新高考数学二轮复习培优专题训练专题14 空间几何体的折叠及多面体的问题（原卷版）

专题14空间几何体的折叠及多面体的问题1、（2019•新课标Ⅲ，理16文16）学生到工厂劳动实践，利用SKIPIF1<0打印技术制作模型，如图，该模型为长方体SKIPIF1<0，挖去四棱锥SKIPIF1<0后所得的几何体，其中SKIPIF1<0为长方体的中心，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别为所在棱的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0打印所用原料密度为SKIPIF1<0，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为SKIPIF1<0．2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，SKIPIF1<0，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.3、（2020江苏9）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，内孔半径为SKIPIF1<0，则此六角螺帽毛坯的体积是SKIPIF1<0．4、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．5、【2019年新课标2卷理科】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．题组一、几何体的多边形问题1-1、（2023·河北沧州·校考模拟预测）如图所示，该几何体由一个直三棱柱SKIPIF1<0和一个四棱锥SKIPIF1<0组成，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0，则AC//lC．三棱柱SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0D．当该几何体有外接球时，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的最大距离为SKIPIF1<01-2、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除SKIPIF1<0如图所示，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<01-3、（2021·全国高三专题练习（文））碳70是一种碳原子族，可高效杀灭癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环（正五边形面）和六元环（正六边形面）组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为（）．A．12 B．25 C．30 D．361-4、、（2022·湖北江岸·高三期末）如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0题组二、空间几何体的折叠问题2-1、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）（多选题）如图，矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为边SKIPIF1<0的中点，沿SKIPIF1<0将SKIPIF1<0折起，点SKIPIF1<0折至SKIPIF1<0处（SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0），若SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，二面角SKIPIF1<0大小为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0折起过程中，下列说法正确的是（

）A．存在某个位置，使得SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0为锐角时，存在某个位置，使得SKIPIF1<0D．三棱锥SKIPIF1<0体积最大时，三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<02-2、（2023·云南红河·统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02-3、（2022·江苏宿迁·高三期末）如图，一张长､宽分别为SKIPIF1<0的矩形纸，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起，使得SKIPIF1<0四点重合为一点SKIPIF1<0，从而得到一个多面体，则（）A．在该多面体中，SKIPIF1<0B．该多面体是三棱锥C．在该多面体中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．该多面体的体积为SKIPIF1<02-4、（2022·江苏扬州·高三期末）在边长为6的正三角形ABC中M，N分别为边AB，AC上的点，且满足SKIPIF1<0，把△AMN沿着MN翻折至A′MN位置，则下列说法中正确的有（）A．在翻折过程中，在边A′N上存在点P，满足CP∥平面A′BMB．若SKIPIF1<0，则在翻折过程中的某个位置，满足平面A′BC⊥平面BCNMC．若SKIPIF1<0且二面角A′－MN－B的大小为120°，则四棱锥A′－BCNM的外接球的表面积为61πD．在翻折过程中，四棱锥A′－BCNM体积的最大值为SKIPIF1<0题组三、运用空间向量解决空间几何体的折叠问题3-1、（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图SKIPIF1<0，菱形SKIPIF1<0的边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0向上翻折，得到如图SKIPIF1<0所示得三棱锥SKIPIF1<0.

(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，在线段SKIPIF1<0上是否存在点SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值为SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0；若不存在，请说明理由.3-2、（2023·河南·校联考模拟预测）如图，在矩形SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在边SKIPIF1<0上，且满足SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0向上翻折，使点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的位置，构成四棱锥SKIPIF1<0.(1)若点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，试确定点SKIPIF1<0的位置；(2)若SKIPIF1<0，求锐二面角SKIPIF1<0的大小.3-3、（2023·江苏南通·统考一模）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的高，以SKIPIF1<0为折痕，将SKIPIF1<0折至SKIPIF1<0的位置，使得SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的正弦值.1、（2023·江苏南京·校考一模）中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒.现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为SKIPIF1<0的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（

）A．144 B．72 C．36 D．242、（2023·吉林·统考三模）如图，菱形纸片SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，O为菱形SKIPIF1<0的中心，将纸片沿对角线SKIPIF1<0折起，使得二面角SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中点，则折纸后SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．03、（2023·湖南邵阳·统考三模）如图所示，正八面体的棱长为2，则此正八面体的表面积与体积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04、（2023·河北唐山·统考三模）把边长为SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0沿对角线SKIPIF1<0折成直二面角SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心到平面SKIPIF1<0的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05、（2023·黑龙江大庆·统考三模）（多选题）勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体，若用棱长为4的正四面体SKIPIF1<0作勒洛四面体，如图，则下列说法正确的是（

）A．平面SKIPIF1<0截勒洛四面体所得截面的面积为SKIPIF1<0B．记勒洛四面体上以C，D为球心的两球球面交线为弧SKIPIF1<0，则其长度为SKIPIF1<0C．该勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为4D．该勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为SKIPIF1<06、（2023·河北唐山·统考三模）（多选题）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中提到底面为长方形的屋状的楔体（图示的五面体SKIPIF1<0．底面长方形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，上棱长SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，高（即SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离）为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是底面的中心，则（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．五面体SKIPIF1<0的体积为5C．四边形SKIPIF1<0与四边形SKIPIF1<0的面积和为定值SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0与SKIPIF