新高考数学二轮复习重难点04 指、对、幂数比较大小问题【七大题型】（举一反三）（解析版）

重难点04指、对、幂数比较大小问题【七大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用单调性比较大小】 2【题型2中间值法比较大小】 4【题型3作差法、作商法比较大小】 5【题型4构造函数法比较大小】 7【题型5数形结合比较大小】 8【题型6含变量问题比较大小】 12【题型7放缩法比较大小】 14从近几年的高考情况来看，指、对、幂数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，是高考的热点问题，主要以选择题的形式考查，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序比较大小.这类问题的主要解法是利用函数的性质与图象来求解，解题时要学会灵活的构造函数.【知识点1指、对、幂数比较大小的一般方法】1.单调性法：当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较，具体情况如下：①底数相同，指数不同时，如SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，利用指数函数SKIPIF1<0的单调性；②指数相同，底数不同时，如SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，利用幂函数SKIPIF1<0单调性比较大小；③底数相同，真数不同时，如SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，利用指数函数SKIPIF1<0单调性比较大小.2.中间值法：当底数、指数、真数都不同时，要比较多个数的大小，就需要寻找中间变量0、1或者其它能判断大小关系的中间量，然后再各部分内再利用函数的性质比较大小，借助中间量进行大小关系的判定．3.作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法.4.估算法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值，借助中间值比较大小.5.构造函数法：构造函数，观察总结“同构”规律，很多时候三个数比较大小，可能某一个数会被可以的隐藏了“同构”规律，所以可能优先从结构最接近的的两个数来寻找规律，灵活的构造函数来比较大小.6、放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩.【题型1利用单调性比较大小】【例1】（2023·陕西商洛·统考一模）已知a=0.91.1,b=log1213,c=log132，则（A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．b>a>c【解题思路】根据指数函数的单调性判断a的范围，根据对数的运算性质以及对数函数性质判断b,c的范围，即可得答案.【解答过程】因为y=0.9x为R上的单调减函数，y=log故0<0.9所以b>a>c,故选:D.【变式1-1】（2023·四川南充·模拟预测）已知a=252A．a<b<c B．b<a<c C．c<b<a D．c<a<b【解题思路】由y=x25在0,+∞上递增比较a，b，再由y=log【解答过程】因为y=x25在0,+所以2525又y=log25所以c=log所以c<a<b.故选：D.【变式1-2】（2023·广东广州·统考二模）已知a=323，b=23A．c<a<b B．b<c<aC．b<a<c D．c<b<a【解题思路】根据指数函数，幂函数的性质即可判断b<a，c<a，再对b，c进行取对数，结合对数函数的性质即可判断c<b，进而即可得到答案．【解答过程】由a=323=9则b=814又log2b=log则log2c<log所以c<b<a．故选：D．【变式1-3】（2023·河南·校联考模拟预测）已知a=lnπ,b=log3π,c=A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a【解题思路】利用对数函数和指数函数，幂函数的性质求解.【解答过程】∵e<3<π，∴a=log∵a=ln下面比较π2与 2π的大小，构造函数y=由指数函数y=2x与幂函数

