新高考数学二轮复习培优专题训练专题11 空间几何体的表面积与体积（解析版）

专题11空间几何体的表面积与体积1、（2023年全国乙卷数学(理)）已知圆锥PO的底面半径为SKIPIF1<0，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0，则该圆锥的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，所以圆锥的体积SKIPIF1<0.故选：B2、（2023年全国甲卷数学（文））在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0，则该棱锥的体积为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】A【详解】取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，如图，

SKIPIF1<0是边长为2的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：A3、（2023年全国甲卷数学（理））在四棱锥SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】连结SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，如图，因为底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则由余弦定理可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.4、【2022年新高考1卷】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为140．0km2；水位为海拔157．5A．1.0×109m3 B．1.2×【答案】C【解析】依题意可知棱台的高为MN=157.5−148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V．棱台上底面积S=140.0km2=140×∴V==3×320+60故选：C．5、【2022年新高考2卷】已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和4A．100π B．128π C．144π D．192π【答案】A【解析】设正三棱台上下底面所在圆面的半径r1,r2，所以2r1=33sin60∘,2r2=43sin60∘，即r故选：A6、（2023年新课标全国Ⅱ卷）（多选题）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点C在底面圆周上，且二面角SKIPIF1<0为45°，则（

）．A．该圆锥的体积为SKIPIF1<0 B．该圆锥的侧面积为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0【答案】AC【详解】依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A选项，圆锥的体积为SKIPIF1<0，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为SKIPIF1<0，B选项错误；C选项，设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，C选项正确；D选项，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D选项错误.故选：AC.

7、（2023年新课标全国Ⅰ卷）（多选题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为SKIPIF1<0的球体B．所有棱长均为SKIPIF1<0的四面体C．底面直径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆柱体D．底面直径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆柱体【答案】ABD【详解】对于选项A：因为SKIPIF1<0，即球体的直径小于正方体的棱长，所以能够被整体放入正方体内，故A正确；对于选项B：因为正方体的面对角线长为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以能够被整体放入正方体内，故B正确；对于选项C：因为正方体的体对角线长为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以不能够被整体放入正方体内，故C正确；对于选项D：因为SKIPIF1<0，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，如图，过SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故以SKIPIF1<0为轴可能对称放置底面直径为SKIPIF1<0圆柱，若底面直径为SKIPIF1<0的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心SKIPIF1<0，与正方体的下底面的切点为SKIPIF1<0，可知：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根据对称性可知圆柱的高为SKIPIF1<0，所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.8、（2023年新课标全国Ⅰ卷）在正四棱台SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则该棱台的体积为________．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0为四棱台SKIPIF1<0的高，

因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以所求体积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.9、（2023年新课标全国Ⅱ卷）．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．【答案】SKIPIF1<0【详解】方法一：由于SKIPIF1<0，而截去的正四棱锥的高为SKIPIF1<0，所以原正四棱锥的高为SKIPIF1<0，所以正四棱锥的体积为SKIPIF1<0，截去的正四棱锥的体积为SKIPIF1<0，所以棱台的体积为SKIPIF1<0.方法二：棱台的体积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.

10、（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱SKIPIF1<0中，侧面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，E，F分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0.（1）求三棱锥SKIPIF1<0的体积；（2）已知D为棱SKIPIF1<0上的点，证明：SKIPIF1<0.【解析】(1)如图所示，连结AF，由题意可得：SKIPIF1<0，由于AB⊥BB1，BC⊥AB，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，从而有SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)由(1)的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体SKIPIF1<0，如图所示，取棱SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连结SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为中点，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0SKIPIF1<0.题组一、空间几何体的表面积1-1、（2023·云南玉溪·统考一模）如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成，圆锥的高是0.4m，底面直径和球的直径都是0.6m，现对这个台灯表面涂胶，如果每平方米需要涂200克，则共需涂胶（

