新高考数学二轮复习重难点01 利用基本不等式求最值【八大题型】（举一反三）（解析版）

重难点01利用基本不等式求最值【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1直接法求最值】 2【题型2配凑法求最值】 3【题型3常数代换法求最值】 4【题型4消元法求最值】 6【题型5构造不等式法求最值】 7【题型6多次使用基本不等式求最值】 10【题型7实际应用中的最值问题】 12【题型8与其他知识交汇的最值问题】 16基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.【知识点1利用基本不等式求最值的方法】1．利用基本不等式求最值的几种方法(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求SKIPIF1<0的最值”的问题，先将SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0，再用基本不等式求最值.(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.【知识点2基本不等式的实际应用】1．基本不等式的实际应用的解题策略(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.【题型1直接法求最值】【例1】（2023上·北京·高一校考阶段练习）已知a>0，则a+1a+1的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】用基本不等式求解即可.【解答过程】因为a>0，所以a+1a+1≥2a⋅1故选：B.【变式1-1】（2023·北京东城·统考一模）已知x>0，则x−4+4x的最小值为（A．－2 B．0 C．1 D．2【解题思路】由基本不等式求得最小值．【解答过程】∵x>0，∴x+4x−4≥2x×4故选：B．【变式1-2】（2023上·山东·高一统考期中）函数y=x2−x+9x（A．1 B．3 C．5 D．9【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.【解答过程】y=x2−x+9x=x+故选：C.【变式1-3】（2023下·江西·高三校联考阶段练习）3+1x2A．93 B．7+42 C．8【解题思路】依题意可得3+1【解答过程】3+1当且仅当1x2=12故3+1x2故选：D.【题型2配凑法求最值】【例2】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知a>1，则a+16a−1的最小值为（A．8 B．9 C．10 D．11【解题思路】运用基本不等式的性质进行求解即可.【解答过程】因为a>1，所以由a+16a−1=a−1+16a−1故选：B.【变式2-1】（2023上·吉林·高一校考阶段练习）已知x>3，则y=2x−3+2xA．6 B．8 C．10 D．12【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【解答过程】由x−3>0，则y=2当且仅当x=4时等号成立，故最小值为10.故选：C.【变式2-2】（2023上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设x>2，则函数y=4x−1+4x−2，的最小值为（A．7 B．8 C．14 D．15【解题思路】利用基本不等式求解.【解答过程】因为x>2，所以x−2>0，所以y=4x−1+4当且仅当4x−2=4所以函数y=4x−1+4故选:D．【变式2-3】（2023上·辽宁·高一校联考期中）若x>0，y>0且满足x+y=xy，则2xx−1+4yA．6+26 B．4+62 C．2+4【解题思路】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.【解答过程】若x>0，y>0且满足x+y=xy，则有1x+1y=12x≥6+22当且仅当2x−1=4所以2xx−1+4y故选：D.【题型3常数代换法求最值】【例3】（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知a>0，b>0，若2a+3b=1，则2a+bA．8 B．9 C．10 D．11【解题思路】利用基本不等式“1”的应用即可求解.【解答过程】由题意得a>0，b>0，2a所以2a+b当且仅当2b3a=6ab时，即故选：B.【变式3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，点M1,4在直线xa+ybA．4 B．6 C．9 D．12【解题思路】根据题意可得1a【解答过程】由题意得1a+4故a+b=a+b当且仅当ba=4ab，即故选：C.【变式3-2】（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足2x+8y−xy=0，则2x+y的最大值为（

A．25 B．16 C．3【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【解答过程】∵x>0,y>0,2x+8y−xy=0,∴x+y=∴2故选:D.【变式3-3】（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且2a+b=1，则2a2a+1A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】首先根据题意求出0≤a<12，0<b≤1，然后将原式变形得【解答过程】∵2a+b=1，且a,b为非负实数，b≠0，则a≥0,b>0则b=1−2a>0，解得0≤a<12，2a=1−b≥0，解得∴=2(a+1)−4+2=1当且仅当4b2a+2=2a+2b即2a+2=2b，故2a+1故选：B.