新高考数学二轮复习培优专题训练专题22 计数原理与二项式定理（解析版）

专题22计数原理与二项式定理1、（2023年新课标全国Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．【答案】64【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有SKIPIF1<0种；（2）当从8门课中选修3门，①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有SKIPIF1<0种；②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有SKIPIF1<0种；综上所述：不同的选课方案共有SKIPIF1<0种.故答案为：64.2、（2023年新课标全国Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（

）．A．SKIPIF1<0种 B．SKIPIF1<0种C．SKIPIF1<0种 D．SKIPIF1<0种【答案】D【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取SKIPIF1<0人，高中部共抽取SKIPIF1<0，根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有SKIPIF1<0种.故选：D.3、（2023年全国乙卷数学(理)）3．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（

）A．30种 B．60种 C．120种 D．240种【答案】C【详解】首先确定相同得读物，共有SKIPIF1<0种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有SKIPIF1<0种，根据分步乘法公式则共有SKIPIF1<0种，故选：C.4、（2023年全国甲卷数学（理））有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（

）A．120 B．60 C．40 D．30【答案】B【详解】不妨记五名志愿者为SKIPIF1<0，假设SKIPIF1<0连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有SKIPIF1<0种方法，同理：SKIPIF1<0连续参加了两天社区服务，也各有SKIPIF1<0种方法，所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有SKIPIF1<0种.故选：B.5、（2023年新高考天津卷）在SKIPIF1<0的展开式中，SKIPIF1<0项的系数为_________．【答案】SKIPIF1<0【详解】展开式的通项公式SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0.故答案为：60.6、【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【解析】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，故选：B

7、【2021年乙卷理科】将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（

）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【答案】C【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有SKIPIF1<0种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有SKIPIF1<0种不同的分配方案，故选：C.8、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【答案】C【解析】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有SKIPIF1<0种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有SKIPIF1<0种不同的分配方案，故选：C.9、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有SKIPIF1<0种排法，若2个0不相邻，则有SKIPIF1<0种排法，所以2个0不相邻的概率为SKIPIF1<0.故选：C.10、【2020山东卷3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去SKIPIF1<0个场馆，甲场馆安排SKIPIF1<0名，乙场馆安排SKIPIF1<0名，丙场馆安排SKIPIF1<0名，则不同的安排方法共有 （）A．SKIPIF1<0种B．SKIPIF1<0种 C．SKIPIF1<0种 D．SKIPIF1<0种【答案】C【解析】首先从SKIPIF1<0名同学中选SKIPIF1<0名去甲场馆，方法数有SKIPIF1<0；然后从其余SKIPIF1<0名同学中选SKIPIF1<0名去乙场馆，方法数有SKIPIF1<0；最后剩下的SKIPIF1<0名同学去并场馆，故不同的安排方法共有SKIPIF1<0种，故选C．11、【2020上海卷9】从6个人选4个人去值班，每人值班一天，第一天安排1个人，第二天安排1个人，第三天安排2个人，则共有种安排情况．【答案】180【解析】按照先选再排的方法可知共有SKIPIF1<0种方法．故答案为：18012、【2020全国Ⅱ理】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有______种．．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<04名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，SKIPIF1<0先取2名同学看作一组，选法有：SKIPIF1<0，现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：SKIPIF1<0，根据分步乘法原理，可得不同的安排方法SKIPIF1<0种，故答案为：SKIPIF1<0．13、【2020全国Ⅲ理14】SKIPIF1<0的展开式中常数项是（用数字作答）．【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其二项式展开通项：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的展开式中常数项是：SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．题组一、排列、组合问题1-1、（2023·黑龙江·黑龙江实验中学校考一模）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（

）A．60种 B．120种 C．240种 D．480种【答案】C【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有SKIPIF1<0种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有SKIPIF1<0种不同的分配方案，故选：C.1-2、（2023·安徽·统考一模）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有（

）种．A．40 B．24 C．20 D．12【答案】B【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解．【详解】由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有SKIPIF1<0种，故选：SKIPIF1<0．1-3、（2023·安徽铜陵·统考三模）若有4名女生和2名男生去两家企业参加实习活动，两家企业均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案有（