）克（精确到个位数）A．176 B．207 C．239 D．270【答案】B【分析】求出圆锥的母线长，再由台灯是由一个圆锥和一个半球组成可求得台灯表面积SKIPIF1<0的值，进而求得涂胶的克数.【详解】由已知得圆锥的母线长SKIPIF1<0，所以台灯表面积为SKIPIF1<0，需要涂胶的重量为SKIPIF1<0（克），故选：B.1-2、（2023·安徽·统考一模）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圆半径SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以外接球的半径SKIPIF1<0，所以外接球的表面积SKIPIF1<0.故选：B.1-3、（2023·江苏·统考三模）已知底面半径为r的圆锥SO，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底面半径为SKIPIF1<0，则此圆柱与圆锥的侧面积的比值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】圆锥的高为SKIPIF1<0，如图，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,圆柱侧面积SKIPIF1<0，圆锥侧面积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D．1-4、（2021·山东日照市·高三二模）球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A，B，C是球面上不在同一大圆上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧组成的图形称为球面．已知地球半径为R，北极为点N，P，Q是地球表面上的两点．若P，Q在赤道上，且经度分别为东经和东经，则球面的面积为__________．【答案】【解析】因为PQ在赤道上，且经度分别为东经和东经，上半球面面积为，球面的面积为；故答案为：题组二、空间几何体的体积2-1、（2023·云南红河·统考一模）如图所示是一块边长为10cm的正方形铝片，其中阴影部分由四个全等的等腰梯形和一个正方形组成，将阴影部分裁剪下来，并将其拼接成一个无上盖的容器（铝片厚度不计），则该容器的容积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】作出正四棱台，作出辅助线，得到各边长，求出四棱台的高，从而利用台体体积公式求出体积.【详解】由题知，该容器的容积就是正四棱台的体积，如图，连接正四棱台上下底面的中心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取上底面正方形一边中点SKIPIF1<0，对应下底面正方形一边中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0四点共面，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为矩形，故SKIPIF1<0，因为该正四棱台上、下底面边长分别为2，6，等腰梯形的斜高为4，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以该棱台的高SKIPIF1<0，下底面面积SKIPIF1<0，上底面面积SKIPIF1<0，所以该容器的容积是SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故选：B.2-2、（2023·云南·统考一模）三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该三棱锥体积的最大值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，从而利用基本不等式求得SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，由此得解.【详解】因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，不妨设SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0，所以该三棱锥体积的最大值为SKIPIF1<0.故选：D..2-3、（2023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形），其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除SKIPIF1<0如图所示，底面SKIPIF1<0为正方形，SKIPIF1<0，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，求出OM的长，进而求出OA的长，可知SKIPIF1<0，从而可求出羡除外接球体积，由等体积法可求出羡除体积，进而可求得结果.【详解】连接AC、BD交于点M，取EF的中点O，连接OM，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.取BC的中点G，连接FG，作SKIPIF1<0，垂足为H，如图所示，由题意得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即：这个羡除的外接球的球心为O，半径为2，∴这个羡除的外接球体积为SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即：点A到面SKIPIF1<0的距离等于点B到面SKIPIF1<0的距离，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴这个羡除的体积为SKIPIF1<0，∴羡除的外接球体积与羡除体积之比为SKIPIF1<0.故选：A.2-4、（2022·江苏如东·高三期末）已知三棱锥P－ABC的外接球半径为4，底面ABC中，AC＝6，∠ABC＝60°，则三棱锥P－ABC体积的最大值是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．24π D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由已知可得，SKIPIF1<0的外接圆的半径SKIPIF1<0，且由余弦定理SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，（当且仅当SKIPIF1<0时取等号）所以SKIPIF1<0,又外接球的球心到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以点P到平面SKIPIF1<0的距离的最大值为SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为SKIPIF1<0.