【题型4消元法求最值】【例4】（2023上·江苏·高一校联考阶段练习）已知正数x，y满足3x−4=9y，则x+8【解题思路】根据指数方程，得出x,y的关系式，运用消元法将所求式化成关于y的关系式，再利用基本不等式求解.【解答过程】由3x−4=9y，可得x−4=2y，即可得2y+4+8y当且仅当y=2,x=8时，取等号，所以x+8故答案为：12.【变式4-1】（2023上·安徽池州·高一统考期中）已知x,y∈R+，若2x+y+xy=7，则62−5【解题思路】根据题意，化简得到x+2y=x2−3x+14x+1，设【解答过程】由x,y∈R+，且2x+y+xy=7，可得则x+2y=x+2×7−2x设t=x+1，可得x=t−1且t>1，可得x2当且仅当t=18t时，即t=32时，等号成立，所以x+2y故答案为：62【变式4-2】（2023上·山东淄博·高一校考阶段练习）已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小值为13.【解题思路】根据基本不等式即可求解.【解答过程】由2a+b+6=ab可得a=b+6b−2>0，由于b>0故a+2b=b+6由于b>2，所以8b−2+2b−2故a+2b=8故a+2b的最小值为13，故答案为：13.【变式4-3】（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数a, b, c, d满足a2 −ab+1=0，【解题思路】将(a−c)2+(b−d)2转化为a,b与c,d两点间距离的平方，进而转化为【解答过程】可将(a−c)2+(b−d)2转化为由a2−ab+1=0，得而c2+d2=1则a,b与圆心0,0的距离为：a2当且仅当2a2=此时a,b与圆心0,0的距离最小，即a,b与c,d两点间距离的平方最小，即(a−c)2当a=412故答案为：22【题型5构造不等式法求最值】【例5】（2023下·河南·高三校联考阶段练习）已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是（

）A．ab的最大值为8B．1a−1C．a+b有最小值3+D．a2【解题思路】根据基本不等式运用的三个条件“一正､二定､三相等”，可知ab≥8，所以A错误；将原式化成a−1b−2=2，即可得1a−1+2b−2=1a−1【解答过程】对于A选项，ab=2a+b≥22ab，即ab≥22当且仅当a=2,b=4时等号成立，故ab的最小值为8，A错误；对于B选项，原式化为a−1b−2=2,b=2aa−1>0，故a−1>0所以1a−1+2b−2=对于C选项，原式化为2b+1当且仅当a=2+1,b=2+2对于D选项，a2当且仅当a=1+2,b=2+2故选：B.【变式5-1】（2022上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知x>0，y>0，且x+y+xy−3=0；则下列结论正确的是（

）A．xy的最小值是1 B．x+y的最小值是2C．x+4y的最小值是8 D．x+2y的最大值是4【解题思路】利用基本不等式得x+y+xy−3≥(xy+3)(xy−1)、x+y+xy−3≤(x+y)24+(x+y)−3分别求xy、x+y的最值，注意取等条件；由题设有【解答过程】由x+y+xy−3≥xy+2xy−3=(xy即(xy+3)(xy−1)≤0，又x>0，y>0，故所以0<xy≤1，故xy的最大值是1，A错误；由x+y+xy−3≤(x+y)24所以(x+y)24+(x+y)−3≥0，即(x+y+6)(x+y−2)≥0，又x>0则x+y≥2，仅当x=y=1时等号成立，故x+y的最小值是2，B正确；由x+y+xy−3=0，x>0，y>0，可得x=3−yy+1，且所以x+4y=3−yy+1+4y=当且仅当y+1=1，即y=0、x=3时等号成立，故x+4y>3，C错误；同上，x+2y=3−yy+1+2y=当且仅当y+1=2，即y=2−1、x=2故选：B.【变式5-2】（2023上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（

）A．若x>2，则函数y=x+1B．若x>0，y>0，3x+1C．若x>0，y>0，x+y+xy=3，则xy的最小值为1D．若x>1，y>0，x+y=2，则1x−1+【解题思路】选项A：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，选项B：由基本不等式进行判断即可，选项C：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，选项D：对式子进行变形得到1+y【解答过程】解：选项A：y=x+1x−1=x−1+但题设条件中x>2，故函数最小值取不到3，故A错误；选项B：若x>0，y>0，3x则5x+4y=153选项C：3−xy=x+y⩾2xy⇒xy+2xy令xy=tt⩾0，t2+2t−3⩽0，解得−3⩽t⩽1，即选项D：x+y=2，(x−1)+y=1，1x−1当且仅当y=2又因为x+y=2，故x=2即1x−1+2故选：D．【变式5-3】（2023上·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数x,y满足x+2y=3，则下列说法错误的是（