当x∈(0,2)时，x2<2x由x=π∈(0,2)，故π2 <所以b<a<c，故选：A.【题型2中间值法比较大小】【例2】（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知a=6log23.4，b=6A．a>b>c B．b>a>c C．a>c>b D．c>a>b【解题思路】利用对数函数的单调性、中间值法以及指数函数的单调性可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】因为log23.4>log又因为log2所以，log2所以，6log23.4故选：C.【变式2-1】（2023上·天津河东·高三校考阶段练习）已知a=2−log23，b=2−log3A．c<a<b B．b<a<cC．a<b<c D．c<b<a【解题思路】利用对数的性质求得log23>3【解答过程】由log2由log34=log所以a=2−log23<故选：C.【变式2-2】（2023上·河南开封·高一校考阶段练习）已知a=log132023,b=log20232024,c=2023−2024A．a>b>c B．b>c>a C．b>a>c D．c>a>b【解题思路】利用函数单调性和中间值比较出大小.【解答过程】a=log故b>c>a.故选：B.【变式2-3】（2023·浙江嘉兴·统考二模）已知a=1.11.2,b=A．c<b<a B．a<b<cC．c<a<b D．a<c<b【解题思路】利用中间值1.21.2比较a,b的大小，再让b，c与中间值1.31比较，判断b,【解答过程】a=1.11.2<1.21.2<1.2又1.20.1<1.30.1，所以故选：B.【题型3作差法、作商法比较大小】【例3】（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知x=log32，y=log43，z=342A．x>y>z B．y>x>z C．z>y>x D．y>z>x【解题思路】利用作差法结合基本不等式可得出x、y的大小关系，利用中间值45结合指数函数、对数函数的单调性可得出y、z的大小关系，综合可得出x、y、z【解答过程】因为35=243<256=44，所以，因为34所以，342>4因为y−x==ln32−ln故选：C.【变式3-1】（2023·云南·校联考模拟预测）已知a=log169,b=A．b>a>c B．b>c>aC．c>b>a D．c>a>b【解题思路】a=log43，b=log54，作商ab【解答过程】a=log169=ab=log43log5所以a<b，a=log所以b>a>c.故选：A.【变式3-2】（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）若a=ln22，b=ln3A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【解题思路】利用作差法，再结合对数函数y=lnx的单调性分别判断a,b和a,c的大小关系，即可判断出【解答过程】因为b−a=ln33又因为c−a=ln55综上所述：c<a<b.故选：C.【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知a=log8.14，b=log3.1A．a<c<b B．a<b<cC．c<a<b D．b<c<a【解题思路】先证明b>0,c>0，利用比商法结合基本不等式证明c<b，再根据对数运算性质，结合对数函数性质证明a<c即可得结论.【解答过程】因为b=log3.1e所以cb又e2≈7.389，所以6.51<所以cb<1，故因为a=log又e2≈7.389，所以8.1>e所以a<ln2，又所以a<c，所以a<c<b，故选：A.【题型4构造函数法比较大小】【例4】（2023·福建宁德·校考模拟预测）记a=eπ，b=π+1，A．a<b<c B．c<b<aC．b<c<a D．a<c<b【解题思路】构造函数fx=ex−x−1【解答过程】设fx=ex−x−1则fx在0,+∞上单调递增，则fπ=eπ−b=πc=lnπe+2<则c<b<a.故选：B.【变式4-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知实数a,b,c满足a2+logA．a<b<c B．c<a<bC．b<c<a D．c<b<a【解题思路】利用构造函数法，结合函数的单调性确定正确答案.【解答过程】设f(x)=x2+log2又f12=−设g(x)=12023x−log又g(1)=12023>0,g(2023)=12023因为c=log76综上可知，c<a<b.故选：B.【变式4-2】（2023·全国·模拟预测）已知a=log0.090.18，b=6.2−A．a<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．a<c<b【解题思路】利用对数函数的性质判断得1>a>12，利用分母有理化判断得b<1【解答过程】由0.09<0.18<0.3，可得log0.090.09>log而b=6.2设f(x)=lnx+1所以f(x)在(0,1)上是减函数，所以f89>f(1)=1所以b<a<c．故选：C．【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）设a=0.2ln10，b=0.99，c=0.9eA．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【解题思路】构造f(x)=x−1x−2【解答过程】a=0.2ln10=0.2ln10.1取x=0.1，则a=−2xlnx，b=1−x设f(x)=x−1x−2所以f(x)在(0,1)上单调递增，则x−1x−2lnx<0令g(x)=ex−x−1(0<x<1)所以g(x)在(0,1)上单调递增，则g(x)>g(0)⇒所以(1−x)ex>1−所以a<b<c．