故选：A2-5、（2022·湖北省鄂州高中高三期末）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以圆形攒尖为例.如图所示的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边边长为SKIPIF1<0，顶角为SKIPIF1<0的等腰三角形，则该屋顶的体积约为（）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】B【解析】因为轴截面的顶角为SKIPIF1<0，所以底角SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，依题意，该圆形攒尖的底面圆半径SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，所以该屋顶的体积约为SKIPIF1<0.故选：B.题组三、球的切接问题3-1、（2023·安徽黄山·统考三模）如图，球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，四面体SKIPIF1<0内接于球SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是边长为SKIPIF1<0的正三角形，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则该四面体体积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由题意知底面三角形的面积为定值，要使四面体体积的最大，只须顶点SKIPIF1<0到底面的距离最大即可，又因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可知当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0到底面的距离最大，SKIPIF1<0外接圆的半径SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，此时体积最大值为SKIPIF1<0.故选：B.3-2、（2023·云南红河·统考一模）三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O上，且PA⊥底面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．球心O在三棱锥的外部C．球心O到底面ABC的距离为2 D．球O的体积为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】对A，由余弦定理直接判断；对B，设△ABC外接圆的圆心为SKIPIF1<0，说明SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0在△ABC外部，故球心O在三棱锥的外部；对C，取线段PA的中点Q，连接OQ，说明SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为矩形，球心O到底面ABC的距离为SKIPIF1<0；对D，由正弦定理求得设△ABC外接圆半径，从而求得球半径，由体积公式可求得结果.【详解】对A，在△ABC中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故A正确；对B，如图，设△ABC外接圆的圆心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0底面ABC，又PA⊥底面ABC，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得圆心SKIPIF1<0在△ABC外部，故球心O在三棱锥的外部，故B正确；对C，取线段PA的中点Q，连接OQ，因为PA是球O的一条弦，所以SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为矩形，故SKIPIF1<0，即球心O到底面ABC的距离为1，故C不正确；对D，设球O的半径为R，圆SKIPIF1<0的半径为r，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0，球的体积为SKIPIF1<0，故D正确，故选：ABD．3-3、（2023·湖南邵阳·统考三模）三棱锥SKIPIF1<0中，PA⊥平面ABC，SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为__________.【答案】SKIPIF1<0【详解】由PA⊥平面ABC，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0两两垂直，故可将三棱锥SKIPIF1<0补全为长方体，故三棱锥SKIPIF1<0外接球，即为长方体外接球，令三棱锥SKIPIF1<0外接球半径为SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0，所以外接球表面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0题组四、计算的综合性问题4-1、（2023·江苏南通·统考一模）（多选题）在棱长为2的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0D．三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根据线面平行判定定理判断A，利用线面垂直判定定理判断B，利用线面夹角的定义判断C，根据等体积法判断D.【详解】∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，A对；因为SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，B对；因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C错；因为SKIPIF1<0，D对.故选：SKIPIF1<0.4-2、（2023·安徽·统考一模）（多选题）在平行六面体SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（