）A．yx+3yC．x+2y的最大值为2 D．x【解题思路】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.【解答过程】对于A，yx+3对于B，xy=12⋅x⋅2y≤12对于C，(x则x+2y≤6，当且仅当对于D，x2+4y故选：C.【题型6多次使用基本不等式求最值】【例6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥92a+2bA．5 B．52 C．52【解题思路】先根据基本不等式求出92a+2【解答过程】由已知可得，a>0，b>0，a+b>0.因为92a+2当且仅当9b2a=2a所以，a+b2当且仅当2a=3ba+b=92a所以，a+b≥3故选：D.【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考一模）设实数x,y满足x+y=1，y>0，x≠0，则1x+2A．22−1 B．22+1【解题思路】分为x>0与x<0，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解得出答案.【解答过程】当x>0时，1x+2xy当且仅当yx=2xy，即x=2当x<0时，1x+2当且仅当y−x=−2xy，即x=−1−2所以，1x+2故选：A.【变式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数x,y,z>0，满足xy+zx=2，则当4y+A．1 B．32 C．2 D．【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.【解答过程】因为实数x,y,z>0，满足xy+z所以xy+zx=2≥2xy×z所以4y+1z≥2所以当yz=1且4y=1此时解得y=2z=故选：D.【变式6-3】（2023上·辽宁大连·高一期末）若a>0,b>0,a+b=1，则a2+3aba+2bA．2 B．2−2 C．3−2【解题思路】由已知可得a2+3aba+2b+1【解答过程】由题设，a2+3aba+2b+1所以a(2b+1)+1b+1所以a2+3aba+2b+2又2b+1b≥2所以a2+3aba+2b即目标式最大值为3−22故选：D.【题型7实际应用中的最值问题】【例7】（2023上·四川眉山·高一校联考期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）.(1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围；(2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值.【解题思路】（1）由题意可得矩形AMQD的面积，即可得出AM=400−（2）先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.【解答过程】（1）由题意可得，矩形AMQD的面积为SAMQD因此AM=400−∵AM>0，∴0<x<20.（2）y=8400x2=8000x2+由基本不等式y≥28000当且仅当8000x2=3200000故当x=25时，总造价y【变式7-1】（2023上·山东·高一校联考期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3米，底面面积16平方米的长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800元，由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方米150元，地面每平方米400元.设泳池宽为x米.2≤x≤6(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900ax+2x元(a>0)（整体报价中含固定费用）.若无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求【解题思路】（1）根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.【解答过程】（1）设甲工程队的总造价为y元，则y=150×2=900=14400当且仅当x=16x时，即即当宽为4m（2）由题意可得900x+16x即a<令y=∵2≤x≤6,∴4≤x+2≤8.令t=x+2,t∈4,8则y=t+4t+4且t=4时，ymin∴0<a<9.即a的取值范围为0,9.【变式7-2】（2023上·江苏苏州·高一校考阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4米、底面积为24平方米、背面靠墙体的长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2米，且此门高为此门底的13．因此室的后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平方米360元，左右两侧面为每平方米300元，已有墙体粉饰为每平方米100元，屋顶和地面以及安全门报价共计12000元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1≤x≤5)(1)记y为甲工程队整体报价，求y关于x的关系式；(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t(x+1)x元，问是否存在实数t，使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t【解题思路】（1）根据题意分别计算正面和侧面以及其它各面的费用，相加，可得答案;（2）由题意可得不等关系240(184x+10x)−3120>4800t(x+1)x,对任意【解答过程】（1）由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x米(1≤x≤5)，则底面长为24x米，正面费用为360(4×故y=360(4×24=240(184x+10x)−3120（2）由题意知,240(184x+10x)−3120>4800t(x+1)即t<10x2令k=x+1,则x=k−1,k∈[2,6]，则t<10而k2+207故0<t<207即存在实数0<t<207【变式7-3】（2023上·重庆·高一校考阶段练习）为宜传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面积为36000cm2的矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，设DC=x(1)将四个宣传栏的总面积y表示为x的表达式，并写出x的范围；(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（AD和CD分别为多少时），可使用宣传栏总面积最大？