故选：A.【题型5数形结合比较大小】【例5】（2022·广东茂名·统考一模）已知x,y,z均为大于0的实数，且2x=3y=A．x>y>z B．x>z>yC．z>x>y D．z>y>x【解题思路】根据题意，将问题转化为函数y=2x,y=【解答过程】解：因为x,y,z均为大于0的实数，所以2x进而将问题转化为函数y=2x,y=故作出函数图像，如图，由图可知z>x>y故选：C.【变式5-1】（2023上·四川·高三校联考阶段练习）已知a+log2a=4,b+A．a>c>b B．a>b>c C．b>c>a D．c>a>b【解题思路】a,c的比较利用零点存在性定理求解零点所在区间，b,c的比较则转化为两函数图象交点的横坐标大小比较，数形结合由图可知.【解答过程】由题意知，a是函数f(x)=x+log因为f5由522=且f(3)=log由零点存在性定理知，a∈5由题意知，c是函数g(x)=x+log因为g5且g(2)=log由零点存在性定理知，c∈2,故a>c，由b+log得log3作出函数y=3−x,y=log如图所示，数形结合由图可知c>b．综上，a>c>b.故选：A.【变式5-2】（2023上·广东江门·高一统考期末）已知fx=12x−x−2，gx=log12x−x−2，ℎx=xA．a>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．b>a>c【解题思路】将函数的零点，转化为函数y=x+2的图象分别与函数y=12x、y=【解答过程】解：函数fx=12x即为函数y=x+2分别与函数y=12x、y=如图所示：由图可得a<b<c.故选：B.【变式5-3】（2022·河南·统考一模）已知a=eπ,b=A．c<b<a B．b<c<a C．b<a<c D．c<a<b【解题思路】构造函数fx=lnxx,x>0，利用导数法研究单调性，并利用单调性可比较a,b【解答过程】令fx=ln由f′x>0，解得0<x<e，由所以fx=lnxx因为π>所以fπ<fe所以elnπ<πlne，所以又y=ln所以πe<e2eπ在同一坐标系中作出y=2x与由图象可知在2,4中恒有x>2又2<π<4，所以又y=xe在0,+所以πe>2综上可知：c<b<a，故选：A.【题型6含变量问题比较大小】【例6】（2022上·江西吉安·高三统考期末）已知实数a，b，c，满足lnb=ea=c，则a，b，A．a>b>c B．c>b>aC．b>c>a D．a>c>b【解题思路】构造函数f(x)=e【解答过程】解：设f(x)=ex−x当x<0时，f′x<0，当x>0所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，在所以f(x)min=f(0)=1>0所以c=ea>a所以b=e所以b>c>a.故选：C．【变式6-1】（2022上·湖北·高三校联考开学考试）已知a,b,c均为不等于1的正实数，且lnc=alnb,lna=bA．c>a>b B．b>c>aC．a>b>c D．a>c>b【解题思路】分析可知，lna、lnb、lnc同号，分a、b、c∈0,1和a、b、c∈1,+∞两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出【解答过程】∵lnc=alnb,lna=blnc且则lnc与lnb同号，lnc与lna同号，从而lna①若a、b、c∈0,1，则lna、lnblna=blnc>lnc，可得a>c，ln②若a、b、c∈1,+∞，则lna、lnlna=blnc>lnc，可得a>c，ln综上所述，a>c>b.故选：D.【变式6-2】（2022上·江苏南通·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足ec+e−2a=ea+e−c，b=logA．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a【解题思路】根据ec+e−2a=ea+e−c可得ec−e−c=ea−e−2a，由此可构造函数fx=ex−【解答过程】ec故令fx=ex−易知y=−e−x=−1ex和y=e∵e−2a<e−a，故由题可知，ec易知b=log23+作出函数y=log2x则两图象交点横坐标在1,2内，即1<c<2，∴c<b，∴a<c<b．故选：B．【变式6-3】（2023上·辽宁丹东·高三统考期末）设m>1，logma=mb=c，若a，bA．a>1 B．c≠e C．b<c<a D．【解题思路】由logma>0，可解得a>1，可判断A；当c=e时，取m=e1e>1，可得a=b=c，不满足a，b，c【解答过程】由mb=c>0，可得logma>0，因为当c=e时，logma=mb故a=b=c，不满足a，b，c互不相等，所以c≠e因为m>1，logm可将a,b,c看成函数y=logmx,y=当m=1.1时，图象如下图，可得：a<c<b，此时(c−b)(c−a)<0.