）种A．20 B．28 C．32 D．64【答案】B【详解】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有SKIPIF1<0种分配方案；再安排4名女生，若将每个女生随机安排，共有SKIPIF1<0种分配方案，若女生都在同一小组，共有SKIPIF1<0种分配方案，故保证每个小组都有女生，共有SKIPIF1<0种分配方案；所以共有SKIPIF1<0种分配方案.故选：B.1-4、（2023·辽宁·大连二十四中校联考三模）现有6个同学站成一排照相，如果甲､乙两人必须相邻，而丙､丁两人不能相邻，那么不同的站法共有（

）种.A．144 B．72 C．36 D．24【答案】A【详解】由题意可将甲､乙两人看作一个整体，和除甲乙丙丁外的其余两人全排列，有SKIPIF1<0种排法，再从这3人（甲乙看作一个人）排好后形成的4个空中选2个排丙､丁，故共有SKIPIF1<0种站法，故选：A1-5、（2023·吉林·统考三模）（多选题）从4名男生和3名女生中选出4人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（

）A．若4人中男生女生各选2人，则有18种选法B．若男生甲和女生乙必须在内，则有12种选法C．若男生甲和女生乙至少有1人在内，则有15种选法D．若4人中既有男生又有女生，则有34种选法【答案】AD【详解】对选项A,依题意，根据组合及分步计数原理，可知一共有SKIPIF1<0种．所以该选项正确；对选项B,依题意，要从7名同学中选取4人，而甲乙必须在内，则相当于从5名同学中选取2人，一共有SKIPIF1<0种．所以该选项不正确；对选项C,依题意，要从7名同学中选取4人，一共有SKIPIF1<0种，而甲乙都不在内一共有SKIPIF1<0种，SKIPIF1<0甲与乙至少要有1人在内有SKIPIF1<0种．所以该选项错误；对选项D,依题意，假设全是男生一共有SKIPIF1<0种，全是女生的情况没有，SKIPIF1<0既有男生又有女生一共有SKIPIF1<0种．所以该选项正确.故选：AD题组二、二项式定理展开式项与系数的问题2-1、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）二项式SKIPIF1<0的展开式中常数项为（

）A．80 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．40【答案】B【分析】求出展开式的通项，再令SKIPIF1<0的指数等于0，即可得出答案.【详解】解：二项式SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以常数项为SKIPIF1<0.故选：B.2-2、（2023·湖南永州·统考三模）在二项式SKIPIF1<0的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为（

）A．SKIPIF1<0种 B．SKIPIF1<0种 C．SKIPIF1<0种 D．SKIPIF1<0种【答案】A【详解】解：因为二项展开式的通项为SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，为有理项，所以有理项共有2项，其余5项为无理项，先排5项为无理项，共有SKIPIF1<0种排法，再排2项有理项，共有SKIPIF1<0种排法，所以有理项互不相邻的排法总数为：SKIPIF1<0种.故选：A.2-3、（2023·江苏南京·校考一模）在二项式SKIPIF1<0的展开式中，若所有项的系数之和等于64，那么在这个展开式中，SKIPIF1<0项的系数是__________．（用数字作答）【答案】135【分析】根据给定条件，利用赋值法求出n值，再求出二项式展开式的通项即可求解作答.【详解】在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0得所有项的系数之和为SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0项的系数是135.故答案为：135.2-4、（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知SKIPIF1<0的展开式中第4项与第5项的二项式系数之比是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0______，展开式的常数项为______．（用数字作答）【答案】

9；SKIPIF1<0【分析】空1：根据二项式系数的性质得SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0即可；空2：由题化简得其展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0值，代回即可得到其常数项.【详解】由题意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故展开式中的常数项为SKIPIF1<0．故答案为：9；SKIPIF1<0题组三、二项式定理展开式的综合性问题3-1、（2023·云南玉溪·统考一模）已知SKIPIF1<0展开式中x的系数为q，空间有q个点，其中任何四点不共面，这q个点可以确定的直线条数为m，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的三角形个数为n，以这q个点中的某些点为顶点可以确定的四面体个数为p，则SKIPIF1<0（

