型8函数零点的大小与范围问题】 91、函数的图象与函数的零点问题函数图象问题主要以考查图象识别为重点和热点，也可能考查利用函数图象解函数不等式等，一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大.函数的零点问题是高考常考的热点内容，从近几年的高考形势来看，一般以选择题与填空题的形式出现，有时候也会结合导数在解答题中考查，此时难度偏大.【知识点1函数的图象问题】1.作函数图象的一般方法(1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.2.函数图象识别的解题思路(1)抓住函数的性质，定性分析：①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；③从周期性，判断图象的循环往复；④从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(2)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.【知识点2函数的零点问题】1.函数零点个数的判断方法函数零点个数的判定有下列几种方法：(1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.(3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.(4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.2.已知函数零点求参数的方法(1)已知函数的零点求参数的一般方法①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围；③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.(2)已知函数零点个数求参数范围的方法已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.【题型1函数图象的画法与图象变换】【例1】（2023上·北京·高三校考阶段练习）要得到函数y=xx−1的图象，只需将函数y=1x的图象（

）A．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度B．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度【变式1-1】（2023上·甘肃武威·高一统考开学考试）将函数y=−x2A．

B．

C．

D．

【变式1-2】（2023上·陕西汉中·高一校考期中）已知函数fx(1)求f(6)，f(−1)的值；(2)利用描点法直接在所给坐标系中作出y=fx【变式1-3】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）作出下列函数的标准图象：(1)y=2x−1(2)y=x【题型2函数图象的识别】【例2】（2022·天津南开·统考一模）函数y=x2−1A． B．C． D．【变式2-1】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数y=fx的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（

A．x2fx B．fx【变式2-2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）函数y=x3−xA． B．C． D．【变式2-3】（2020上·广东·高三校联考阶段练习）函数fx=x2sinA．

B．

C．

D．

【题型3函数图象的应用】【例3】（2023·河南郑州·统考二模）若函数fx=2axA．−13 B．−23【变式3-1】（2023·江苏·高一假期作业）如图为函数y=fx和y=gx的图象，则不等式

A．−∞,−1C．−1,0∪1,+【变式3-2】（2023上·浙江·高一校联考期末）函数y=ax−bx−c的图像如图所示，可以判断a，b，cA．a<0，b>0，c=0 B．a>0，b>0，c=0C．a<0，b=0，c>0 D．a<0，b=0，c=0【变式3-3】（2023·陕西西安·统考三模）定义域和值域均为−a,a(常数a>0)的函数y=fx和y=gx的图象如图所示，则方程fgA．1 B．2 C．3 D．4【题型4函数零点所在区间的判断】【例4】（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知函数fx=3x+x−6有一个零点x=A．12,1 B．1,32【变式4-1】（2023·海南·模拟预测）函数f(x)=A．(1,e) B．e,e2 C．e【变式4-2】（2023·浙江宁波·统考一模）已知函数f(x)=2x+log2A．a>b>c B．b>a>cC．c>a>b D．b>c>a【变式4-3】（2023·北京·统考模拟预测）已知函数fx=x2−5,x≤−2xlg(x+2),x>−2，若方程A．−3 B．−2 C．1 D．2【题型5求函数的零点或零点个数】【例5】（2023·陕西西安·西安校考模拟预测）函数fx=1−lgA．log38 B．2 C．log【变式5-1】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f(x)=5x−5(x≤1)x2−4x+3(x>1)，则函数A．1 B．2 C．3 D．4【变式5-2】（2023·山东·山东省五莲县第一中学校联考模拟预测）已知函数fx是定义在R上的奇函数，对任意x∈R，都有fx+2+f2−x=0，当x∈0,2时，fA．10 B．15 C．20 D．21【变式5-3】（2023·四川成都·模拟预测）已知定义在R上的奇函数y=f(x)，对于∀x∈R都有f(1+x)=f(1−x)，当−1≤x<0时，f(x)=log2(−x)，则函数g(x)=f(x)−2在A．16 B．12 C．10 D．8【题型6根据函数零点的分布求参数】【例6】（2023上·山东青岛·高一校考阶段练习）已知函数fx=ax2−4x−1a≠0在区间A．−3,0∪0,5C．−4∪−3,0【变式6-1】（2023·高一课时练习）已知函数f(x)=3ax−1−2a在区间−1,1上存在零点，则实数a的取值范围是A．(−∞,−1)∪B．1C．−∞,−D．−∞,−【变式6-2】（2023·云南·统考二模）设x1,x2是关于x的方程x2+a−1A．−43,−1 B．−【变式6-3】（2022·高一课时练习）已知函数f(x)=mx2−3x+1的零点至少有一个大于0，则实数mA．(−∞,2)C．(−∞,【题型7根据函数零点个数求参数范围】【例7】（2023上·贵州遵义·高三统考阶段练习）已知函数fx=3x−1,x<1logA．0,2 B．−2,0C．0,1 D．−1,0【变式7-1】（2023上·四川凉山·高一校联考期末）设函数f(x)=3x−2,x≤27x−1,x>2A．32,73 B．2,【变式7-2】（2023上·山东滨州·高一校考竞赛）已知函数fx(1)求f4(2)若关于x的方程f2x−2tf【变式7-3】（2023上·陕西西安·高二校考阶段练习）已知a>0且a≠1，函数fx(1)若a=e且x∈1e(2)若函数fx有两个零点，求实数a【题型8函数零点的大小与范围问题】【例8】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知函数fx=minxx−2a,x2−6ax+8a2+4（a>1），其中minp,q=p,p≤qq,p>q，若方程A．不能确定 B．x1+x2【变式8-1】（2023·江苏·高一专题练习）已知函数fx=x−5,x>0x2+2x−2,x≤0，若存在f(x1)=f(A．(−1,1) B．(−1,1] C．(0,1] D．[0,1]【变式8-2】（2023·广西·模拟预测）已知函数fx=2ln(1)求m的取值范围；(2)记三个零点为x1,x2,【变式8-3】（2023下·湖南·高二校联考期末）已知函数f(x)=ax3+bx2(1)讨论f(x)的单调性；(2)若x∈[0,3]，函数F(x)=f(x)−xe−x有三个零点x1，x2，x31．（2018·浙江·高考真题）函数y=2|x|sin2xA． B．C． D．2．（2021·天津·统考高考真题）设a∈R，函数f(x)=cos(2πx−2πa).x<ax2−2(a+1)x+a2+5,A．2,94C．2,943．（2023·天津·统考高考真题）若函数fx=ax2−2x−4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=cosωx−1(ω>0)在区间0,2π5．（2022·天津·统考高考真题）设a∈R，对任意实数x，记fx=minx−2,x26．（2021·北京·统考高考真题）已知函