并求出此时宣传栏的最大面积．【解题思路】（1）根据题意列出总面积y表示为x的表达式即可.（2）根据（1）利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时AD和CD的值.【解答过程】（1）根据题意DC=xcm，矩形海报纸面积为所以AD=36000又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，所以四个宣传栏的总面积y=CD其中x−50>036000x−20>0即y=x−50（2）由（1）知y=x−50则y=20x+1800000x≥2则y=37000−20x+1800000x即CD=300cm,可使用宣传栏总面积最大为25000cm【题型8与其他知识交汇的最值问题】【例8】（2023上·安徽·高三校联考阶段练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足c+bcos(1)求A；(2)若角A的平分线交BC于D点，且AD=1，求△ABC面积的最小值.【解题思路】（1）由已知结合正弦定理边化角即可求解;（2）表示出所求面积后运用基本不等式即可求解.【解答过程】（1）由已知和正弦定理可得：sinC+所以sinC=又因为C∈(0,π)，2A−B∈(0,π)，所以C=2A−B或者C+2A−B=π.当C=2A−B时，A+B+2A−B=π，A=π当C+2A−B=π时，A=2B与题设A≤B不符.综上所述，A=π（2）△ABC面积S=1由AD是角平分线，∠BAD=∠CAD=π因为S△ABC=S即b+c=3bc，由基本不等式3bc≥2当且仅当b=c=2所以面积S=3故△ABC面积的最小值33【变式8-1】（2023上·安徽铜陵·高二校联考期中）已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π(1)求圆C的方程；(2)若直线l，l′都经过点(0,2)，且l⊥l′，直线l交圆C于M，N两点，直线l′交圆C于P，【解题思路】（1）根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可；（2）根据几何法求出弦长，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可.【解答过程】（1）由题可知圆C的圆心为C(0,0)，半径r=3．所以圆C的方程为x2（2）当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+2，圆心到直线l的距离为d，则d=2k2同理可得|PQ|=29−则SPMQN当且仅当9−4k2当直线l的斜率不存在时，|MN|=6，|PQ|=23此时SPMQN当直线l的斜率为0时，根据对称性可得SPMQN综上所述，四边形PMQN面积的最大值为14．【变式8-2】（2023上·江苏盐城·高一校考阶段练习）已知在定义域内单调的函数fx满足f(1)设fx+1(2)解不等式f7+2x(3)设gx=fx−lnx，若【解题思路】（1）由题意列方程求解；（2）由函数的单调性转化后求解；（3）参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解.【解答过程】（1）由题意得fx=ln由于y=lnk−1观察lnk−12（2）由于fx在定义域内单调，所以f由（1）得fx=lnx−1f−x故原不等式可化为f7+2x由2x+7>0−x>07+2x>−x，解得故原不等式的解集为−7（3）gxgx≥mg对于任意的x∈1,2设t=−2x+1∈−3,−1，则由基本不等式得t+2t=−−t+2故当t=−2时1故m≤22−2，当且仅当实数m的取值范围为−∞【变式8-3】（2023下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，点(1)证明：点P在A1(2)若AB=BC，求直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值.【解题思路】（1）由二面角定义知AP⊥PD1,CP⊥PD1，利用线面垂直的判定及性质可证PD1⊥面APC、（2）构建空间直角坐标系，令P(12,12,k)且【解答过程】（1）由∠APC是二面角A−PD1−C又AP∩CP=P，AP,CP⊂面APC，则PD1⊥又AC⊂面APC，即PD1⊥AC，由长方体性质知A由长方体性质：AA1⊥面A1B1C又A1C1∩AA1=A1而面APC∩面ACC1A1=AC，且PD1⊥面APC、P所以面APC与面ACC1A1为同一平面，又P∈面A1B1所以点P在A1（2）构建如下图示的空间直角坐标系A−xyz，令AB=BC=1，AA由题设，长方体上下底面都为正方形，由（1）知PD1⊥A1所以P(12,12,k)且则AP=(12,1若m=(x,y,z)是面PCD的一个法向量，则m⋅PC=1所以|cos仅当k=422时等号成立，故直线PA与平面PCD1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y满足x2+yA．x+y≤1 B．x+y≥−2C．x2+【解题思路】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【解答过程】因为ab≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y由x2+y2−xy=1可变形为x因为x2+y2−xy=1变形可得x−y