）A．2022 B．2023 C．40 D．50【答案】D【分析】根据条件可得SKIPIF1<0展开式中含x的项为6x，则SKIPIF1<0．进而可求得答案.【详解】SKIPIF1<0的展开式中含x的项为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展开式中含x的项为：SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的展开式中含x的项为6x，其系数SKIPIF1<0．依题意得SKIPIF1<0，故选：D．3-2、（2023·江苏南通·三模）已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，两边相加得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<03-3、（2023·安徽铜陵·统考三模）SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数是______.【答案】672【详解】SKIPIF1<0展开式通项公式为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故答案为：6723-4、（2023·浙江温州·统考三模）SKIPIF1<0展开式的常数项为___________.（用最简分数表示）【答案】SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0展开式通项公式SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0展开式的常数项是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<03-5、（2022·山东青岛·高三期末（多选题））SKIPIF1<0的展开式中各项系数之和为2，则其中正确的是（）A．a=1B．展开式中含SKIPIF1<0项的系数是SKIPIF1<0C．展开式中含SKIPIF1<0项D．展开式中常数项为40【答案】AC【解析】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故A正确；SKIPIF1<0的展开式中含SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0，故B错误；SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0为SKIPIF1<0项，故C正确；SKIPIF1<0的展开式中常数项为SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC.3-6、（2022·山东德州·高三期末）（多选题）已知SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（）A．SKIPIF1<0的展开式中常数项是15 B．SKIPIF1<0的展开式中各项系数之和是0C．SKIPIF1<0的展开式中的二项式系数最大值是15 D．SKIPIF1<0的展开式中不含SKIPIF1<0的项【答案】ABD【解析】SKIPIF1<0的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0,常数项为SKIPIF1<0，A正确;SKIPIF1<0中令SKIPIF1<0可得展开式中各项系数之和是0，B正确;二项式系数最大值为中间项的二项式系数SKIPIF1<0，C不正确;令SKIPIF1<0，不是整数，即SKIPIF1<0不含SKIPIF1<0的项，D正确.故选：ABD.1、（2023·山西晋中·统考三模）从0，1，2，⋯，9这10个数字中任取三个数，使这三个数的和是3的倍数，则不同的取法有_________种．（用数字作答）【答案】42【详解】将这些数字分组，记SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而和为3的倍数的情况共有SKIPIF1<0种．故答案为：422、（2023·山西阳泉·统考三模）在国际自然灾害中，中国救援力量为挽救生命做出了重要贡献，完美地展示了国家形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得荣誉．某国际救援团队拥有6个医疗小组和8个抢险小组，现分别去两个受灾点执行救援任务，每个救援点至少需要2个医疗小组和4个抢险小组，则不同的分配方式一共有________种．（用数字作答）【答案】3500【详解】第一步分配医疗小组，先按2：4或3：3分两组再分配到两个受灾点，共有SKIPIF1<0；第二步分配抢险小组，只能按4：4分组再分配到两个受灾点，共有SKIPIF1<0，因此，共有SKIPIF1<0种，故答案为：35003、（2023·安徽·校联考三模）某企业五一放假4天，安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人只值班一天．已知甲不安排在第一天，乙不安排在最后一天，则不同的安排种数为______．【答案】14【详解】①若甲安排在最后一天，则不同的安排数为SKIPIF1<0；②若甲不安排在最后一天，则不同的安排数为SKIPIF1<0．综上，不同的安排种数为14．故答案为：SKIPIF1<0.4、（2023·辽宁沈阳·统考三模）SKIPIF1<0的展开式中，含SKIPIF1<0项的系数为（

）A．430 B．435 C．245 D．240【答案】B【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展开式的通项为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0项的系数为SKIPIF1<0.故选：B.5、（2023·重庆·统考三模）二项式SKIPIF1<0展开式的第r项系数与第r＋1项系数之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为SKIPIF1<0展开式的通项公式为SKIPIF1<0，则第r项系数为SKIPIF1<0，第r＋1项系数为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B6、（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）SKIPIF1<0的展开式中二项式系数最大的项是________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】SKIPIF1<0的二项展开式有7项，其二项式系数为SKIPIF1<0，由组合数的性质可知SKIPIF1<0最大，故由二项式定理得二项式系数最大的一项是SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<07、（2023·辽宁沈阳·沈阳二中校考三模）在SKIPIF1<0的展开式中x的系数为______．【答案】SKIPIF1<0【详解