当m=3时，图象如下图，可得：b<c<a，此时(c−b)(c−a)<0，所以C不正确，D正确；故选：ABD.【题型7放缩法比较大小】【例7】（2023·全国·模拟预测）已知a=log2π，b=ln4A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【解题思路】应用对数函数的单调性及放缩法对a,b,c进行估值即可判断.【解答过程】a=log2π<logb=ln4=1+ln由c=0.6−1.5可得c2=0.6−3=故选：C.【变式7-1】（2023上·安徽·高二校联考阶段练习）已知a=19−17A．a<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<a<b【解题思路】采用放缩法和中间值比较大小，得到a<b<c.【解答过程】因为a=19b=6−3c=log所以a<b<c.故选：A.【变式7-2】（2023上·江苏泰州·高一泰州中学校考期中）已知三个互不相等的正数a,b,c满足a=e23,b=log23+A．a<b<c B．a<c<bC．c<a【解题思路】由对数函数和指幂函数的单调性和运算性质放缩，再加上基本不等式求解即可.【解答过程】因为a=e2所以根据幂函数的性质可得e2因为a,b,c都是正数，b=log23+ca因为fx=ln作出y=ln2a+1和y=ln5a的图像，如图可得，当a=2时，两函数值相等；

故a<c<b，故选：B.【变式7-3】（2023上·福建漳州·高一校考期中）设a=0.712023，b=12023A．c>a>b B．c>b>aC．a>c>b D．b>c>a【解题思路】由lna=12023ln0.7，ln【解答过程】由lna=12023ln0.7，ln故只需比较ln0.70.7,ln120231所以y=lnxx在(0,1)上递增，而7所以lna=12023ln0.7>又a=0.712023所以c>1>a>b.故选：A.1．（2023·天津·统考高考真题）若a=1.010.5,b=1.010.6A．c>a>b B．c>b>aC．a>b>c D．b>a>c【解题思路】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.【解答过程】由y=1.01x在R上递增，则由y=x0.5在[0,+∞所以b>a>c.故选：D.2．（2022·天津·统考高考真题）已知a=20.7，b=(13A．a>c>b B．b>c>a C．a>b>c D．c>a>b【解题思路】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出a、b、c的大小关系.【解答过程】因为20.7>(故选：C.3．（2022·全国·统考高考真题）设a=0.1e0.1,b=A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b【解题思路】构造函数f(x)=ln(1+x)−x，导数判断其单调性，由此确定【解答过程】方法一：构造法设f(x)=ln(1+x)−x(x>−1)，因为当x∈(−1,0)时，f′(x)>0，当x∈(0,+∞所以函数f(x)=ln(1+x)−x在(0,+∞所以f(19)<f(0)=0，所以ln109所以f(−110)<f(0)=0，所以ln910故a<b，设g(x)=xex+令ℎ(x)=ex(当0<x<2−1时，ℎ′当2−1<x<1时，ℎ′(x)>0又ℎ(0)=0，所以当0<x<2−1时，所以当0<x<2−1时，g′所以g(0.1)>g(0)=0，即0.1e0.1故选：C.方法二：比较法解：a=0.1e0.1，b=0.1①lna−令f(x)=x+ln则f′(x)=1−1故f(x)在(0,0.1]上单调递减，可得f(0.1)<f(0)=0，即lna−lnb<0②a−c=0.1e令g(x)=xe则g'(x)=xe令k(x)=(1+x)(1−x)ex−1所以k(x)在(0,0.1]上单调递增，可得k(x)>k(0)>0，即g′(x)>0，所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0，即a−c>0，所以a>c.故c<a<b.故选：C.4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数fx=e−(x−1)A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b【解题思路】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【解答过程】令g(x)=−(x−1)2，则g(x)开口向下，对称轴为因为62−1−1−所以62−1−由二次函数性质知g(6因为62−1−1−即62−1<1−2综上，g(2又y=ex为增函数，故a<c<b，即故选：A.5．（2021·天津·统考高考真题）设a=log20.3,b=log120.4,c=0.40.3A．a<b<c B．c<a<b C．b<c<a D．a<c<b【解题思路】根据指数函数和对数函