）A．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0B．线段SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0D．直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0【答案】AC【分析】设SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0分别用SKIPIF1<0表示，再根据向量数量积的运算律即可判断ABC；对于D，先证明平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，再解SKIPIF1<0即可.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，故A正确；对于B，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B错误；对于C，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正确；对于D，连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC.4-3、（2023·安徽合肥·统考一模）（多选题）已知圆锥SO（O是底面圆的圆心，S是圆锥的顶点）的母线长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0．若P，Q为底面圆周上任意两点，则下列结论正确的是（

）A．三角形SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0B．三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值SKIPIF1<0C．四面体SKIPIF1<0外接球表面积的最小值为11SKIPIF1<0D．直线SP与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值的最小值为SKIPIF1<0【答案】BD【分析】选项A，由已知计算出底面半径的长度，以及轴截面的顶角大小，利用三角形的面积公式可知，当SKIPIF1<0时，三角形SKIPIF1<0面积最大，可判断选项A；利用三棱锥等体积转换，可得当SKIPIF1<0面SKIPIF1<0时，三棱锥SKIPIF1<0体积最大，可判断选项B；因为SKIPIF1<0底面圆，所以四面体SKIPIF1<0外接球球心在SKIPIF1<0的中垂面和过SKIPIF1<0外接圆圆心的底面垂线的交点处，利用勾股定理和正弦定理可计算出最小值，判断选项C；由线面角公式可得，当SKIPIF1<0面SKIPIF1<0时，直线SP与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值最小，判断出选项D．【详解】选项A，由母线长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，可得底面半径为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0是底面圆的一条直径，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是钝角，又SKIPIF1<0，则存在点SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，三角形SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0，故A错误；选项B，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0面SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故B正确；选项C，设SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0底面圆，SKIPIF1<0四面体SKIPIF1<0外接球半径SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若外接球表面积的最小，即外接球的半径SKIPIF1<0最小，又SKIPIF1<0，即在底面圆中，SKIPIF1<0的外接圆半径最小，由正弦定理SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0经过线段SKIPIF1<0的中垂线时，SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0的外接圆半径最小，此时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即四面体SKIPIF1<0外接球表面积的最小值为SKIPIF1<0，故C错误；选项D，设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，直线SP与平面SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0的正弦值为SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0面SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时直线SP与平面SKIPIF1<0所成角的余弦值最小，最小值为SKIPIF1<0，故D正确；故选：BD.1、【2022·广州市荔湾区上学期调研】若圆台的下底面半径为4，上底面半径为1，母线长为5，则其体积为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】：圆台的轴截面如图所示：则圆台的高SKIPIF1<0，所以圆台的体积SKIPIF1<0，故选：C2、（2023·江苏泰州·泰州中学校考一模）如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为SKIPIF1<0，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据条件通过作垂线，求得底面圆的半径，将液体的体积看作等于一个底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆柱体积的一半，即可求解答案.【详解】如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F,因为MN平行于地面，故SKIPIF1<0，椭圆长轴上的顶点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到容器底部的距离分别是12和18，故SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即圆柱的底面半径为SKIPIF1<0，所以容器内液体的体积等于一个底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆柱体积的一半，即为SKIPIF1<0，故选：C.3、（2023·江苏南京·校考一模）某圆锥母线长为2，底面半径为SKIPIF1<0，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】A【分析】如图截面为SKIPIF1<0，P为MN的中点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而可得面积最大值.【详解】如图所示，截面为SKIPIF1<0，P为MN的中点，设SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时截面面积最大.故选：A4、（2023·湖南邵阳·统考三模）如图所示，正八面体的棱长为2，则此正八面体的表面积与体积之比为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】如图，由边长为2，可得SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则其表面积为SKIPIF1<0.体积为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0此正八面体的表面积与体积之比为SKIPIF1<0.故选：D.5、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）（多选题）折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）．图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且SKIPIF1<0，则该圆台（

）A．高为SKIPIF1<0 B．表面积为SKIPIF1<0C．体积为SKIPIF1<0 D．上底面积、下底面积和侧面积之比为SKIPIF1<0【答案】BCD【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B，C；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断D.【详解】对于A，设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,所以圆台的母线长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，选项A错误；对于B，圆台的上底面积为SKIPIF1<0，下底面积为SKIPIF1<0，侧面积为SKIPIF1<0，所以圆台的表面积为SKIPIF1<0，选项B正确；对于C，圆台的体积为SKIPIF1<0，选项C正确；对于D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比为SKIPIF1<0，选项D正确，故选：BCD．6、（2022·湖北江岸·高三期末）（多选题）正方体SKIPIF1<0的棱长为2，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），过P作垂直于平面SKIPIF1<0的直线l，分别交正方体SKIPIF1<0的表面于M，N两点，下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0B．四边形SKIPIF1<0的面积的最大值为SKIPIF1<0C．若四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0【答案】BD【解析】解：因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不垂直，故选项A不正确；如图，以SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴的正方向建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，2，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1